理学概率论与数理统计练习题含答案.docx

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理学概率论与数理统计练习题含答案

第一章随机事件及其概率

练习：

1.判断正误

（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B）

（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B）

（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B）

（4）若P（A）=0,则A-一。

（B）

（5）若P（A）=0.4,P（B）=0.5,则P（AB）=0.2。

（B）

（6）A,B,C三个事件至少发生两个可表示为ABBCAC（A）

（7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，

11珂两个男孩，（两个女孩）,（一个男孩，一个女孩）｝，则P'两个女孩心三

（B）

（8）若P（A）辽P（B），则AB。

（B）

（9）n个事件若满足_i,j,P（AAj）二P（A）P（Aj），则门个事件相互独立。

（B）

（10）只有当AB时，有P（B-A）=P（B）-P（A）o（A）

2.选择题

（1）设A,B两事件满足P（AB）=0，则?

A.A与B互斥

B.AB是不可能事件

C.AB未必是不可能事件D.P（A）=O或P（B）=O

（2）设A,B为两事件，则P（A-B）等于（C）

A.P（A）-P（B）B.P（A）-P（B）+P（AB）

C.P（A）-P（AB）D.P（A）+P（B）-P（AB）

（3）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事

件A为（D）

A.

“甲种产品滞销，乙种产品畅销”

B.

“甲乙两种产品均畅销”

C.

“甲种产品滞销”

D.

“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

（4）若A,B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是（A）

A.P（AUB）=P（A）B.P（AB）=P（A）

C.P（B|A）=P（B）D.P（B-A）=P（B）-P（A）

（5）设P（A「B）=a,P（A）=b,P（B）=c，则P（AB）等于⑻

A.（a+c）cB.a+cT

c.a+b-cd.（1b）c

（6）假设事件A和B满足P（B|A）=1,则（B）

A.A是必然事件b.P（B|A）=0

C.A二BD.AB

（7）设0

A.事件A,B互不相容B.事件A和B互相

对立

C.事件A,B互不独立

D.事件A,B互相独

.立

8.对于任意两个事件代B,必有（C）

A•若AB-八,则代B一定独立；B若AB二：

则A,B一定独立；

C.若AB=:

则A,B有可能独立；D若AB二：

则A,B一定不独立;

9.已知P（B|A）」,P（BA）=4,P（AB）=

13-

A1,4B.1,3

3735

（D）

4丄,则P（A）,P（B）的值分别为:

7''5

C.丄土D.?

3

1535105

三解答题

1.设P（A）=p,P（B）=q,P（AB）=r,求下列事件的概率：

P（AUB）,P（Ab）,p（AUb）,p（AB）.

解：

由德摩根律有P（AB）=P（AB）=1-P（AB）=1-r;

P（AB）=P（B_AB）=P（B）_P（AB）=q_r;

P（AB）=P（A）P（B）_P（AB）=（1_p）q_（q_r）=1r_p;

P（AB）=P（A_.B）=1_[P（A）P（B）_P（AB）]=1_（pq_r）.

2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5,现

已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

解：

设事件A甲表示甲命中，A乙表示乙命中，B表示目标被命中。

P（A甲B）二

P（A甲B）

P（B）

P（A甲）=0.6

P（A甲-A乙）=0.6+0.5-0.60.5

=0.75

（因为A甲二B,所以A甲B二A甲）,

目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以P（B）=P（A甲-A乙）

甲乙独立射击，所以P（A甲A乙）=P（A甲）P（A乙）。

3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6,求释放4枚深水炸弹能

击沉潜艇的概率。

解：

4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以

设B表示潜艇被击沉，A，i=1,2,3,4为第i枚深水炸弹击沉潜艇

P（B）=P（A）UA2U人傀）=1一卩（人3人2人2九）

=1—p（AAAA）=1—p（A）p（A）p（A）p（A4）=1—o.44

4•某卫生机构的资料表明：

患肺癌的人中吸烟的占90%,不患肺癌的人中吸烟的占20%。

设患肺癌的人占人群的0.1%。

求在吸烟的人中患肺癌的概率。

解：

设A表示吸烟，B表示患肺癌。

p（AB）=90%,p（AB）=20%,P（B）=0.1%.

