非线性振动汇总讲解Word格式.docx

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迪觀鮎»

amb3,wssftgas.〔■同

1・2转子动力学模型二维平面示意图：

（CAD）

WJX

碍氏文佯上洪主血w巨M社字或丈・95?

或讦可的亘盍起宇斥區塗空昱•整型利O.OM3」空n苣L，：

丄二七丄2,io]j

1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分

方程:

13.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩

偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。

随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。

假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。

因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。

下而导岀单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。

欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图

圆盘无偏心，图中如产为固定坐标系，。

*才才为过圆盘形心的

平动坐标系，°

切§

为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。

当圆盘以自转角速度0=绕自转轴转动时，单盘偏置转子的

角速度矢量Q在旋转后的动坐标系中的投影用第2类欧拉角表示为

气二~P

叫=acosp（1-1）

co.=<

p+asmp

注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负。

墻轴旋转，固角速度空=一方，这与第1章所述有所不同。

在平动坐标系o'

xyg中圆盘对形心。

的动量矩为

Ho.=H+Hx+Hv.（1-2）

Hc.=（<

//Qcos0sina-丿d0cosa）「

丿弋屮Hv.=（J^a+Jr（psin0cosa）丁（1-3）

H=Jp（（p+asin0）k.

由于动坐标轴与og的夹角a,o、：

o”的夹角0很小，有

sinaaa,sinpa0,cosaacos0a1

代入对圆盘形心/的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有罟uJpQa+Jpg—JdB警二Jp邨+J解+J应（1-4）

方詁（屮0+切）

注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一

致的。

13.2在平动坐标系中外力矩的表达

下而分析作用在弹性轴上的力矩。

作用在转轴上的力矩有，弹性

恢复力矩和阻力矩Mr。

由材料力学知，圆轴在“Z平而上弹性恢复力和弯矩

「-ab+b】a_b、ff

「=31E1（厂一x+下丁a}=kLXx+kxaa

ab5crb，

（a—b1A,.

（1-5）

M=31EI

注意，力矩的下标X表示在X0刃平而内的力矩。

同理圆轴在妙Z

平而内弹性恢复力Fv和恢复力矩

心汕怯沦沖口亠讨（1-6）

因忽略阻尼，所以没有阻力矩。

由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影

E%+M层.=~（kaxx+kaaa）

SMv=+MRy.=k^.y+色0

广0

注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右

（1-7）

端等于零。

如果考虑扭转刚度❻，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形

成的弹性扭矩为M广-—匕

13.3在平动坐标系中定点转动微分方程

将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心。

的动量矩定理

dH、・

~dT

（1-8）

整理得到描述相对圆盘形心运动的定点转动微分方程

JdB_Jp©

a_Jp（pa+kpyy+kppP+cpB=°

Jp（P卩七Jd&

+Jp<

P0+kaxX+kaaa+Caa=O（1_9）

几@+&

0+妙）+“0+3=0

再加上圆盘随形心运动的平动微分方程

mx+kxxX^kxact=0

（1-10）

V+5y+%0=°

这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共计5个方程。

对于圆轴截面,kap=k仿=k\2=k2\，kaa=k邮=k\\=kg。

第2和第3个方程可简化为：

丿“0—丿—丿"

0Q+k21）'

+k220+C00=O

Jp（pP+Jda+Jp（pP+k2\X+k12a+Caa=^

丿（0+&

0+Q0）+50+3=0

・•c（1-11）

加X+ki]X+£

i2Q=0

〃找+kiiy+£

i20=°

1・4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：

山题U给出的条件代入数据，得：

157、，、

ci=-/=—=0」425（m）,b=/-a=0.4275（m）

x2=3.137（kg）

=pV=pAA=7.8xl0-3x3.1415926x^y

Jd=学==0.0050192（kg-nr）

Jr=2Jd=0.0100384kgm2（因为是动力对称转子圆盘）

对于等截面轴，有

k“=ku=3lEI'

