均值不等式与最大值最小值Word文档格式.docx

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2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（　　）

A.  B．2

C．2  D．4

因为＋＝，所以a，b同号且均大于零，由均值不等式可得＝＋≥2，所以ab≥2.

当且仅当＝时取等号，所以ab最小值为2.

C

3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（　　）

A．3  B．4

C.  D.

由题意知，x＋2y＝8－x·

2y≥8－2，整理得（x＋2y－4）（x＋2y＋8）≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，故选B.

4．若a，b都是正数，则（1＋）·

（1＋）的最小值为（　　）

A．7  B．8

C．9  D．10

∵a，b都是正数，∴（1＋）（1＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．

5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是（　　）

A.  B.

C．2  D.

由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·

（2x）·

（3y）＋3xy（当且仅当2x＝3y时等号成立），∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

6．已知x＞0，y＞0且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为（　　）

C.  D．2

∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2，

∴4xy－（x＋2y）≤4xy－2，

∴4≤4xy－2，

则（－2）（＋1）≥0，

∴≥2，∴xy≥2.

D

7．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为（　　）

A．1  B．2

C．3  D．4

因为正实数x，y满足x＋y＝2，

所以xy≤＝＝1，所以≥1；

又≥M恒成立，所以M≤1，

即M的最大值为1.

A

8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝·

6＋4x＝＋4x≥2＝240.

当且仅当＝4x，即x＝30时，y取最小值．

30

9．已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．

∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3，即ab≥9.

10．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，求＋的最小值．

由a＋2b＝3得a＋b＝1，

所以＋＝（a＋b）（＋）＝＋＋≥＋2＝.

当且仅当a＝2b＝时取等号．

二、综合应用

11．已知a，b∈（0，＋∞），且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是（　　）

A．1≤a＋b≤4  B．a＋b≥2

C．2＜a＋b＜4  D．a＋b＞4

因为a＋b＋＋＝（a＋b）（1＋）＝5，又a，b∈（0，＋∞），所以a＋b＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即（a＋b）2－5（a＋b）＋4≤0，解得1≤a＋b≤4.

12．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为（　　）

C.  D．L2

设菜园的长为x，宽为y，

则x＋2y＝L，面积S＝xy，

因为x＋2y≥2.所以xy≤＝.

当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时，

Smax＝，故选A.

13．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．

因为a＞0，b＞0，＋＝1，

所以a＋b＝（a＋b）·

（＋）＝10＋＋≥10＋2＝16.

由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，

即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，

又x2－4x－2＝（x－2）2－6的最小值为－6，

所以－6≥－m，即m≥6.

m≥6

14．已知直线l：

ax＋by－ab＝0（a＞0，b＞0）经过点（2,3），则a＋b的最小值为________．

因为直线l经过点（2,3），所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝＞0，所以a－3＞0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．

5＋2

15．

（1）当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；

（2）设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．

（1）y＝（2x－3）＋＋＝－（＋）＋.

当x＜时，有3－2x＞0，

∴＋≥2＝4，

当且仅当＝，即x＝－时取等号．

于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.

（2）∵0＜x＜2，∴2－x＞0，

∴y＝＝·

≤·

＝，

当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.

16．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 

m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 

m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 

m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 

m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：

m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：

m2）．

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）求S的最大值．

（1）由题设，得S＝（x－8）（－2）＝－2x－＋916，x∈（8,450）．

（2）因为8＜x＜450，

所以2x＋≥2＝240，

当且仅当2x＝，即x＝60时等号成立，

从而S≤－240＋916＝676.

故当矩形温室的室内长为60 

m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 

m2.