届高考数学第一轮立体几何初步专项复习教案6docWord格式.docx
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11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
（1）CD⊥PD；
（2）EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．
13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°
，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：
（1）AQ⊥平面SBC；
（2）PQ⊥SC．
1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．
2．直线和平面垂直的判定方法
（1）利用线面垂直的定义．
（2）利用线面垂直的判定定理．
（3）利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
答案
知识梳理
2．两条相交直线 aα bα a∩b＝A
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C
[取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．]
4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]
5．A [
⇒
⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A
[PO⊥面ABC．
则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．
只有③正确．]
7．①④⑤
8．∠A1C1B1＝90°
[
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°
等）]
9．90°
解析 ∵B1C1⊥面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN．
又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，
∴MN⊥C1M．
∴∠C1MN＝90°
．
10．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°
，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明
（1）∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．
（2）取PD的中点G，
连接AG，FG．
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF綊
CD，∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．
证明 连接AB1，CB1，
设AB＝1．
∴AB1＝CB1＝
，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．
连接PB1．
∵OB
＝OB2＋BB
＝
PB
＝PD
＋B1D
OP2＝PD2＋DO2＝
∴OB
＋OP2＝PB
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，
∴B1O⊥平面PAC．
13．证明
（1）∵SA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
（2）∵AQ⊥平面SBC，SC平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．
∵PQ平面APQ，∴PQ⊥SC．
6．1 垂直关系的判定
（二）
【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：
从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．
2．平面与平面的垂直
①定义：
两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字语言：
如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．
符号表示：
⇒α⊥β．
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．①②
2．下列命题中正确的是（ ）
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是（ ）
①若m∥n，n⊥β，mα，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，nα，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．过两点与一个已知平面垂直的平面（ ）
A．有且只有一个
B．有无数个
C．有且只有一个或无数个
D．可能不存在
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°
，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝
，则二面角B－AC－D的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；
②α⊥β；
③n⊥β；
④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
________________．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°
，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝
（1）证明：
平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A—BE—P的大小．
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°
，∠BCA＝90°
，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：
BC⊥平面PAC．
（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？
并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
（1）利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
（2）面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；
若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
6．1 垂直关系的判定
（二）答案
1．两个半平面 这条直线 这两个半平面
2．①直二面角 ②垂线 aα
1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B．]
2．C
3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]
4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]
5．B [
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝
∴∠BOD＝60°
．]
6．C [
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE）．
∴D正确．]
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，
面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④⇒②（或②③④⇒①）
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．
（1）证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°
知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
（2）解 由
（1）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝
则∠PBA＝60°
故二面角A—BE—P的大小是60°
12．证明
（1）由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
因为EF
平面ABC．
BC平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．
（1）证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）解 ∵DE∥BC，又由
（1）知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
6．2 垂直关系的性质
（一）
【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
⇒________
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
1．下列说法正确的是（ ）
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①
⇒n⊥α；
②
⇒m∥n；
③
⇒m⊥n;
④
⇒n⊥α．
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EFα，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是（ ）
A．PE>
PG>
PFB．PG>
PF>
PE
C．PE>
PGD．PF>
PE>
PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（ ）
A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PBD．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是（ ）
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．（只填序号）
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°
，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
（1）MN∥AD1；
（2）M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
GG′⊥α．
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：
MN⊥平面A1BC．
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．
6．2 垂直关系的性质
（一）答案
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：
nα或n∥α或相交（包括n⊥α）．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF<
PE，
∴有PG<
PF<
PE．故选C．]
4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．]
6．A [设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC，
∴PA⊥BC，又BC⊥PO，
∴BC⊥AO，同理AC⊥BO，
∴O为△ABC的垂心．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明
（1）∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
（2）连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON綊
CD綊
AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝
AB，∴AM＝
∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴
，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC平面ABC，MN
平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN
平面ABC，BC平面ABC，
∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
6．2 垂直关系的性质
（二）
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
1．平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：
α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒________．
2．两个重要结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
图形表示为：
符号表示为：
α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒aα．
（2）已知平面α⊥平面β，a
α，a⊥β，那么a∥α（a与α的位置关系）．
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（ ）
C．a与β相交D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平
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