九年级数学上册第1章二次函数专题训练二次函数yax2+bx+c的系数abc与图象的关系新版浙教版.docx

九年级数学上册第1章二次函数专题训练二次函数yax2+bx+c的系数abc与图象的关系新版浙教版.docx

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九年级数学上册第1章二次函数专题训练二次函数yax2+bx+c的系数abc与图象的关系新版浙教版

二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系

►　类型之一　二次函数的图象与系数a，b，c的关系

1．2017·成都在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，下列说法正确的是（　　）

A．abc＜0，b2－4ac＞0B．abc＞0，b2－4ac＞0

C．abc＜0，b2－4ac＜0D．abc＞0，b2－4ac＜0

图2－ZT－1

图2－ZT－2

2．2017·广安如图2－ZT－2所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B（－1，3），与x轴的交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，以下结论：

①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.

其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．2017·绍兴模拟如图2－ZT－3，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列结论：

①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＋c＜1；④b2＋8a＞4ac.

其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

图2－ZT－3

图2－ZT－4

4．如图2－ZT－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点（－1，0）和点（0，－3），且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是（　　）

A．－3＜P＜－1

B．－6＜P＜0

C．－3＜P＜0

D．－6＜P＜－3

5．如图2－ZT－5，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在点（0，－2）和（0，－1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：

①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac－b2＜8a；④

＜a＜

；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③B．①③④

C．②④⑤D．①③④⑤

图2－ZT－5

图2－ZT－6

6．2017·株洲如图2－ZT－6，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（－1，0），点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，－2），小强得到以下结论：

①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞

－1.其中正确结论的序号是________．

7．如图2－ZT－7所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A.

（1）根据图象确定a，b，c的符号；

（2）如果OC＝OA＝

OB，BC＝4，求这个二次函数的表达式．

图2－ZT－7

►　类型之二　二次函数与其他函数的图象的综合

8．在反比例函数y＝

中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝mx2＋mx的图象大致是图2－ZT－8中的（　　）

图2－ZT－8

9．2017·安徽已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝

的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是（　　）

图2－ZT－9

图2－ZT－10

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图2－ZT－10，则反比例函数y＝－

与一次函数y＝bx－c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）

图2－ZT－11

►类型之三　二次函数的图象与方程（不等式）的关系

图2－ZT－12

11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（－1，－3.2）及部分图象如图2－ZT－12所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（　　）

A．－1.3B．－2.3C．－0.3D．－3.3

12．2017·杭州设直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　）

A．若m＞1，则（m－1）a＋b＞0

B．若m＞1，则（m－1）a＋b＜0

C．若m＜1，则（m－1）a＋b＞0

D．若m＜1，则（m－1）a＋b＜0

13．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：

若m，n（m

A．m

C．a

图2－ZT－13

14．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函数y＝

x的图象如图2－ZT－13所示，则方程ax2＋（b－

）x＋c＝0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0B．等于0

C．小于0D．不能确定

15．2017·常州已知二次函数y＝ax2＋bx－3中自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：

x

…

－2

－1

0

1

2

3

…

y

…

5

0

－3

－4

－3

0

…

则在实数范围内能使得y－5>0成立的x的取值范围是________．

16．如图2－ZT－14，已知二次函数y1＝－x2＋

x＋c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A，B两点的直线为y2＝kx＋b.

（1）求二次函数的表达式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1

图2－ZT－14

详解详析

1．B　[解析]由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，得a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴上，得c<0，对称轴在y轴的右侧，得－

>0，所以b<0，所以abc＞0；图象与x轴有两个交点，则b2－4ac>0.综上，故选B.

2．B　[解析]由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，故结论②不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－

＝－1，∴2a＝b，即2a－b＝0，故结论③正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B（－1，3），∴a－b＋c＝3.∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴2a＝b，∴a－2a＋c＝3，即c－a＝3，故结论④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选B.

3．D　[解析]①由函数的图象可得：

当x＝－2时，y＜0，即y＝4a－2b＋c＜0，故①正确；

②由函数的图象可知：

抛物线开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴为直线x＝－

＞－1，得出2a－b＜0，故②正确；

③已知抛物线经过点（－1，2），即a－b＋c＝2

（1），由图象知：

当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0

（2），

联立

（1）

（2），得a＋c＜1，故③正确；

④因为抛物线的对称轴在直线x＝1右侧，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即

＞2，因为a＜0，所以4ac－b2＜8a，即b2＋8a＞4ac，故④正确．故选D.

4．B　[解析]∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（c≠0）过点（－1，0）和点（0，－3），

∴0＝a－b＋c，－3＝c，

∴b＝a－3.