已知条件为p（BA^-p（AB^=p（B）p（A|B）——

p（A）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

0.001X0.9

一0.0010.90.9990.2

5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求

（1）顾客购买此箱玻璃杯的概率。

（2）在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

解：

参考书上24页例4

第二章随机变量及其分布

练习题：

1判断正误：

（1）概率函数与密度函数是同一个概念。

（B）

（2）超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。

（A）

（3）P（）中的•是一个常数，它的概率含义是均值。

（A）

（3）P（a：

：

：

X:

:

:

b）=P（a

（B）

（4）若X的密度函数为f（x）二cosx，贝SP（0cXs）=fcostdt.（B）

2选择题

k

（1）若X的概率函数为P（X=k）=畤ZOMli,贝怙的值为（D）

A、B.-C.eD.e_，

（2）设在区间la,bI上，X的密度函数f（x）=sinx,而在la,bl之外,

f（x）=0,则区间la,b等于：

（A）

A.0,—B.〔0,二丨C.,0D.0,—

一2二_2

（3）若X^P（）,当m=（）时P（X二m）最大？

（A）

A.，或「B「-1C.「D.■

三解答题

（1）已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。

解：

不放回抽样，次品数X-H（4,6,20）

CkC6乂

P（X二k）二；616,k=0,1,2,3,4.

C20

放回抽样，次品数X7（6,4）

20

P（X=k）=c6\1）k（4）6=k=0,1,2,3,4川20.

55

（2）设X的分布律是p（x=-1）=*,P（X=1）=1’求它的分布函数。

解:

x：

：

—1,P（X：

：

x）=O,F（x）=0;

1一仁x：

：

1,F（x）二P（Xzx）二P（X二-1）;

1

9,xcO;

1

F（x）»，-仁x：

：

1

|2

1,x_1.

（3）设连续型随机变量X的分布函数为

0,xv0,

F（x）=

（1）常数A的值

2

ji

1,x>—

、2

（2）P（xV（3）X的密度函数

解：

由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有

limF（x）=F（）,所以1x>*2

n

二Asin,所以A=1.

2

P（X：

：

6）

JI

fX

二二二二1

6^F（6^F^6^S^-^2

cosx,0^x：

—，

f（x）=F（x）=<2

卫,其它.

IAx1兰x兰2

4设随机变量X的概率密度函数为f（x）=仁；仙,，求

（1）常数A[0,其他

3

（2）P（-^X：

-）

（3）X的分布函数。

解：

由密度函数性质有

=2A_A=1,

2

33i2212

12

P（—1

分布函数为：

当x叮时，F（x）二P（X:

：

:

x）=0;

rrxx21ox1o1

当1

=—x2——.

3333

当x_2时,F（x）=1.

5.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：

先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。

解：

R（x=4）=。

爲0.0140.99300*=0.1689，丸=np=3007.01=3。

34o酥=4）=孑“1680

第三章随机变量的数字特征

练习1判断正误:

（1）只要是随机变量，都能计算期望和方差。

（B）

（2）期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。

（A）

（3）方差越小，随机变量取值越集中，方差越大越分散。

（A）

（4）方差的实质是随机变量函数的期望。

（A）

（5）对于任意的X,Y，都有exy=exey,d（x-y）=dx_dy成立。

（b）

（6）若EX二ey,则x=丫。

（B）2选择题

（1）对于X与丫，若EXY二EXEY，则下列结论不正确的是（A）

A.X与丫相互独立B.X与丫必不相关

C.

⑵X~B（n,p）,

D（X+Y）二DX+DYD.cov（X,Y）=0

EX=2.4,DX".44,则n,p的值为（B）

B.6,0.4

D.24,0.1

X和Y的方差分别为4和2,

4,0.6

8,0.3

（3）两个独立随机变量

是（D）

A.8

⑷若EX,DX存在，

A.X,X

3解答题

（1）X与Y相互独立，且EX=EY=1，DX=DY=1，解：

E（X-Y）2=D（X-Y）E2（X-Y）二DXDY（EX-EY）2=110=2.

（2）设X与Y独立同分布，都服从参数为'的泊松分布，设

U-2XY,V=2X-Y

求U与V的相关系数二。

解:

cov（U,V）=EUV-EUEV.

E（UV）=E（2XY）（2X-丫）=E（4X2_Y2）=4（DXE2X）_（DYE2Y）=3（'■2）.

EUEV=E（2XY）E（2X-Y）=（2—，，）（2■-）=3'2.

cov（U,V）=EUV-EUEV=3（冷r2）—3'2=3‘.

DU二D（2X-Y）=4DXDY=5■;DV二D（2X-Y）=4DXDY=5，.

A.

C.

则3X-2Y的方差

r_cov（U,V）3'

vNDV

（3）

X~U（-1,2）,Y

B.16C.28D.

