普通高等学校招生全国统一考试数学理试题全国卷II含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学理试题全国卷II含答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷II,含答案)
第I卷
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件互斥,那么球的表面积公式
如果事件相互独立,那么其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径
一.选择题
(1)复数()
(A)(B)(C)(D)
(2)函数的反函数是()
(A)(B)
(C)(D)
(3)若变量满足约束条件则的最大值为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
(4)如果等差数列中,,那么()
(A)14(B)21(C)28(D)35
(5)不等式的解集为()
(A)(B)
(C)(D)
(6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有()
(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种
(7)为了得到函数的图像,只需把函数的图像()
(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位
(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位
(8)中,点在上,平方.若,,,,则()
(A)(B)(C)(D)
(9)已知正四棱锥中,,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为()
(A)1(B)(C)2(D)3
(10)若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则()
(A)64(B)32(C)16(D)8
(11)与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点()
(A)有且只有1个(B)有且只有2个
(C)有且只有3个(D)有无数个
(12)已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则()
(A)1(B)(C)(D)2
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2.本卷共10小题,共90分。
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(13)已知是第二象限的角,,则.
(14)若的展开式中的系数是,则.
(15)已知抛物线的准线为,过且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为.若,则.
(16)已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,.若,则两圆圆心的距离.
三.解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求.
(18)(本小题满分12分)
已知数列的前项和.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:
.
(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,,,为的中点,为上的一点,.
(Ⅰ)证明:
为异面直线与的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°,求二面角的大小.
(20)(本小题满分12分)
如图,由M到N的电路中有4个组件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各组件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(Ⅰ)求p;
(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率;
(Ⅲ)表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的组件个数,求的期望.
(21)(本小题满分12分)
己知斜率为1的直线l与双曲线C:
相交于B、D两点,且BD的中点为.
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:
过A、B、D三点的圆与x轴相切.
(22)(本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)证明:
当时,;
(Ⅱ)设当时,,求a的取值范围.
参考答案
(18)解:
(Ⅰ),
,
所以.
(Ⅱ)当时,;
当时,
(19)解法一:
(Ⅰ)连接,记与的交点为F.
因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故,.
作,G为垂足,由知,G为AB中点.
又由底面面,得面.连接DG,则,故,由三垂线定理,得.
所以DE为异面直线与CD的公垂线.
(Ⅱ)因为,故为异面直线与CD的夹角,.
设,则.
作,H为垂足.因为底面面,故面,又作,K为垂足,连接,由三垂线定理,得,因此为二面角的平面角.
,
,
,,
(Ⅱ)因为等于异面直线与CD的夹角,
故,即,
解得,故.又,
所以.
设平面的法向量为,则,
即且.令,则,故.
设平面的法向量为,则,
即.
令,则,故.
所以.
由于等于二面角的平面角,
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)由于电流能通过各元件的概率都是0.9,且电流能否通过各元件相互独立,
故,.
(21)解:
(Ⅰ)由题设知,的方程为:
.
代入C的方程,并化简,得.
设、,则,①
由为BD的中点知,故,即,②
故,所以C的离心率.
(Ⅱ)由①、②知,C的方程为:
,
,
故不妨设.
,
,
.
又,故,解得或(舍去).
故.
连接MA,则由知,从而,且轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处于轴相切.
所以过A、B、D三点的圆与轴相切.
于是在处达到最小值,因而当时,,即.
所以当时,.
(Ⅱ)由题设,此时.
当时,若,则,不成立;