数列部分易错题选及答案.docx
《数列部分易错题选及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列部分易错题选及答案.docx（47页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数列部分易错题选及答案
数列部分易错题选
一、选择题
1.设sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知s6=36,sn=324,sn6=144（n>6）,则n=（）
A15B16C17D18
36324144
正确答案：
D错因：
学生不能运用数列的性质计算a1+an=36324144
6
2.已知sn是等差数列｛an｝的前n项和，若a2+a4+a15是一个确定的常数，则数列｛sn｝中是常数的项是（）
AS7BS8CS11Ds13
正确答案：
D错因：
学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵
活应用。
3.设｛an｝是等差数列,
｛bn｝为等比数列，其公比qz1,且bi>0（i=1、2、3…n）若
a1=b1,a11=b11贝U（）
Aa6=b6Ba6>b6Ca6b6或a6vb6
正确答案B错因：
学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。
22
4.已知非常数数列｛an｝,满足ai1-ajaj1+ai=0且aj1丰aj「i=1、2、3、…n,对于给
n1
定的正整数n向讦玄“，则ai等于（）
i1
A2B-1C1D0
正确答案：
D错因：
学生看不懂题目，不能挖掘题目的隐含条件，｛an｝的项具有
周期性。
5.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008
D-[（1p）8（1p）]p
年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）.
Aa（1+p）7Ba（1+p）8C-[（1p）7（1p）]
P
正确答案：
D错因：
学生对存款利息的计算方法没掌握。
5项的和为34，最后5项的和为146,所有项的和
D.18
6.一个只有有限项的等差数列，它的前
为234,则它的第七项等于（）
A.22B.21C.19
解：
设该数列有n项
且首项为a1，末项为an，公差为d
则依题意有
（1）
（2）可得
aian36
代入⑶有n13
从而有a1a1336
又所求项a7恰为该数列的中间项，
^_旦3618
22
故选D
说明：
虽然依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，但将a1an作
为一个整体，问题即可迎刃而解。
在求a7时，巧用等差中项的性质也值得关注。
知识的灵
活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
7.x、ab是a,x,b成等比数列的（）
A.充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解：
jl
x.ab,a、x、
b不一定等比
如a
bx0
若a、
x、b成等比数列
则x
ab
选D
说明：
此题易错选为A或B或C,原因是等比数列an中要求每一项及公比q都不为
零。
&已知Sk表示｛an｝的前K项和，Sn—Sn+1=an（n€N+）,则｛an｝—定是。
A、等差数列B、等比数列C、常数列D、以上都不正确
正确答案：
D
错误原因：
忽略an=0这一特殊性
9.已知数列一1,ai,a2,—4成等差数列，一1,bi,b2,b3,—4成等比数列，则—2却的值为
b2
111亠11
A、B、C、一或D、一
22224
正确答案：
A
错误原因：
忽略b2为等比数列的第三项，b2符号与一1、一4同号
10.等比数列｛an｝的公比为q，则q>1是“对于任意n€N+”都有an+1>an的条件。
A、必要不充分条件B、充分不必要条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
正确答案：
D
错误原因：
忽略a1与q共同限制单调性这一特性
11.数列an的前n项和为sn=n2+2n-1,
贝卩a1+a3+a5++a25=（）
A350B351C337D338
正确答案：
A
错因：
不理解该数列从第二项起向后成等差数列。
12.在等差数列｛an｝中a100,a110,且—h|务。
|，则在S中最大的负数为（）
A.S17B.SisC.S19D.S20
答案：
C
错因：
等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。
13.已知三个互不相等实数a,b,c成等差数列，那么关于x的方程ax22bxc0
A,—定有两个不相等的实数根B，一定有两个相等的实数根
C,一定没有实数根D，一定有实数根
正确答案：
D
错因：
不注意a=0的情况。
14.从集合｛1,2,3，…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的
等比数列个数为（）
A.3B.4C.6D.8
正确答案：
D
错因：
误认为公比一定为整数。
15.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设an是公比为q的无穷等
比数列，下列四组量中，一定能成为数列an“基本量”的是（）
（1）S1,S2,
（2）a2,S3（3）a1,an,（4）q,an
A.
（1）（3）B.
（1）（4）C.
（2）（3）D.
（2）（4）
正确答案（B）
错因：
题意理解不清
SnSn+2
16.已知等差数列｛an,｝的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P（n,»）,Q（n+2,^^）（n
€N+*）的直线的斜率为
A、4B、3C、2D、1正确答案：
D
错因：
不注意对和式进行化简。
1
17.在一和n1之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积
n
为..
