非线性振动汇总讲解Word格式.docx

1、=.迪觀鮎a mb3, wssftgas . 同12转子动力学模型二维平面示意图：（CAD）WJX碍 氏文佯上洪主 血 w 巨M社字或丈95?或讦可的亘盍起宇斥區 塗空昱整型利O.OM3空n苣L，：丄二七丄2,ioj1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程:13.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形 心的平动和相对形心的运动。随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个 定点运动方程描述，共计需要6个方程。假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位 移。因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。下

2、而导岀单盘 偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图圆盘无偏心，图中如产为固定坐标系，。*才才为过圆盘形心的平动坐标系，切为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第 二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。当圆盘以自转角速度0 = 绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量Q在旋转后的动坐标系中的投影用第2类欧拉角表 示为气二P 叫=a cos p （1-1）co. = p + asm p注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负。墻轴旋转，固 角速度空=一方，这与第1章所述有所不同。在平动坐标系oxyg中 圆盘对形心。的动量矩为Ho. =H +Hx+Hv. （1

3、-2）Hc. = （/Qcos0sina -丿d0cosa）丿弋屮 Hv. = （Ja + Jr（psin 0 cos a）丁 （ 1-3 ）H = Jp（p +a sin 0）k .由于动坐标轴与og的夹角a,o、：o”的夹角0很小，有sin a a a, sin p a 0,cosa acos0 a 1代入对圆盘形心/的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有 罟 uJpQa + Jpg JdB 警二Jp邨+ J解+ J应 （1-4）dH方詁（屮0 +切）注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量 矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一致的。13.2在平动坐

4、标系中外力矩的表达下而分析作用在弹性轴上的力矩。作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩和阻力矩Mr。由材料力学知，圆轴在“Z平而上弹性恢复力和弯矩 -ab + b】 a_b 、 f f= 31E1（ 厂一 x + 下丁 a = kLXx + kxaaa b5 crb，（a b 1 A , .（1-5）M=31EI注意，力矩的下标X表示在X0刃平而内的力矩。同理圆轴在妙Z平而内弹性恢复力Fv和恢复力矩心汕怯沦沖口亠讨 （1-6）因忽略阻尼，所以没有阻力矩。由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影E % + M 层.=（kaxx + kaaa）S M v = + MRy. = k.y + 色0广0注意，

5、因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右（1-7）端等于零。如果考虑扭转刚度，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形成的弹性扭矩为M广-匕13.3在平动坐标系中定点转动微分方程将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心。的动量矩定理dH、dT（1-8 ）整理得到描述相对圆盘形心运动的定点转动微分方程JdB_ Jpa _ Jp（pa + kpyy + kppP + cpB = Jp（P卩七 Jd& + JpP0 + kaxX + kaaa + Caa = O （ 1_9 ）几 + &0 + 妙）+ “0 + 3 = 0再加上圆盘随形心运动的平动微分方程mx + kxxXk xact = 0（1-10）

6、V + 5y + %0 = 这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共 计5个方程。对于圆轴截面,kap = k仿=k2 = k2，kaa = k邮=k = kg。 第2和第3个方程可简化为：丿“0丿丿0Q + k21） + k220 + C00 = OJ p（pP + Jda + J p（pP + k2X + k12a + Caa = 丿（0 + &0 + Q0）+ 50 + 3 = 0 c （1-11）加 X + kiX + i2Q=0找+ kiiy + i20 = 14形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自 转角速度的关系曲线图：山题U给出的条件代入数据，得：1

7、57 、 ，、ci = -/ = = 0425（m）, b = /-a = 0.4275（m）x2 = 3.137（kg）= pV = pAA = 7.8xl0-3x3.1415926xyJd =学= 0.0050192（kg-nr）Jr =2Jd =0.0100384kg m2 （因为是动力对称转子圆盘）对于等截面轴，有k“=ku=3lEI = -67161.07N = = 1.436xlO4N-m一 ab1.4.1同步涡动的临界转速:代入数据，得临界角速度：6yFI=278.87（rad/s2）临界转速:山偏置单盘转子稳态自山涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为： mJda/ -mJpG方

