福建省龙岩市高中毕业班教学质量数试题理含答案.docx
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福建省龙岩市高中毕业班教学质量数试题理含答案
福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量检查
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（）
A．B．C．D．
2.已知纯虚数满足，则实数等于（）
A．B．C．-2D．2
3.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前9项和等于（）
A．-18B．9C．18D．36
4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）
A．3B．C．D．
5.下列关于命题的说法错误的是（）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；
C．若命题，，则，；
D．命题“，”是假命题.
6.的展开式中的系数为（）
A．100B．15C．-35D．-220
7.已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为（）
A．B．C．6D．4
8.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：
寸），若取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的为（）
A．2.4B．1.8C．1.6D．1.2
9.设不等式组，表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
10.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）
A．B．C．D．
11.已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（）
A．32B．16C．8D．4
12.已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设为钝角，若，则的值为．
14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是．
15.已知各项不为零的数列的前项的和为，且满足，若为递增数列，则的取值范围为．
16.若实数满足，则的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知.
（1）求的单调增区间；
（2）已知中，角的对边分别为，若为锐角且，，求的取值范围.
18.如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，.
（1）求证：
平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.某公司有五辆汽车，其中两辆汽车的车牌尾号均为1，两辆汽车的车牌尾号均为2，车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，三辆汽车每天出车的概率均为，两辆汽车每天出车的概率均为，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：
车牌尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；
（2）设表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求的分布列及数学期望.
20.已知圆和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点在曲线上，若直线的斜率，满足，求面积的最大值.
21.已知函数，（），存在两个极值点（）
（1）求的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设直线和曲线交于两点，求.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数（）
（1）当时，解不等式；
（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.
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数学（理科）试题参考答案
一、选择题
1-5:
CACDC6-10:
AADCB11、12：
BA
二、填空题
13.14.15.或16.
三、解答题
17.解：
（1）由题可知
，
令，
可得
即函数的单调递减增区间为，.
（2）由，所以，
为锐角，∴
∴
解得，
由余弦定理得
∵，当且仅当时取等号，
∴，
又，
∴的取值范围为．
18.
解：
（1）证法一：
在梯形中，∵，
，
∴
∴，∴
又平面平面，平面平面，
∴平面
证法二：
梯形得高为
∴（下同）
（2）取为中点.连
∵四边形是菱形，，
∴即
与
（1）同理可知平面
如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则有，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
即，
取．
设是平面的一个法向量，
则，即，
取.
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19.解：
（1）记事件“该公司在星期一至少有2辆车出车”,
则
（3分）
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，
；；
；
；
；
；
∴的分布列为
0
1
2
3
4
5
20.解：
（1）圆的圆心为，半径为
点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，
所以动圆与圆内切.设动圆半径为，则.
因为动圆经过点，所以,,
所以曲线是,为焦点，长轴长为的椭圆.
由，得,
所以曲线的方程为.
（2）直线斜率为0时，不合题意
设，直线：
，
联立方程组得，
又知
=.
代入得
又，化简得，
解得，故直线过定点
由，解得，
（当且仅当时取等号）.
综上，面积的最大值为.
21.解：
（1），
令得，
因为存在两个极值点，
所以方程在上有两个不等实根，
所以解得
且，
所以
当时，当时，
所以的最小值为
（2）由
（1）可知，，
由得，
所以
＝
＝
＝
＝
令（），
则
因为
所以,
即在递减，，
综上，实数的取值范围为
22.解：
（1）因为，
所以
由，
得
因为消去得
所以直线和曲线的普通方程分别为和.
（2）点的直角坐标为，点在直线上，
设直线的参数方程：
（为参数），对应的参数为.
23．
解：
（1）依题意得
当时，原不等式化为：
，解得
当时，原不等式化为：
，解得
当时，原不等式化为：
，解得
综上可得，不等式的解集为
（Ⅱ）
时，；
时，；
时，；
所以的最小值为或；
则，所以
解得或
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