中抽出一项（不是a1，也不是am）,余下各项的算术平均数为
A.第6项B.第8项C.第12项D.第15项
正确答案：
B
20.某种细菌M在细菌N的作用下完成培养过程，假设一个细菌M与一个细菌N可繁殖为2个细菌M与0个细菌N,今有1个细菌M和512个细菌N,则细菌M最多可繁殖的个数为
A.511
B.512C.513D.514
正确答案：
C
21.等比数列
an中，a1512,公比q
1
2'用n表示它前项的积：
na1a2..・an,
则12-.
n中最大的疋（）
11B10C9D
8
正确答案：
C
1x
22.已知f（x）厂,对于xN,
定义
fl（x）f（x）,fni（x）f（fn（x））假设
fl3（X）f3i（x），那么〔（X）解析式是（
x1x1x
ABC
xx1
x
正确答案：
B
23.如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案,
x
Fl
③
根据图中花盆摆放的规律，猜想第n个图形中花盆的盆数an
2
正确答案：
3n23n1
24.｛an｝是实数构成的等比数列,
Sn是其前n项和，则数列｛Sn｝中
A、任一项均不为0
C、至多有有限项为0正确答案：
D
B、必有一项为0
D、或无一项为0,或无穷多项为0
25.
xab是a,x,b成等比数列的（
26.
27.
A、充分非必要条件
C、充要条件
答案：
D
点评：
易错选A或B。
数列1,1+2,1+2+4，…，1+2+4+…+2n各项和为（）
A、2n+1—2—nB、2n—n—1
C、2n+2—n—3D、2n+2—n—2
答案：
C
点评：
误把1+2+4+…+2n当成通项，而忽略特值法排除，错选已知数列｛an｝的通项公式为an=6n—4，数列｛bn｝的通项公式为100项中与数列｛bn｝中各项中相同的项有（）
C、6项
B、必要非充分条件
D、既不充分又不必要条件
A。
bn=2n,则在数列｛an｝的前
28.
是（
A、50项B、34项
点评：
列出两个数列中的项，找规律。
已知数列｛an｝中，若2anan1
2
A.a2a4wa3
an1（nN,n>2），则下列各不等式中一定成立的
B.
玄2玄4
a3
C.
a2a4》
2a3
D.
a2a4
2
a3
正解:
A
由于2an
an1
an1（nN
*
n>
2）,
{an}为
玄2玄4
（a1
d）（a1
3d）a；
4a1d
3da2
而a；
@1
2d）2
a；4a1d
4d2
a2a4
2.2
a3dw
误解:
判断不出等差数列，判断后,
是否选用作差法。
29•某工厂第
/*/*>*E
第二年的增长率为
a,第二年的增长率为
年年厂里为A,
2
b,
增长率为x,
则（
等
0
）。
差数列。
/2a?
a4wa3
这两年的平均
E.
F.
G.
H.
ab
x
2
ab
xw—
2
ab
x>
2
ab
x>-
2
正解：
B
设平均增长率为
A（1
x）2A（1a）（1
b）
（1x）2
（1
a）（1b）
..（1a）（1b）
误解:
A（1a）（1b）
1a1b
2
1aba
ab
2
Iab
2
2A
30.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进
如（1101）2表示二
进制数，将它转换成十进制形式，是
123122021
20
13，那么二进制数
（11...1）2转换成十进制形式是（）
16个
I.217-2
J.216-2
K.216-1
L.215-1
正解：
C
（11…1）2=2214
16个
1216
20丄2161
12
误解：
①没有弄清题意；②
1615
（11...1）2=22
16个
117
222
31•在数列｛a.｝中，ai2,2a.i
2an3，则
an等于（
M.
N.
O.
P.
27
~2
10
13
19
正解：
C°
由22an12an
3得an1
an
an｝是等差数列
ai
2,d2,aii13
误解：
A、
B、D被式子2an12an
3的表面所迷惑，未发现｛a.｝是等差数列这
个本质特征，而只由表面的递推关系得到,
从而计算繁琐，导致有误。
32.已知等比数列
｛a.｝的首项为ai，公比为
q,
且有
nim（i
ai
1
-qn），则首项a1的取
q2
值范围是（
Q.
ai
1且a1
R.
ai
3或ai
S.
ai
T.
ai
1且a1
正解:
丄或a13
2
1时，lim（色n2
1）
ai
误解:
0a1且ai
ai
①没有考虑q
②对q，只讨论了0
33.在ABC中，a,b,c为
A,
1q1，而得到了错误解答。
B,C的对边，且cos2BcosBcos（AC）1,则
））
U.
a,b,c成等差数列
V.
a,c,b成等差数列
W.
a,c,b成等比数列
X.
a,b,c成等比数列
正解
:
D。
B（AC）cosBcos（AC）
即cos2Bcos（AC）cos（AC）1
2
2sinAsinc1cos2B,2sinAsinC2sinB
22
sinBsinAsinCbac
注意：
切入点是将cosB恒等变形，若找不准，将事倍功半。
34.x=.ab是a、x、b成等比数列的（
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
错解：
C或A
错因：
①误认为x=...ab与x2ab。
②忽视x,ab为零的情况。
正解：
D
35.若a,b,c,d成等比数列，则下列三个数：
①ab,bc,cd
②ab,bc,cd
③a
b,bc,cd，必成等比数列的个数为（
）
A、3B、2
C
、1D、0
错解：
A.