8、 一（J何 +mk21）ar +JpkuQa）+knk22-ki2k2i =0 （1-14） 将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：0.0157以一 0.031一 47807.17少 + 5519.7G+3385364480.46 = 0 d.15）0取不同值时，经Mathematic算出对应的e值，如下表所示:1721.3269.2839-1721.3-269.2842001926.589276.2289-1540.8-262.0176002408.598289.0732 1251.01-246.66110002973.112300.4891043.04-230.56614003600.5

9、7310.5334-896.845-214.25818004273.044319.3285-794.088-198.28520004621.761323.3033-754.491-190.5731.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下:OT（x *o =OOOI M（x *0 =:009 M（RUro x zo - jinoou 009 Mx 0-ilsaooHD0H（mUto M zo-J8oob 005 -MMUIOCm S-4】阳OOH 0 - M /HnWUJHYM rfMUOOTOI* 9 - xi8iooy * - M *mSW3*efe3SWPMlPW田目9Pe099CS8

10、C *M*i-6TGS “0毗D !；P-八“砧巾 0 - X3 9&-O8&HC C8CC*k*M 6TCC ZF v乂 CI 0 ICItT 0 = 2111 *M JJTO锂站鄭nuuiaqiEUis,Tw = 2000Rootsr - o, wjClearW不同伯的自转角建J8卜軽态自由访功角盘度3.38S36xlG? 47507.2 W2 - 0.3L5U3 4 0.0157 / - 5519.7 WK3.38536x10* 47207.2 V5 - O.3L5V? 4 0.015*7.5519.7 WKU = -1605.49| W -287.711 |V = 287.055W=

11、1626.21w = -1713.84;1 K =-269.556 |n = 269.0B4w= 1734.4v= -172S.911 X 二-2S7.727 |w= 281.473甘二 1722.23400v= 1737.731 1 K 二24E.45? |n= 294.472v= 1709.786Q0v- -1749.3w -23S.758 Iw - 308.095 Iw- 1697.038C0W - -176G.651 w -225.612 |W - 322.355V- 1683.9710 DO1771.79 |w - -215.999r w - 337.268v- 1670.52120

12、0v - -1782.72 |w - -206.8991. w - 352.24u - 15.83V = -173.45 |W rr -192.292| ： W = 369.107W= 1642.7l00w = -1204. | w=-190.157w = 326.062 ；w- 1625.15ieoo占二 1B14.37 1箕二 182.471 w = 403.7S2 |2 113.ISw= -1224.S7 I -17S.21L I w= 422.183 v= 1597.662.威尔逊法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性2.1分析因假设没有作用在转子上的不平衡外力F,不计重力喀，没有重力矩Mr

13、, 只有保持转子作等加速转动的外力矩Mj取广义坐标q =（俎”044）7 ,有前 面分析可知，系统微分方程简化为mdx + ex + k rv + k4a = 0mdy + cy + k22y-k2 = O 儿（0 + &0 + 勿）+ / +切0 （1-16）J/P- + Jp（pd - k32 y + k33fl + c諮=04& + J 卿-J 肿 + 褊 x + k44a + caa = O转子形心的瞬态涡动幅频特性：圆盘的转动惯量为Jz =2Jf/= 0.0100384kg m2转轴的截面惯性矩及材料的弹性模量1 =丄卅=3.976 x 108 m4 , = 2.058x10/m26