则E（DX）,D（EX）的值分别为

B.DX,EXC.DX,0

44

（C）

D.EX,DX

2

求E（X-Y）。

-1,X:

:

0

=«0,X=0

1,X>0

求EY及DY。

解:

EY--1P（Y

…11

3

--1）0P（Y=0）1P（Y=1）--1P（X:

:

:

0）1P（X0）

2

DY二EY2-E2丫二（T）2P（X0）12P（X0）-J）28

39

（4）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？

解：

设X表示出故障的次数，Y表示利润。

10,X=0

5,X=1

X~B（5,0.2）,Y二

I0,X=2

2,3空X乞5

EY=10P（X=0）5P（X=1）（-2）[P（X=3）P（X=4）P（X5）]

EY=10氷C0O.2°O.85+5XC50.29.84+（—2）[C；0.230.82十。

；。

，。

©1+C；0.250.8°]

化简即可。

（5）

求乘客等候

汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，时间的数学期望。

解：

设X表示乘客的到达时间，则丫表示等候时间，

10-X,0乞X乞10

30-X,10£X

X~U[0,60],Y二

55-X,30X

70-X,55X

1301

—dx（30「x）—dx

601060

第四章正态分布

10

EY二0（10-x）

160

55

（55-x）—dx■（70-x）—dx=10—

3060556012

练习题:

1.判断题：

:

22

、，.N（巴b）,则巴▽称为正态分布的两个参数，且

J_0,二20.（B）

（2）正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于y轴对称。

（b）

（3）正态分布密度函数的图象对称轴由'■决定，平坦度由、二2决定。

（A）

（4）P（a：

：

：

X汕）八（b）—「（a）;（B）

（5）若XUN（5,1）,Y_N（—5,1）,则XYUN（0,2）.（B）

2.选择题：

（1）若两个相互独立的随机变量X和丫分别服从正态分布NJ"和N（1,1）,则（B）。

11

A.P（X丫乞0）;B.P（X丫乞1）;

22

11

C.P（X—YE0）;B.P（X—YE1）;

22

（2）已知xLn（4,

A单调增加；B.单调减少；

C.保持不变；D.非单调变化.

（3）在本门课程中，习惯上用・表示标准正态分布的上侧，分位数，则叮g.）=（B）

（X

A〉；B.1-〉；C.1-—;D无法确定。

2

（4）若XLIN（0,1）,且P（X>如"，则p（xauQ=（B）.

aa

A：

B2C.D.1-

22

3解答题

（1）已知XLN（8,0.52）,求

P（X<9）,P（7.5兰XW10）,P（X—8兰1）,P（X—9£0.5）.

解:

9一8）—：

」

（2）=0.9772,

0.5

P（7.5岂X乞10）=F（10）—F（7.5）=：

：

」（

10一8）小

0.5

7.5一8）

0.5）

=门（4）一门（_1）：

"

（1）=0.8413,

P（X-8G）=P（

X-8

0.5

兰丄）=2①

（2）—1=0.9544,

0.5

P（X—9c0.5）=P（—0.5cX—9c0.5）=P（8.5cXc9.5）

也8）…

0.5

8.5-8、

0.5）

1-0.8413=0.1587.

（2）某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从

正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的

2.3%，求考生的英语成绩在60L84分之间的概率。

解：

设X表示考生的英语成绩，则X•-N（72,n2），由已知有

P（X96）=0.023,则P（X乞96）=1-0.023=0.977,

X-7296_722424

即P（）=门（）=0.977,查正态分布表知2,所以二=12.要求

CTCTCTCT

P（60：

：

X：

：

84）P60一72X-7?

84了彳〉一2⑷1.0.6826

121212

第五章

1.判断正误。

（1）总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布

完全相同。

（A）

（2）样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立

的。

（B）

（3）统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越

准确。

（A）

（4）统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。

（B）

（5）样本均值与EX是相等的。

（B）

2.选择题。

2

（1）XsXzIHXn为来自总体N（*）的一个样本，已知，

二2未知,

则以下是统计量的是（A）

n

A.rXi-X）2

i4

n

（'Xi-X）2

B.4

n

（Xi-X）

D.v

C2

⑵XjXJKXn为来自总体N（0，1）的一个样本,x，S分别为

样本均值和样本方差，

则以下不正确的是（B）

AnXN（0,n）;

n

C.'Xj2、2（n）

i土

X

B.t（n-1）

S

-1D.X、N（0,—）n

2

（3）下列统计量服从（n）分布的是：

（D）

A（n-用

2

n

'（Xi-X）2

b.y

C（n-1）32

C.—

21

S；（Xi-X）

ni甘

n

、（XiT2

D.心

（4）X^XzlllX10和X1,X2|I（X9是分别来自总体N（1,4）和N（2,9）的样aS2本，郡①2分别是它们的样本方差，贝S常数a=（C）时，统计量S22

服从F（9,8）分布。

A3B.2C.9D.4

249

（5）若X2（n）,则E（X2）=（C）

则1丫（D）

A.