错因：
没有考虑公比
q
1和q1的情形，将①③也错认为是正确的.
正解：
C.
*2
36.已知｛an｝是递增数列，且对任意nN都有ann
围
7、
A、（2，）错解：
C
B、（0,）
C、（2,）
（D）
D、（3,）
错因：
从二次函数的角度思考，用一1
正解：
D。
（A）是3或—3
（B）是3
（C）
是一3
（D）不存在
错解：
A
错因：
直接a3
9,a5,a7
1成等比数列，
2
a5（9）（
1），忽视这三项要同号。
正解：
C
38.数列｛an｝的前
2
n项和snn
2n1,则a1
a3a5
a25
A、350
B、351
C、337
D、338
37.等比数列｛an｝中，若a3
9,a71，则a5的值
答案：
A
错解：
B
错因：
首项不满足通项。
logm（ab）1，贝Vm的取值范围是
错解：
D
错因：
並1化简时没有考虑aio的正负。
aio
40.若a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0
42.等比数列
an中，已知a11,公比q2,则a2和a8的等比中项为（
A、16B、土16C、32D、土32
正确答案：
（B）
错误原因：
审题不清易选（A）,误认为是a5，实质为土a5。
二填空题:
［错解］3或3
［错解分析］没有意识到所给条件隐含公比为正
［正解］32.实数项等比数列K的前n项的和为5，若t必，则公比q等于
1
［错解］-
8
［错解分析］用前n项的和公式求解本题,计算量大，出错，应活用性质
&1
［正解］一
2
3•从集合1,2,3,4,,20中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列
最多有
［错解］90个
［错解分析］没有考虑公差为负的情况，思考欠全面
［正解］180个
4•设数列an,bnbn0,nN满足a.lgbllgb韭，则an为等差数
n
列是bn为等比数列的条件
［错解］充分
［错解分析］对数运算不清，判别方法没寻求到或半途而废
［正解］充要
S
5•若数列an是等差数列，其前n项的和为Sn，则bnn,nN,bn也是等差数列，
n
类比以上性质，等比数列Cn,Cn0,nN，则dn=,dn也是等比数列
［错解］Sl
S
［错解分析］没有对—仔细分析，其为算术平均数,
n
［正解］nC1C2Cn
6.已知数列an中，a3,a26,an2an1an,则a2003等于
［错解］6或3或3
［错解分析］盲目下结论，没能归纳出该数列项的特点
［正解］6
2
7.已知数列an中，annn（是与n无关的实数常数），且满足
aia2a3anan1，则实数的取值范围是
［错解］,3
［错解分析］审题不清,若能结合函数分析会较好
［正解］3,
&一种产品的年产量第一年为a件，第二年比第一年增长Pi%,第三年比第二年增长P2%,
且p10,p20,p1p22p，若年平均增长x%，则有x_p（填或或=）
［错解］
［错解分析］实际问题的处理较生疏，基本不等式的使用不娴熟
［正解］
9.给定anlogn1n2nN，定义使a1a2ak为整数的kkN叫做“企盼
数”则在区间（1,62）内的所有企盼数的和是.
正确答案：
52
错因：
大部分学生难以读懂题意，也就难以建立解题数学模型。
10.数列｛an｝的前n项和Sn=n2+1，贝Uan=
2n1
答案：
an=
2n1n2
点评：
误填2n—1,忽略“an=Sn—Sn-1”成立的条件：
“n》2”
11.已知｛an｝为递增数列，且对于任意正整数n,an=—n2+入n恒成立，则入的取值范围是
答案：
入>3
点评：
利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用an+1>an恒成立较方便。
12.关于数列有下列四个判断：
1）若a,b,c,d成等比数列，则ab,bc,cd也成等比数列；
2）若数列｛an｝既是等差数列也是等比数列，则｛an｝为常数列；
3）数列｛a*｝的前n项和为Sn,且Sna"1（aR），则｛a*｝为等差或等
比数列；
4）数列｛an｝为等差数列，且公差不为零，则数列｛an｝中不会有
aman（mn），其中正确判断的序号是（注：
把你认为正确判
断的序号都填上）
正解:
⑵（4）.