∵当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c，

∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.

∵顶点在第四象限，a＞0，

∴b＝a－3＜0，∴a＜3，

∴0＜a＜3，

∴－6＜2a－6＜0，

即－6＜P＜0.

故选B.

5．D　[解析]∵函数图象开口方向向上，

∴a＞0.

∵对称轴在原点右侧，∴ab异号，即b<0.

∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，

∴c＜0，

∴abc＞0，故①正确；

∵图象与x轴交于点A（－1，0），对称轴为直线x＝1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x＝2时，y＜0，即4a＋2b＋c＜0，故②错误；

∵图象与x轴交于点A（－1，0），

∴当x＝－1时，y＝（－1）2a＋（－1）b＋c＝0，

∴a－b＋c＝0，

即a＝b－c，c＝b－a.

∵对称轴为直线x＝1，∴－

＝1，即b＝－2a，

∴c＝b－a＝（－2a）－a＝－3a，

∴4ac－b2＝4·a·（－3a）－（－2a）2＝－16a2＜0.

∵8a＞0，∴4ac－b2＜8a，故③正确；

∵图象与y轴的交点B在点（0，－2）和（0，－1）之间，∴－2＜c＜－1，

∴－2＜－3a＜－1，∴

，故④正确；

∵a＞0，∴b－c＞0，即b＞c，故⑤正确．

6．①④　[解析]由图象可知抛物线开口向上，则a＞0，由抛物线经过点A（－1，0），B（0，－2），对称轴在y轴的右侧可得

可得a－b＝2，b＜0.故a＝2＋b＜2，综合可知0＜a＜2；由a－b＝2可得a＝b＋2，将其代入0＜a＜2中得0＜b＋2＜2，可得－2＜b＜0；

当|a|＝|b|时，因为a＞0，b＜0，故有a＝－b.又a－b＝2，可得a＝1，b＝－1.故原函数为y＝x2－x－2，当y＝0时，有x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，

在这里，x2＝2＞

－1.故答案为①④.

7．解：

（1）∵抛物线开口向上，∴a>0.

又∵对称轴x＝－

<0，

∴a，b同号，即b>0.

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c<0.

综上所述，a>0，b>0，c<0.

（2）∵OC＝OA＝

OB，BC＝4，

∴点A的坐标为（0，－1），点B的坐标为（－3，0），点C的坐标为（1，0）．

把A，B，C三点的坐标分别代入二次函数y＝ax2＋bx＋c中，可得

解得

∴这个二次函数的表达式是y＝

x2＋

x－1.

8．A

9．B　[解析]由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y＝

的图象上，当x＝1时，y＝b，即公共点坐标为（1，b），又点（1，b）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，得a＋b＋c＝b，a＋c＝0，再由a≠0知ac＜0，故一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上，由反比例函数y＝

的图象的一支在第一象限，知b＞0，故一次函数y＝bx＋ac的图象满足y随x的增大而增大，选项B符合条件．故选B.

10．C　[解析]观察二次函数图象可知：

开口向上，a＞0；对称轴在y轴右侧，即－

＞0，∴b＜0；二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0.

∵反比例函数中k＝－a＜0，

∴反比例函数图象在第二、四象限内；

∵一次函数y＝bx－c中，b＜0，－c＜0，

∴一次函数图象经过第二、三、四象限．

11．D　[解析]关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是x1＝1.3，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点的坐标是（1.3，0）．又知抛物线的对称轴是直线x＝－1，由抛物线是轴对称图形，可得图象与x轴的另一个交点的坐标是（－3.3，0），∴方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根是x2＝－3.3.故选D.

12．C　[解析]∵直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，∴x＝－

＝1，即2a＋b＝0.∵a＜0，∴2a＜0，∴b＞0.当m＜1时，（m－1）a>0，即（m－1）a＋b＞0.故选C.

13．A

14．A　[解析]设方程ax2＋（b－

）x＋c＝0的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－

，

由函数图象易得a>0，b<0，

因此－

>0，即x1＋x2>0.

15．x<－2或x>4

[解析]由表中自变量与函数值的对应关系可以知道，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象的顶点坐标为（1，－4），抛物线开口向上，当x＝4时，y＝5，∴使y－5>0成立的x的取值范围是x<－2或x>4.

16．解：

（1）将A（4，0）代入y1＝－x2＋

x＋c，

得0＝－42＋

×4＋c，

解得c＝3，

∴二次函数的表达式为y1＝－x2＋

x＋3.

∵当x＝0时，y1＝3，

∴点B的坐标为（0，3）．

（2）由图象知满足y14.