14、4a = III影响系数法假定转子受单位力P作用求转子的位移和转角a12 ,其表达式为假定转子受单位力矩M作用求转子的位移冬2和转角勺2,其表达式为/ /、見*产引可怎卜-67.07Nmdx + ex+ knx + k4a = 0 mdy + cy + k22y-k23fl = O等加速过程中，不考虑”,（0 + &0 +妙）+ 50 + 卩=0 中的第三式JdB - J a + jpg - ki2y + 爲畀 + cpp = 0M + J 卩邨 一 J 祁 + 3 + 3 +cna = O0 = 2”x5.7rad/52 = 35.814md /F ,由威尔逊一&法 设转子涡动微分方程为（1

15、-21）M0 + C0 + K“ = F式中M.CKF分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外激励矩阵。例如,对于单盘对称放置转子，有设转子按式（11）给定的条件作等加速度旋转。威尔逊-&法是线性加速度法的扩展，就是将时间细化为很小的时间间隔Z+购。假定I屮到+购的时间间隔内，结点的加速度按线性变化，加速度 变化如下图所示：令r表示时间增量，其中处/,于是对从7到7 +他的时间区间内，假定 V（1-24）经过积分与推导后可以抽到7 +厂时刻的向量，把这些时的向量代入运 动微分方程后得把不含G+r的项移到右边，得到（1-28）F+ =F+ +M（2+r +”q“r +qj + c彳统 +2qt由以

16、上式子可以解出位移向量q*,经过推导可以得到下面各式，将5”代 入下面各式中，并令血，可以得到7 + &时刻的向量：匚侖 （q-qj-冷+（1-訓 V64=6+空+4）/2=q,+A/qf+ +$ +2qf）6 （1-29）当某时刻t瞬时节点的位移，速度，加速度已知，同时还知道通过上式求出 该节点/ + 4时刻的位移，联立上式求得，+&时刻的位移速度加速度，由此可求 得任意瞬时各节点的位移，速度，加速度。这个求解过程可通过计算机编程实现。 对于+山时刻轴系各节点的位移，可用所研究问题的运动微分方程求得，具体 步骤如下：（1）设定初值和计算常数：1）设定初值, 和2）取参数=14,选择时间步长血

17、，积分常数r = 6!Af（61.37）5 = 1-5 =%心 （1-30）（2）生成刚度矩阵K,质量矩阵M和阻尼矩阵C,并形成等效刚度矩阵：K = K+C + n0M （1-31）（3）对K做三角分解:（1-32）（4）计算等效载荷向量：F/+r=F,+f+Mf2q）z+-qf+4qr） + C|q|f+2（ih+Iq/ 厂丿 12 3 丿（1_33）（5）对每一时刻心0,4,川小计算/ +处/时刻的位移向量：Kqf+r=F+r（1-34）LLFs =（6）计算?+&时刻的加速度，速度和位移：口7 =a4. -q,） + 5q,+n6q,g =q,+n7（qz+ +q,）（1-35）qg =

18、q,+Arq, +冬（引2 + 2qr）2.2 MATLAB编程求解求得加速度图如下速度图如下06o102030405060速度求得位移图如下位移2.3 MATLAB源代码clear%结构运动方程参数m 0M=Lo加；k OK= .0 k 0Dx=zeros（n,l）;x=zeros（n,l）;fbri=l:n-lK ba=K+3/tau*C+6/tauA2*M; dF_ba=-M*dxg（i）+（M*6/tau+3 *C）*Dx（i）+（3 *M+tau/2*C）*D2x（i）; dx=dF_ba/K_ba;dD2x=（dx*6/tauA2-Dx（i）*6/tau-3*D2x（i）/theta;D2x（i+1）= a4*（x（i+l）-x（i）+a5*Dx（i）+a6*D2x（i）;Dx（i+1 ）=Dx +a7 * （D2x（ i+1 ）+Dx（i）;x（i+1 ）=x（i）+dt*Dx （i）+a 8 * （D2x（i+1 ）+2 *D2x（i）;endsubplot（311）plot（t,x） % 位移subplot（312）plot（t,Dx） % 速度subplot（313）plot（t,D2x）% 加速度