误解
:
⑴⑶。
对于
（1）a、b、e、d成等比数列。
b2
ae
2e
bd
be
ad
b
2
eab（ed）
a
b,be,e
d也成等比数列，这时误解。
因为
特
列：
a
1,b
1,e
1,d1时，a,b,e,d成等比数列，但ab
0,b
e
0,
cd0，即0,0,0不成等比。
对于（3）可证当a1时，为等差数列，a1时为等比数列。
a0时既不是
等差也不是等比数列，故（3）是错的。
13•关于x的方程x2（3n2）x3n2740（nZ）的所有实根之和为。
正解：
168
方程有实根，
22
（3n2）4（3n74）>0
解得：
2104x1x23n2
所有实根之和为3[（8）（7）...12]221168
误解：
没能根据条件具体确定n的取值，只得出一个关于n的多项式结果。
14.有四个命题：
1）一个等差数列｛an｝中，若存在ak1ak0（kN），则对于任意自然
数nk，都有an0；
2）一个等比数列｛an｝中，若存在ak0,ak10（kN），则对于任意
nk，都有an0;
nk，都有an0;
nk，都有a.a.i0，其中正确命题的序号是。
正解：
由等差数列和等比数列的性质得①②④。
误解：
“对于等比数列，若q0，各项同号（同正或同负），若q0,各项正,
负相间”，学生对此性质把握不清，故认为②④错。
15.已知数列｛an｝的前n项和Sn=an-1（aR,a0）,则数列｛an｝
3
错解：
（二）
4
错因：
忽视a40，即第4项可为0。
正解:
正解：
—
18
18.等差数列｛an｝中，a1=25,S17=S8,则该数列的前项之和最大，其最大值为
错解：
12
错因：
忽视a13
错解:
20.已知数列｛an｝是非零等差数列，又a1,a3,a9组成一个等比数列的前一项,
a1
ITIll
a3
a9
贝U
a2
a4
a10
的值是
。
答案:
:
1或13
16
错解:
：
13
：
16
错因:
:
忘考虑公差为零的情况。
21.对
任意正整数n,ann2n满足数列是递增数列，
则的取值范围
是
。
答案:
:
由an1an得3
错解:
2
错因：
利用二次函数的对称轴，忽视其与3的关系。
2
22.数列
an的前n项之和为Sn2n23n，若将此数列按如下规律编组:
（a1）、
（a2,
a3）、
错因：
裂项求和时系数
2丢掉。
（a4,a5,a6）、，则第n组的n个数之和为
正确答案：
2n33n
法，应转化为：
S罟S冒
dn也是等比数列（以上nN）
正确答案：
dnnGC2Cn
错误原因：
类比意识不强
三、解答题:
2
1.设数列的前n项和为Snn2n
4（nN），求这个数列的通项公公式
QanSnSn1,
［错解］
an2n1nN
［错解分析］此题错在没有分析n
的情况，以偏概全.误认为任何情况下都有
anSn
Sn1n
n
［正解］
n
1时耳
2时,an
S1
Sn
7,
12n
因此数列的通项公式是
2.已知一个等比数列
比.
an
an
2n1
前四项之积为
—,第二、三项的和为2,求这个等比数列的公
16
［错解］Q四个数成等比数列，可设其分别为
aa3
3,,aq,aq,
qq
丄
16，解得q,21或q
2
故原数列的公比为q232.2或q2
2.2
［错解分析］按上述设法，等比数列公比
0,各项一定同号，而原题中无此条件
［正解］设四个数分别为a,aq,aq2,aq3,
aqaq2、、2
42
1q64q
0时，可得q26q10,q32.2;
o
当q0时，可得q10q10,q
54、,6
3.已知正项数｛an｝满足a1=a（0an
1an
，求证:
（I）an
an
1（n1）a
（II）
ak
1.
解析：
（I）将条件an1
J变形，得
1an
1
an1
1
an
1.
1
1
1
1
1
1,
是，有
1,
1,
1,
a2
a1
a3
a2
a4
a3
1
an
1
an1
将这n-1个不等式叠加，得
an
1
n1，故
a
an
an
（n
1）a
（II）注意到0an
an
1
（n1）a1-
n1a
1.
1）n1，求数列an的通项公式。
从而，有—1—
k1k1k1k（k1）
4.已知数列an的前n项和Sn满足log2（Sn
解：
log2（Sn
1）
n1
Sn
12n1,
Sn
2n11
当n
1时，a1
3
3
升级会员 