学年高中数学人教A版选修44创新应用教学案第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案.docx
《学年高中数学人教A版选修44创新应用教学案第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学人教A版选修44创新应用教学案第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学年高中数学人教A版选修44创新应用教学案第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案
第1课时 参数方程的概念
[核心必知]
1．参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．
联系变量x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．普通方程
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
[问题思考]
1．参数方程中的参数t是否一定有实际意义？
提示：
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？
提示：
同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如和（m∈R）都表示直线x＝2y＋1.
已知曲线C的参数方程是（t为参数）．
（1）判断点M1（0，－1）和M2（4，10）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M（2，a）在曲线C上，求a的值．
[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
（1）把点M1的坐标代入参数方程
得
∴t＝0.即点M1在曲线C上．
把点M2的坐标代入参数方程
得方程组无解．即点M2不在曲线C上．
（2）∵点M（2，a）在曲线C上，∴
∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即a的值为2.
已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
1．已知曲线（θ为参数，0≤θ<π），则下列各点A（1，3），B（2，2），C（－3，5）在曲线上的点是________．
解析：
将A（1，3）点代入方程得θ＝0；将B、C点坐标代入方程，方程无解，故B、C点不在曲线上．
答案：
A（1，3）
如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.
法一：
设P点的坐标为（x，y），过P点作x轴的垂线交x轴于Q.
如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB＝t，t为参数（0＜t＜a）．
∵|OA|＝，∴|BQ|＝.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
（0＜t＜a）
法二：
设点P的坐标为（x，y），过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ为参数（0＜θ＜），则∠ABO＝－θ.
在Rt△OAB中，|OB|＝acos（－θ）＝asinθ.
在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
（θ为参数，0＜θ＜）．
（1）求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，建立直角坐标系，设（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画出草图（画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系）．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：
一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．
（2）求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．
2.如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA交OA于D，PB∥OA，试求点P的轨迹的参数方程．
解：
设P（x，y）是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得x＝OD＝OQcosθ＝OA·cos2θ＝2acos2θ，y＝AB＝OAtanθ＝2atanθ.
所以P点轨迹的参数方程为θ∈（－，）．
曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
已知弹道曲线的参数方程为（t为参数）
（1）求炮弹从发射到落地所需时间；
（2）求炮弹在运动中达到的最大高度．
[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用．
[解]
（1）令y＝0，则2tsin－gt2＝0，
解之得t＝.
∴炮弹从发射到落地所需要的时间为.
（2）y＝2tsin－gt2＝－gt2＋t
＝－g（t2－t）
＝－g[（t－）2－]
＝－g（t－）2＋，
∴当t＝时，y取最大值.
即炮弹在运动中达到的最大高度为.
一、选择题
1．方程（θ是参数）所表示曲线经过下列点中的（ ）
A．（1，1） B.
C.D.
解析：
选C 将点的坐标代入方程：
解θ的值．若有解，则该点在曲线上．
2．直线l的参数方程为（t为参数），l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P（a，b）之间的距离是（ ）
A．|t1|B．2|t1|
C.|t1|D.|t1|
解析：
选C ∵P1（a＋t1，b＋t1），P（a，b），
∴|P1P|＝＝＝|t1|.
3．已知曲线C的参数方程为（θ为参数，π≤θ＜2π）．已知点M（14，a）在曲线C上，则a＝（ ）
A．－3－5B．－3＋5
C．－3＋D．－3－
解析：
选A ∵（14，a）在曲线C上，
∴
由①得：
cosθ＝，又π≤θ＜2π.
∴sinθ＝－＝－，∴tanθ＝－.
∴a＝5·（－）－3＝－3－5.
4．参数方程（t为参数）所表示的曲线是（ ）
A．一条射线B．两条射线
C．一条直线D．两条直线
解析：
选B 因为x＝t＋∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），
即x≤－2或x≥2，故是两条射线．
二、填空题
5．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0（t为参数）所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为________．
解析：
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
（x－2t）2＋（y－t）2＝4＋2t2.
设圆心坐标为（x，y），则
答案：
（t为参数）
6．已知某条曲线C的参数方程为（其中t为参数，a∈R）．点M（5，4）在该曲线上，则常数a＝________．
解析：
∵点M（5，4）在曲线C上
∴
解得：
∴a的值为1.
答案：
1
7．曲线（x－1）2＋y2＝4上点的坐标可以表示为________（填序号）．
①（－1＋cosθ，sinθ），②（1＋sinθ，cosθ），
③（－1＋2cosθ，2sinθ），④（1＋2cosθ，2sinθ）
解析：
分别将①、②、③、④代入曲线（x－1）2＋y2＝4验证可知，只有④使方程成立．
答案：
④
8．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A（1，1），则点M的参数方程为________．
解析：
设M（x，y），则在x轴上的位移为：
x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为：
答案：
（t为参数）
三、解答题
9．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为rad/s，运动开始时质点位于A（2，0），试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解：
如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M（x，y）对应时刻t，由图可知：
又θ＝·t，
故参数方程为：
（t为参数）．
10．过M（0，1）作椭圆x2＋＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．
解：
设过M（0，1）的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为（x1，y1）和（x2，y2），设中点P（x，y）则有：
x＝，y＝
由得：
（k2＋4）y2－8y＋4－4k2＝0
∴y1＋y2＝，x1＋x2＝.
∴（k为参数）
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．
11．舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A
发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解：
以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），则B（－3，0），A（3，0），C（－5，2）．设海中动物为P（x，y）．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝（x＋7）．
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1.
从而得P（8，5）．
设∠xAP＝α，则tanα＝kAP＝，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′，（如图）．
|PA|＝10，设弹道曲线方程是（其中θ为仰角）
将P（10，0）代入，消去t便得sin2θ＝，θ＝30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
升级会员 