常用的地图投影.docx

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常用的地图投影

第一节　圆锥投影

一、圆锥投影的基本概念

1．圆锥投影的定义

圆锥投影的概念可用图5-1来说明：

设想将一个圆锥套在地球椭球上而把地球椭球上的经纬线网投影到圆锥面上，然后沿着某一条母线（经线）将圆锥面切开面展成平面，就得到圆锥投影。

2．圆锥投影的分类

①按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥投影，见图5－2，但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。

所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。

②按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影

切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360度。

在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。

在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。

③圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种。

构成圆锥投影需确定纬线的半径ρ和经线间的夹角δ，ρ是纬度的函数用公式表示为。

δ是经差λ的函数。

用公式表示为，对于不同的圆锥投影它是不同的。

但对于某一具体的圆锥投影（），它的值是相同的。

当=1时（圆锥顶角为180度），为方位投影；=0时（圆锥体的顶角小到0度），为圆柱投影。

方位投影和圆柱投影都可看成是圆锥投影的特例。

3．基本公式

在制图实践中，广泛采用正轴圆锥投影。

对于斜轴、横轴圆锥投影，由于计算时需经过坐标换算，且投影后的经纬形状均为复杂曲线，所以较少应用。

因此本文只研究正轴圆锥投影。

下面研究正轴圆锥投影的一般公式。

圆锥投影中纬线投影后为同心圆圆弧，经线投影后相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比见图5-3。

对正轴圆锥投影而言，设区域中央经线投影作为X轴，区域最低纬线与中央经线交点为原点，则根据定义，正轴圆锥投影的坐标及变形计算一般公式为：

式中：

为纬线投影半径，函数取决于投影的性质（等角、等积或等距离投影），它仅随纬度的变化而变化；是地球椭球面上两条经线的夹角；是两条经线夹角在平面上的投影；是小于1的常数。

在正轴圆锥投影中，经纬线投影后正交，故经纬线方向就是主方向。

因此经纬线长度比（）也就是极值长度比（），中数值大的为，数值小的为。

考虑到的数值由圆心起算，而地球椭球纬度由赤道起算，两者方向相反，故在m式子前面加上负号。

二、等角圆锥投影

1．基本概念和公式

　　在等角圆锥投影中，微分圆的表象保持为圆形，也就是同一点上各方向的长度比均相等，或者说保持角度没有变形。

本投影亦称为兰勃脱（Lambert）正形圆锥投影。

根据等角条件代入（5－1），可得到等角圆锥投影的一般公式：

1．单标准纬线等角圆锥投影

这种情况下通常制定制图区域内中间的一条纬线上无长度变形。

这条无变形的纬线称为标准纬线，用表示标准纬线的纬度，则可确定

式中：

为标准纬线的卯酉圈曲率半径。

2．双标准纬线等角圆锥投影

这种情况下通常制定制图区域内某两条纬线，要求在这两条纬线上没有长度变形，即长度比为1，为标准纬线。

由条件可确定投影常数：

2．正轴等角圆锥投影的应用

现行百万分一地图投影采用双标准纬线等角圆锥投影。

百万分一地图具有一定的国际性，在同一时期内各国编制出版的百万分一地图，采用相同的规格，即地图投影、分幅编号、图式规范等基本上一致，可促使该比例尺地图得到较广泛的国际应用和交往。

由于1:

100万地图采用的等角圆锥投影是对每幅图单独进行投影，因此同纬度的相邻图幅在同一个投影带内，所以，东西相邻图幅拼接无裂隙。

但上下相邻图幅拼接时会有裂隙，裂隙大小随纬度的增加而减小。

见图5－5。

相邻带两幅图以中央经线为准拼接时，裂隙在赤道附近约为0.6mm，在中纬度地区约为0.3～0.4mm。

三、正轴等面积圆锥投影

在等面积圆锥投影中，制图区域的面积大小保持不变，也就是面积比等于1（P=ab=1）。

因为在正轴圆锥投影中沿经纬线长度比就是极值长度比，

故:

P=ab=mn=1。

四、等距离圆锥投影

正轴等距离圆锥投影沿经线保持等距离，即，根据此条件可推导出正轴等距离投影的公式。

五、圆锥投影变形分析及其应用

　　从圆锥投影长度比一般公式（5－1）可以看出，正轴圆锥投影的变形只与纬度发生关系，而与经差无关，因此同一条纬线上的变形是相等的，也就是说，圆锥投影的等变形线与纬线一致。

根据圆锥投影的变形特征可以得出结论：

圆锥投影最适宜于作为中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影。

圆锥投影在编制各种比例尺地图中均得到了广泛应用，这是有一系列原因的。

首先是地球上广大陆地位于中纬地区；其次是这种投影经纬线形状简单，经线为辐射直线，纬线为同心圆圆弧，在编图过程中比较方便，特别在使用地图和进行图上且算时比较方便，通过一定的方法，容易改正变形。