=-67161.07N

^=—=1.436xlO4N-m

一ab

1.4.1同步涡动的临界转速:

代入数据，得临界角速度：

6yFI=278.87（rad/s2）

临界转速:

山偏置单盘转子稳态自山涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为：

mJda/-mJpG方一（J何+mk21）ar+JpkuQa）+knk22-ki2k2i=0（1-14）将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：

0.0157以一0.031一47807.17少+5519.7G©

+3385364480.46=0d.15）

0取不同值时，经Mathematic算出对应的e值，如下表所示:

1721.3

269.2839

-1721.3

-269.284

200

1926.589

276.2289

-1540.8

-262.017

600

2408.598

289.0732

・1251.01

-246.661

1000

2973.112

300.489

・1043.04

-230.566

1400

3600.57

310.5334

-896.845

-214.258

1800

4273.044

319.3285

-794.088

-198.285

2000

4621.761

323.3033

-754.491

-190.573

1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下:

（x*o==

OOOI・M

（x*0=:

009・M

（RU^ro[xzo-jinoou009・M

[x^0-ilsaooH

D0「・H

（mU^to[Mzo-J]8^oob005-M

[MU<

CmS-4】阳OOH0-M/«

Hn«

WUJH±

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W3*efe3SWPMlPW田目9Pe09>

9CS8€C♦**M**i-6TGS♦“"

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-O8&

HCC8CC*k*M・£

6TCC♦Z・F・•£

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v乂•CI£

0・ICItT0=2

111*MJJ]^TO

锂站鄭□nuuiaqiEUis,T

w=2000

Roots[r-o,wj

Clear[W]

不同伯的自转角建J8卜軽态自由访功角盘度

3.38S36xlG?

・47507.2W2-0.3L5U340.0157•/-5519.7WK

3.38536x10*・47207.2V5-O.3L5V?

40.015*7』.5519.7WK

U=-1605.49

|W~

-287.711|

V=287.055

W=1626.21

w=-1713.84

;

1K=

-269.556|

n=269.0B4

w=1734.4

v=-172S.91

1X二

-2S7.727|

w=281.473

甘二1722.23

400

v=・1737.73

11K二

■24E.45?

n=294.472

v=1709.78

6Q0

v--1749.3

w--

23S.758I

w-308.095I

w-1697.03

8C0

W--176G.65

1w-

-225.612|

W-322.355

V-1683.97

10DO

1771.79|

w--215.999

rw-337.268

v-1670.52

1200

v--1782.72|

w--206.899

1.w-352.24€

u-1€5€.83

V=-17^3.45|

Wrr-192.292

|：

W=369.107

W=1642.7

l€00

w=-1204.|w

=-190.157

w=326.062；

w-1625.15

ieoo

占二・1B14.371

箕二・182.47

1w=403.7S2|

21^13.IS

w=-1224.S7I-17S.21LIw=422.183v=1597.66

2.威尔逊•"

法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性

2.1分析

因假设没有作用在转子上的不平衡外力F,不计重力〃喀，没有重力矩Mr,只有保持转子作等加速转动的外力矩Mj取广义坐标q=（俎”044）7,有前面分析可知，系统微分方程简化为

mdx+ex+k}rv+k[4a=0

mdy+cy+k22y-k2^=O

儿（0+&

0+勿）+/+切0（1-16）

J/P-+Jp（pd-k32y+k33fl+c諮=0

+J卿-J肿+褊x+k44a+caa=O

转子形心的瞬态涡动幅频特性：

圆盘的转动惯量为

Jz=2Jf/=0.0100384kgm2

转轴的截面惯性矩及材料的弹性模量

1=丄卅=3.976x10"

8m4,£

=2.058x10"

