纯强迫振动讲解.docx

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纯强迫振动讲解

MethodsofMathematicalPhysics

第七章行波法

travellingwavemethod

一无限长的均匀弦，因受其力密度为bxt的外力

作用作振幅极其微小的横振动。

若弦的初位移

xx

为0,初速度为（l-x），试求该弦的振动规律。

⎧⎪utt

⎨

=a2u

+

bxt,

x<∞

u（x,t）=?

⎩⎪u

t=0=

0,ut

t=0=l-x

问题的引入：

§7.2纯强迫振动

Pureforcedviberation

⎧utt

⎪

=a2u+

f（x,t）

（1）

xx

⎨u|t=0=0

（2）

u

⎩

⎪t|t=0=0

（3）

§7.2纯强迫振动

二、求解

1、思路：

化有源问题为无源问题，利用达朗贝尔公式求解。

§7.2纯强迫振动

1、定义：

在物理学中研究问题时，常将几种不同原因综合所产生的效果，用这些不同原因单独产生的效果的累加来代替，这就是叠加原理。

2、在数学上：

叠加原理对应于线性方程或线性定解条件。

Lu=f

设L为线性微分算符，则

表示线性方程或线性定解条件。

§7.2纯强迫振动

（1）若

Lui=

fi（i

=1,2,L,n）

且u

=∑ciui,

n

i=1

n

则

（2）若

Lui=

fi（i

=1,2,L,n）

且u

=∑ciui一致收敛，

∞

i=1

（3）若Lu=

则

f（M,M0）

LU=⎰f（M,M0）dM0

则

且U

∞

=⎰u（M,M0）dM0一致收敛，

二、求解

2、分析源f

§7.2纯强迫振动

（x,t）的作用情瞬况时力

瞬时力引

（1）

f（x,t）=∑

f（x,τ）,0<τ

t

起的振动

u（x,t）=

lim∑w（x,t;τ）

Δτ→0τ=0

（2）

f（x,τ）在Δτ

时间间隔内引起的振动为

⎧w-a2w=0

τ

+

Δτ

⎪ttxx

⎨w|t=τ=0

⎪w|=f（x,τ）Δτ

⎩tt=τ

2、分析源

f（x,t）的作用情况

设：

w（x,t;τ）=v（x,t;τ）Δτ

⎧w-a2w=0⎧2

⎪

⎪ttxx

vtt-avxx=0

（4）

⎨w|t=τ=0

→⎨v|t=τ=0

（5）

⎪w|=f（x,τ）Δτ

⎪v|=f（x,τ）

（6）

⎩tt=τ

⎩tt=τ

t

（3）u（x,t）=

⎰0v（x,t;τ）dτ

u（x,t）=

§7.2纯强迫振动

３、纯强迫振动的解：

§7.2纯强迫振动

求解初值问题：

⎧utt=uxx+x

⎨

⎪u（x,0）=0

u

⎩t

⎪（x,0）=0

t

解：

u（x,t）=1⎰

x+（t-τ

）

αdαdτ

20x-（t-τ）

⎰

=1xt2

2

1、对于纯强迫振动：

⎪

⎧utt

=a2u+

xx

f（x,t）

（1）

（1）先将有源问题按冲量原理化为无源问

⎨u|t=00

（2）题；

⎩

⎪ut

|t=0=0

（3）

（2）再利用迭加原理和达氏公式求解。

⎧v-a2v=0t

⎪ttxx

u（x,t）=

⎰0v（x,t;τ

）dτ

⎨v|t=τ=0

u（x,t）=

⎪v|τ=f

（x,τ）

§7.2纯强迫振动

⎩tt=

令u=uI

+uII,

⎪

=ψ

使：

⎨

tt

u

|t=0=

xx

ϕ（x）

⎧u

I

⎪tt

-

u=1[ϕ（x+at）+ϕ（x-at）]

a2uI=0

⎪

u

|

⎩tt=0

（x）

xx

uI:

⎨uI

⎪

I

|t=0=

ϕ（x）

⎩ut

|t=0=ψ（x）

⎧uII

-

a2uII=

f（x,t）

⎪ttxx

uII

:

⎨uII

|t=0=0

§7.2纯强迫振动

⎪II

⎩ut|t=0=0

本节作业

习题7.2：

1（4）；