人教A版高中数学必修四巩固训练15函数yAsinωx+φ的图象一.docx

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人教A版高中数学必修四巩固训练15函数yAsinωx+φ的图象一

课时提升作业（十二）

函数y=Asin（ωx+φ）的图象

（一）

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.（2014·南昌高一检测）下列说法正确的是　（　　）

A.y=cosx的图象向左平移个单位长度得到y=sinx的图象

B.y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=cosx的图象

C.y=sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sin2x

D.y=sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sinx

【解析】选B.y=sinxy=sin=cosx.

2.（2014·天水高一检测）要得到函数y=3sin2x+的图象，只需将y=3sin2x的图象　（　　）

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

【解析】选A.y=3sin=3sin2，所以只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位长度即可.

【变式训练】函数y=sin的图象可看成是把函数y=sin2x的图象做以下平移得到　（　　）

A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

【解析】选B.因为y=sin=sin2，因此只要把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin的图象.

3.（2013·瑞安高一检测）要得到函数y=cos2x的图象，可由函数y=cos的图象　（　　）

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

【解析】选C.y=cos

y=cos=cos

=cos2x.

【误区警示】本题易将平移对象搞错而误选A.

4.要得到y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象　（　　）

A.向左平移1个单位长度

B.向右平移1个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

【解题指南】先将函数y=cos（2x+1）中的x的系数化为1，再确定平移的方向和大小.

【解析】选C.y=cos2xy=cos2=cos（2x+1），所以选C.

5.要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cosx-的图象　（　　）

A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度

【解析】选A.y=sinx=cos=cos

=cos，

所以将函数y=cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sinx的图象.

【拓展提升】正弦与余弦异名函数图象的平移技巧

一般地，正弦与余弦异名函数图象平移时，由cosx为偶函数知，将正弦函数利用sinx=cos化余弦后，结合cosx为偶函数可调整x系数的符号，再考虑平移单位长度数较简便.本题也可以先作变形y=cos=sin再平移，但此解法不具有一般性.

6.（2014·安庆高一检测）要得到函数y=sin2x-的图象，只需将函数y=-cos（2x-π）的图象　（　　）

A.向左平移个单位长度

B.向左平移π个单位长度

C.向右平移π个单位长度

D.向右平移个单位长度

【解析】选C.由于y=-cos（2x-π）=cos2x=sin=sin2，

y=sin=sin2

=sin2.

故只需将函数y=-cos（2x-π）的图象向右平移π个单位长度得到函数y=sin的图象.

二、填空题（每小题4分，共12分）

7.将y=cos2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为　　　　　　　　.

【解析】y=cos2x

y=cos2=cos.

答案：

y=cos

【变式训练】函数y=sinx的图象向右平移个单位长度，所得的图象对应的函数解析式是　　　　　　　　　.

【解析】将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin=sinx-的图象.

答案：

y=sin

8.将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ<2π）个单位长度得到y=sin的图象，则φ等于　.

【解析】y=sinxy=sin（x+φ），

由题意知y=sin（x+φ）可化为

y=sin=sin，

又0≤φ<2π，所以φ=π.

答案：

π

【举一反三】若将本题改为向右平移φ（0≤φ<π）个单位长度得到y=sin的图象，则φ等于　　　　.

【解析】将函数y=sinx的图象向右平移φ（0≤φ<π）个单位长度得到y=sin（x-φ）=sin，故φ=.

答案：

9.（2014·重庆高考）将函数f（x）=sin（ωx+φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f=　　　　.

【解题指南】先根据三角函数图象变换求出ω，φ的值，然后求出f的值.

【解析】函数f（x）=sin（ωx+φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为y=sin（2ωx+φ），再向右平移个单位长度得到的函数为y=sin=sin=sinx，

所以

又因为ω>0，-≤φ<，

可求得ω=，φ=，

所以f（x）=sin，

所以f=sin=sin=.

答案：

三、解答题（每小题10分，共20分）

10.（2014·成都高一检测）已知函数f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y=sinx的图象相同，求函数f（x）的解析式.

【解析】反过来想，

y=sinx

y=sin

y=sin.

故函数f（x）的解析式为f（x）=sin

=-cos2x.

11.由y=sinx怎样变换得到y=-2sin的图象？

【解析】方法一：

y=sinx向右平移个单位长度得到y=sin，横坐标缩短为原来的得到y=sin，纵坐标再伸长为原来的2倍得到y=2sin，再关于x轴对称，即得到y=-2sin.

方法二：

y=-2sin=2sin

=2sin.

①y=sinx向左平移π个单位长度得到y=sin；

②y=sin横坐标缩短为原来的得到

y=sin；

③纵坐标伸长为原来的2倍得到y=2sin即

y=-2sin.

一、选择题（每小题4分，共16分）

1.（2014·南平高一检测）函数y=3sin3x的图象可看作是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到的　（　　）

A.横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

B.横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的3倍

C.横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍

D.横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍

【解析】选B.y=sinxy=sin3xy=3sin3x.

2.（2014·湖南师大附中高一检测）为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sinx的图象　（　　）

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

【解析】选A.y=sinx

y=sin=sin=cos.

3.（2014·营口高一检测）把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移个单位长度，这时对应于这个图象的解析式为　（　　）

A.y=cos2xB.y=-sin2x

C.y=sinD.y=sin

【解析】选A.y=sinxy=sin2x

y=sin2=cos2x.

【变式训练】若将某正弦函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象的函数解析式是y=sin，则原来的函数解析式为　（　　）

A.y=sin　B.y=sin　

C.y=sinD.y=sin-

【解析】选A.y=sin向左平移个单位长度后，得到原函数y=sin.

4.设函数f（x）=cosωx（ω>0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于　（　　）

A.B.3C.6D.9

【解题指南】解答此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍.

【解析】选C.由题=·k（k∈Z），解得w=6k，令k=1，即得wmin=6.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.将函数y=sin（-2x）的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为　　　　　　　.

【解析】y=sin（-2x）

y=sin=sin.

答案：

y=sin

【误区警示】本题极易出现y=sin（-2x）y=sin的错误.

6.（2014·安徽高考）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7=　　　　.

【解析】由题意可得a1=2，a2=2×sin45°=，a3=a2×sin45°=1，

a4=a3×sin45°=，

a5=a4×sin45°=，

a6=a5×sin45°=，

a7=a6×sin45°=×=.

答案：

三、解答题（每小题12分，共24分）

7.（2014·烟台高一检测）怎样由y=cos的图象变换得到函数y=sinx的图象？

【解析】因为cos=cos

=cos=sinx，

所以将函数y=cos的图象向右平移个单位长度即可得y=sinx，然后横坐标不变，将纵坐标扩大2倍，即可得y=sinx的图象.

【变式训练】函数y=sin的图象，可由函数y=sinx的图象怎样变换得到？

【解析】答案不唯一，将y=sinx的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小到原来的一半而得到.

8.将函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f（x）的图象；将函数y=cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g（x）的图象.

（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图象.

（2）判断方程f（x）=g（x）解的个数.

【解题指南】解答本题

（1）利用平移变换法画出两个函数的图象.

（2）根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图象的交点个数，即为方程f（x）=g（x）解的个数.

【解析】函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度，

可得函数f（x）=lg（x+1）的图象，即图象C1；函数y=cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g（x）=cos=cos2x的图象，即图象C2.

（1）画出图象C1和C2的图象如图.

（2）由图象可知：

两个图象共有5个交点.

即方程f（x）=g（x）解的个数为5.