第二节　圆柱投影

一、正轴圆柱投影的一般公式

在正常位置的圆柱投影中，纬线表象为平行直线，经线表象也是平行直线，且与纬线正交。

从几何意义上看，圆柱投影是圆锥投影的一个特殊情况，设想圆锥顶点延伸到无穷远时，即成为一个圆柱面。

显然在圆柱面展开成平面以后，纬圈成了平行直线，经线交角等于0，经线也是平行直线并且与纬线正交。

图5－8为正轴圆柱投影的经纬线形状图，图5－9为正轴圆柱投影示意图。

二、圆柱投影的分类　　

圆柱投影可以按变形性质而分为等角、等面积和任意投影（其中主要是等距离投影）见图。

此外尚有所谓透视圆柱投影，其特点是建立x坐标的方法不同，从变形性质上看，也是属于任意投影。

见图5－10

按“圆柱面”与地球不同的相对位置可分为正轴、斜轴和横轴投影。

又因“圆柱面”与地球球体相切（于一个大圆）或相割（于两个小圆）而分为切圆柱或割圆柱投影。

见图5－11，5－12。

三、圆柱投影变形分析及其应用

由研究圆柱投影长度比的公式（指正轴投影）可知，圆柱投影的变形，象圆锥投影一样，也是仅随纬度而变化的。

在同纬线上各点的变形相同而与经度无关。

因此，在圆柱投影中，等变形线与纬线相合，成为平行直线（图5－13）。

圆柱投影中变形变化的特征是以赤道为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相同。

　因标准纬线不同可分成切（切于赤道）圆柱及割（割于南北同名纬线）圆柱投影。

　在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自赤道向两侧随着纬度的增加而增大。

在割圆柱投影中，在两条标准纬线（±）上没有变形，自标准纬线向内（向赤道）及向外（向两极）增大。

圆柱投影中经线表象为平行直线，这种情况与低纬度处经线的近似平行相一致。

因此，圆柱投影一般较适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。

第三节　高斯-克吕格投影

一、高斯－克吕格投影的条件和公式

　　高斯-克吕格（Gauss—Krüger）投影是等角横切椭圆柱投影。

从几何意义上来看，就是假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某一子午线相切（此子午线称中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道上，如图5－14所示，再按高斯-克吕格投影所规定的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭圆柱面上，并将此圆柱面展为平面，即得本投影。

这个投影可由下述三个条件确定：

　　1．中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴；

　　2．投影具有等角性质；

3．中央经线投影后保持长度不变。

根据以上三个投影条件可得高斯－克吕格投影的直角坐标公式：

在这些公式中略去六次以上各项的原因，是因为这些值不超过0.005m，这样在制图上是能满足精度要求的。

实用上将化为弧度，并以秒为单位，得：

高斯－克吕格投影长度比公式为：

高斯－克吕格投影子午线收敛角公式为：

二、高斯-克吕格投影的变形分析及应用

由长度比公式可知，可得到高斯－克吕格投影的变形规律：

　　1.当λ=0时，μ=1，即中央经线上没有任何变形，满足中央经线投影后保持长度不变的条件。

　　2.λ均以偶次方出现，且各项均为正号，所以在本投影中，除中央经线上长度比为1以外，其它任何点上长度比均大于1。

3.在同一条纬线上，离中央经线愈远，则变形愈大，最大值位于投影带的边缘。

　　4.在同一条经线上，纬度愈低，变形愈大，最大值位于赤道上。

　　5.本投影属于等角性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。

　　6.长度比的等变形线平行于中央轴子午线。

三、高斯投影分带

因高斯投影的最大变形在赤道上，并随经差的增大而增大，故限制了投影的精度范围就能将变形大小控制在所需要的范围内，以满足地图所需精度的要求，因此确定对该投影采取分带单独进行投影。

根据0.138％的长度变形所产生的误差小于1:

2.5万比例尺地形图的绘图误差，决定我国1:

2.5万至1:

50万地形图采用6度分带投影，考虑到1:

1万和更大比例尺地形图对制图精度有更高的要求，需要进一步限制投影带的精度范围，故采用3度分带投影。

分带后，各带分别投影，各自建立坐标网。

1.分带法

分带投影是从零子午线起，由西向东，每为一带，全球共分为60带，用阿拉伯数字1、2、……60标记，凡是的整数倍的经线皆为分带子午线。

每带的中央经线度数和代号n用下式求出：

2．3度分带法

从东经起算，每3度为一个投影带，将全球分为120带，用阿拉伯数字1、2、……、120标记。

这样分带的目的在于使6度带的中央经线全部为3度带的中央经线，即3度带中有半数的中央经线同6度带的中央经线重合，以便在由3度带转换为6度带时，不需任何计算，而直接转用。

分带投影的优越性，除了控制变形，提高精度外，还可以减轻坐标值的计算工作量，提高工作效率。

鉴于高斯投影的带与带之间的同一性、每个带内上下、左右的对称性，全球60个带或120个带，只需要计算各自的1/4各带各经纬线交点的坐标值，通过坐标值变负和冠以相应的带号，就可以得到全球每个投影带的经纬网坐标值。

但分带投影亦带来邻带互不联系，邻带间相邻图幅不便拼接的缺陷。

四、坐标网

为了制作和使用地图的方便，通常在地图上都绘有经纬线网和方里网

1．经纬线网

经纬线网指由经线和纬线所构成的坐标网，它指示物体在地面上的地理位置，又称地理坐标网。

它在绘制地图时不仅起到控制作用，确定地球表面上各点和整个地形的实际位置，而且还是计算和分析投影变形所必须的，也是确定比例尺进行量测所不可缺少的。

现行图式规定，1:

5千、1:

1万、1:

2.5万、1:

5万和1:

10万地形图图幅内不绘经纬线网（绘有方里网）；1:

25万和1:

50万地形图，应在图幅内绘经纬线网（表5－3）。

2．方里网

方里网是平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。

由于是每隔整（千米）绘出坐标纵线和横线，故称为方里网，因为方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标线，放又称为直角坐标网。

我国规定在1:

5千～l:

10万地形图上必须绘出方里网，其方里网密度如表5-4。

通用横轴墨卡托投影（UniversalTransverseMercatarProjection）取前面三个英文字母大写而称UTM投影。

它与高斯-克吕格投影相比较，这两种投影之间仅存在着很少的差别，从几何意义看，UTM投影属于横轴等角割圆柱投影，圆柱割地球于两条等高圈（对球体而言）上，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比小于1（假定μ=0.9996）

第四节　墨卡托投影

一、墨卡托投影的定义