江苏省数学竞赛初赛试题原题详解.doc

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2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题（每小题7分，共70分）

1．已知sinαcosβ＝1，则cos（α＋β）＝．

2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．

4．已知＝，则实数x＝．

5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．

6．设f（x）＝log3x－，则满足f（x）≥0的x的取值范围是．

7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．

8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝．

9．设数列{an}满足：

an＋1an＝2an＋1－2（n＝1，2，…），a2009＝，则此数列的前2009项的和为．

10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b（a＋b），则b＝．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．

12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．

13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？

请证明你的结论．

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

（2009年5月3日8∶00－10∶00）

一、填空题（每小题7分，共70分）

1．已知sinαcosβ＝1，则cos（α＋β）＝．填0．

解：

由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，

∴α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πÞα＋β＝2（k＋l）π＋（k，l∈Z）．

∴cos（α＋β）＝0．

2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．填11．

解：

设公差为d，则得

55＝－5×11＋×11×10dÞ55d＝110Þd＝2．

ak＝55－4×10＝15＝－5＋2（k－1）Þk＝11．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．填．

解：

由（2b）2＝2c×2aÞa2－c2＝acÞe2＋e－1＝0Þe＝．

4．已知＝，则实数x＝．填1．

解：

即＝Þ32x－4×3x＋3＝0Þ3x＝1（舍去），3x＝3Þx＝1．

5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．填．

解：

A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．

VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；

又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝（1－－×）SBCD＝SBCD，

VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．

∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．

又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：

在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．

由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．

在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．

由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．

∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．

6．设f（x）＝log3x－，则满足f（x）≥0的x的取值范围是．填[3，4]．

解：

定义域（0，4]．在定义域内f（x）单调增，且f（3）＝0．故f（x）≥0的x的取值范围为[3，4]．

7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．填78000．

解：

设净水器的长、高分别为x，ycm，则

xy＝300，

V＝30（20＋x）（60＋y）＝30（1200＋60x＋20y＋xy）

≥30（1200＋2＋300）＝30（1500＋1200）

＝30×2700．

∴至少可以存水78000cm3．

8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝．填－．

解：

设||＝||＝||＝R．则

·＝（＋）·＝·＋·＝R2cos（π－2C）＋R2cos2B

＝R2（2sin2C－2sin2B）＝（2RsinB）2－（2RsinC）2＝（122－132）＝－．

9．设数列{an}满足：

an＋1an＝2an＋1－2（n＝1，2，…），a2009＝，则此数列的前2009项的和为．填2008＋．

解：

若an＋1≠0，则an＝2－，故a2008＝2－，a2007＝2－＝－，a2006＝2＋，a2005＝．

一般的，若an≠0，1，2，则an＝2－，则an－1＝，an－2＝，an－3＝an＋1，故an－4＝an．

于是，an＝502（a1＋a2＋a3＋a4）＋a2009＝502（a2005＋a2006＋a2007＋a2008）＋a2009＝2008＋．

10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b（a＋b），则b＝．填0，，－1．

解：

若a为负整数，则a2＞0，2b（a＋b）＜0，不可能，故a≥0．

于是a2＝2b（a＋b）＜2（a＋1）Þa2－2a－2＜0Þ0≤a＜1＋Þa＝0，1，2．

a＝0时，b＝0；

a＝1时，2b2＋2b－1＝0Þb＝；

a＝2时，b2＋2b－2＝0Þb＝－1．

说明：

本题也可以这样说：

求实数x，使[x]2＝2{x}x．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．

解：

取方程组代入得，25y2－64y＋28＝0．

此方程的解为y＝2，y＝．

即得B（0，2），A（－，），又左焦点F1（－，0）．

连OA把四边形AFOB分成两个三角形．

得，S＝×2×＋××＝（72＋7）．

也可以这样计算面积：

直线与x轴交于点C（－4，0）．所求面积＝×4×2－×（4－）×＝（72＋7）．

也可以这样计算面积：

所求面积＝（0×2－0×0＋0×－（－）×2＋（－）×0－（－）×＋（－）×0－0×0）＝（＋）＝（72＋7）．

12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．

解：

＝Þ△ACD∽△ABCÞ∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．

∴CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．

∴cosA＝＝＝＝．

∴BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9ÞBC＝21．

13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

解法一：

显然k＞0．（＋）2≤k2（2x＋y）Þ（2k2－1）x－2＋（k2－1）y≥0对于x，y＞0恒成立．

令t＝＞0，则得f（t）＝（2k2－1）t2－2t＋（k2－1）≥0对一切t＞0恒成立．

当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．

此时当t＝时，f（t）取得最小值－＋k2－1＝＝．

当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．

∴k∈[，＋∞）．

解法二：

显然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，则k2≥＝（1＋）．

令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s（u）＝的最大值．

s（u）＝≤＝2，于是，（1＋）≤（1＋2）＝．

∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立（当x＝4y＞0时等号成立）．

又：

令s（t）＝，则s¢（t）＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s¢（t）＞0，在t＞时，s¢（t）＜0，即s（t）在t＝时取得最大值2，此时有k2≥（1＋s（））＝．

解法三：

由Cauchy不等式，（＋）2≤（＋1）（2x＋y）．

即（＋）≤对一切正实数x，y成立．

当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．

而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．

∴k∈[，＋∞）．

14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？

请证明你的结论．

解：

对于任意n∈N*，n2≡0，1（mod4）．

设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0（mod4）或b≡0（mod4），或a≡b≡2（mod4），均有ab≡0（mod4），此时，ab＋10≡2（mod4），故ab＋10不是完全平方数；②若a≡b≡1（mod4），或a≡b≡3（mod4），则ab≡1（mod4），此时ab＋10≡3（mod4），故ab＋10不是完全平方数．

由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab（mod4）且a与b均不能被4整除．

⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．

即2，3，13是满足题意的一组自然数．

⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．

这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．

故证．

2010年全国高中数学联赛江苏赛区·初赛

一、填空题（本题满分70分，每小题7分）

1．方程的实数解为．

2．函数R的单调减区间是.

3．在△中，已知，，则＝.

4．函数在区间上的最大值是，最小值是．

5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，

其中、、，则的取值范围为．

6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数

（第