第二十一届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案.docx
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第二十一届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
阅卷人
第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷
本卷共七题，满分140分.
一、（20分）薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数
，其中t为渗透持续时间，S为薄膜的面积，d为薄膜的厚度，
为薄膜两侧气体的压强差．k称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材料的气密性能愈好．
图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图．EFGI为渗透室，U形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U形管内横截面积A＝0.150cm2．实验中，首先测得薄膜的厚度d=0.66mm，再将薄膜固定于图中
处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积
，下面部分连同U形管左管水面以上部分的总容积为V1，薄膜能够透气的面积S=1.00cm2．打开开关K1、K2与大气相通，大气的压强P1＝1.00atm，此时U形管右管中气柱长度
，
．关闭K1、K2后，打开开关K3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强
，关闭K3并开始计时．两小时后，U形管左管中的水面高度下降了
．实验过程中，始终保持温度为
．求该薄膜材料在
时对空气的透气系数．（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值
来代替公式中的
．普适气体常量R=8.31Jmol-1K-1，1.00atm=1.013×105Pa）．
二、（20分）两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R的2倍，卫星通过近地点时的速度
，式中M为地球质量，G为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R表示）
三、（15分）μ子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命
．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批μ子，以v=0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t=0时刻的粒子数为N（0）,t时刻剩余的粒子数为N（t），则有
，式中τ为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的μ子数为原来的5％，试估算μ子产生处相对于地面的高度h．不考虑重力和地磁场对μ子运动的影响．
四、（20分）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．
z
如图，S1、S2、S3是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α=arctan
的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f=1.50h、半径为r=0.75h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为L=12.0h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）
1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．
2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．
五、（20分）如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1＝q2＝q，两点电荷到球心的距离均为a．由静电感应与静电屏蔽可知：
导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q．空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想（等效）点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：
设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷
与q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷
与q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷
、
和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．
1．试根据上述条件，确定假想等效电荷
、
的位置及电量．
2．求空腔内部任意点A的电势UA．已知A点到球心O的距离为r，
与
的夹角为θ．
六、（20分）如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为π-α，α<π/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小．
七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x=x0和x=0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速
．设导轨足够长，
也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距
，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系．
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2=HA
（1）
p2=p1
经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
（2）
（3）
渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
（4）
（5）
式中ρ为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程
可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数
（6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数
（7）
式中NA为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了∆p
（8）
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
（9）
测试过程的平均压强差
（10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
（11）
评分标准：
本题20分．
（1）、
（2）、（3）、（4）、（5）式各1分，（6）式3分，（7）、（8）、（9）、（10）式各2分，（11）式4分．
二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角α1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角α2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC．
因卫星椭圆轨道长轴的长度
（1）
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
（2）
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
（3）
已知
C
，
得
（4）
所以
（5）
在△ABC中用正弦定理
（6）
所以
（7）
地心与星体之间的距离为
，在△BOC中用余弦定理
（8）
由式（4）、（5）、（7）得
（9）
评分标准：
本题20分．
（1）式2分，
（2）、（3）式各3分，（6）、（8）式各3分，（9）式6分．
三、因μ子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
根据时间膨胀效应，在地球上观测到的μ子平均寿命为τ，
（1）
代入数据得
τ=1.4×10－5s
（2）
相对地面，若μ子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的μ子数为
（3）
根据题意有
（4）
对上式等号两边取e为底的对数得
（5）
代入数据得
（6）
根据题意，可以把μ子的运动看作匀速直线运动，有
（7）
代入数据得
（8）
评分标准：
本题15分．
（1）式或
（2）式6分，（4）式或（5）式4分，（7）式2分，（8）式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中
表示组合透镜的平面，
、
、
为三个光束中心光线与该平面的交点．
＝u就是物距．根据透镜成像公式
（1）
可解得
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utanα≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f和L的值，算得
≈1.757h
（2）
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有
（3）
即光心O1的位置应在
之下与
的距离为
（4）
同理，O3的位置应在
之上与
的距离为0.146h处．由（3）式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．
2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．
因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于
＝
＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足（3）式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在
平面内时相互交叠的情况（纸面为
平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，
、
为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．
为圆心的圆1和以
（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光
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