/m2

a=III影响系数法假定转子受单位力P作用求转子的位移和转角a12,

其表达式为

假定转子受单位力矩M作用求转子的位移冬2和转角勺2,其表达式为

//、

見*产引可怎卜-67⑹.07N

mdx+ex+knx+k[4a=0mdy+cy+k22y-k23fl=O

等加速过程中，不考虑”,,（0+&

0+妙）+50+©

卩=0中的第三式

JdB-J@a+jpg-ki2y+爲畀+cpp=0

M+J卩邨一J祁+3+3+cna=O

0=2”x5.7rad/52=35.814md/F,由威尔逊一&

法设转子涡动微分方程为

（1-21）

M0+C0+K“=F

式中M.CKF分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外激励矩阵。

例如,

对于单盘对称放置转子，有

设转子按式（1・1）给定的条件作等加速度旋转。

威尔逊-&

法是线性加速度法的扩展，就是将时间细化为很小的时间间隔

Z+购］。

假定I屮到『+购的时间间隔内，结点的加速度按线性变化，加速度变化如下图所示：

令r表示时间增量，其中处/,于是对从7到7+他的时间区间内，假

定

••••■••V

（1-24）

经过积分与推导后可以抽到7+厂时刻的向量，把这些时的向量代入运动微分方程后得

把不含G+r的项移到右边，得到

（1-28）

F+=F++M（2®

+r+”q“r+£

qj+c］彳统+2qt

由以上式子可以解出位移向量q*,经过推导可以得到下面各式，将5”代入下面各式中，并令"

血，可以得到7+&

时刻的向量：

匚侖（q®

-qj-冷+（1-訓

•••••V

64=6+空©

~+4「）

△/2

=q,+A/qf+—©

+$+2qf）

6（1-29）

当某时刻t瞬时节点的位移，速度，加速度已知，同时还知道通过上式求出该节点/+4时刻的位移，联立上式求得，+&

时刻的位移速度加速度，由此可求得任意瞬时各节点的位移，速度，加速度。

这个求解过程可通过计算机编程实现。

对于『+山时刻轴系各节点的位移，可用所研究问题的运动微分方程求得，具体步骤如下：

（1）设定初值和计算常数：

1）设定初值％,和①

2）取参数°

=1・4,选择时间步长血，积分常数

r=6!

Af（6>

1.37）

5=1-％5=%心"

％（1-30）

（2）生成刚度矩阵K,质量矩阵M和阻尼矩阵C,并形成等效刚度矩阵：

K=K+^C+n0M（1-31）

（3）对K做三角分解:

（1-32）

（4）计算等效载荷向量：

F/+r=F,+f+Mf2{q）z+-{q}f+4{q}r）+C|^{q|f+2{（ih+I{q}/

「厂丿123丿（1_33）

（5）对每一时刻心0,4,…川小计算/+处/时刻的位移向量：

K{q}f+r=F+r

（1-34）

LLFs=「

（6）计算?

时刻的加速度，速度和位移：

{口7=a4^}.^-{q},）+«

5{q},+n6{q},

g}~={q},+n7（{q}z+^+{q},）

（1-35）

{q}g={q},+Ar{q},+冬（{引2+2{q}r）

2.2MATLAB编程求解

求得加速度图如下

速度图如下

•06o

速度

求得位移图如下

位移

2.3MATLAB源代码

clear

%结构运动方程参数

M=Lo加」；

kO'

K=.0・

Dx=zeros（n,l）;

x=zeros（n,l）;

fbri=l:

n-l

Kba=K+3/tau*C+6/tauA2*M;

dF_ba=-M*dxg（i）+（M*6/tau+3*C）*Dx（i）+（3*M+tau/2*C）*D2x（i）;

dx=dF_ba/K_ba;

dD2x=（dx*6/tauA2-Dx（i）*6/tau-3*D2x（i））/theta;

D2x（i+1）=a4*（x（i+l）-x（i））+a5*Dx（i）+a6*D2x（i）;

Dx（i+1）=Dx①+a7*（D2x（i+1）+Dx（i））;

x（i+1）=x（i）+dt*Dx（i）+a8*（D2x（i+1）+2*D2x（i））;

end

subplot（311）

plot（t,x）%位移

subplot（312）

plot（t,Dx）%速度

subplot（313）

plot（t,D2x）%加速度

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