1

F（5,6）

B.F（5,6）

C.

F（6,5）

D.F（6,5）

（8）设

X|_t（n）（n1）,Y二

1

xt，则（C）

22

AY、（n）BY、（n-1）C.Y、F（n,1）

D.Y、F（1,n）

（9）设X、N（0,1）,Y、N（0,1）,则必有（C）

AX-Y服从正态分布

B.X2Y2服从2分布

C.x2与Y2都服从2分布

D.

X2

服从F分布

22

A.3nB.2nC.n2nD.nn

2

（6）X^XJHXn为来自总体N（,）的一个样本，X为样本均值,

贝yP（X—4

A.与二有关；B与"有关；C与n有关；D.为一常数

（7）设X2（6）,Y2（5）,且X,丫相互独立,

第六章参数估计

1.判断题

（1）参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。

A

2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。

B

3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。

B

4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。

A

5同一参数的矩估计量往往不唯一。

A

6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。

B

2.选择题。

（1）若1,1,1,0,1,1是来自总体B（1,p）的观察值，则p的

矩估计量是（D）

A.5

d.6

⑵X1,X2川Xn是来自总体X的一个样本，且DX=,X,S2分

别是样本均值和样本方差，则必有（D）

A.S是二的无偏估计量B.S是二的极大似然估计量

C.X与S2相互独立D.ES22

（3）正态总体X的方差匚2已知，为使总体均值的置信度为1的

置信区间长度不大于L,则样本容量n应取（D）

2_2,2222U0t

4u-；二U厅

LB.n厂C.n_^^

L2L2L2L

总体X服从（0门）上的均匀分布,「0未知，X1,X^|Xn是来

An一

.22

4u汕

D.n—

（4）

自总体X的一个样本，则二的矩估计量为：

（B）

A.X

B.2XC.min{X1,X2|l|Xn}D.max{X1,X^|Xn}

（5）

总体X的分布律为P（X=x）,x=0,1,211（，而1,2,5,7,

x!

A.4

（6）

8是来自X的观察值，则，的最大似然估计值为（C）

23

B.5C.D.3

5

X1,X2,X3是来自总体X的一个样本，DX=丁2，则以下无偏估

计量中（B）最有效。

tX3

C.-X1-X2-X3

632

1

B.^（X1X2X3）

111

D.—X「一X2一X3

442

3.解答题

（1）Xi,X2||（Xn是来自总体X的一个样本，其中总体有密度

2

f（x^）=

0,其他

（ii）判断矩估计量的无偏性

（iii

）计算估计量的方差

解:

（i）先求总体的一阶原点矩即数学期望

月2rre2,

EXx—2（v-x）dxx—2^dx-

、o甘2''$oh2

_0_A_令EX二X即-=X，得r=3X。

3

（ii）E=E（3X）=3E（X）=3E（X）=3「

所以该估计量是无偏估计量。

（iii

）估计量的方差

DX二

22‘22・'2EX-EXx2L-x）dx-（）;

」0日2\）匕18

DP）

--DX92

二D（3X）=9D（X）=9

n2n

（2）设总体X的概率密度为f（x）=（=^?

x-,0“x：

：

：

1；其中二是未知

10,其他

参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求二得估计量。

解：

矩估计法求解，先求总体期望

EX=J；x<6+1）x&dx=（日+1）J；x叫x叩+1）鸽|0二暮,令EX二X即=1=X，得…2X一1。

°+21-x

极大似然估计法：

先写似然函数

nn

L（刃八（一1）x「,0:

：

:

Xi:

：

:

1,化简L⑺十1）n（i[xj71,

i17

求对数似然函数

n

lnL（R=[In（r1）n（[[Xi门=1n（r1）nIn（[[Xif

i4

n

二nln（v1）八lnxi

y

求导并令导数为0

dlnL（日）n丄；.n

lnxi=0,

dv—1vi

\n

解得6=_-1.

'TnXi

iA

（3）证明：

在所有的无偏估计量

\n

工八GXi（其中aG=1）中，样本

iAiA

均值是最有效的。

（此题不用掌握）

证明：

利用柯西-许瓦兹不等式有

nnnnnn

1=（7Ci）2=C1Ci）