函数的定义域及求法讲解Word文档格式.docx
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3、正切函数:
x≠kπ+π/2,k∈Z;
余切函数:
x≠kπ,k∈Z;
4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R;
5、定义域的相关求法:
利用函数的图象(或数轴)法;
利用其反函数的值域法;
6、复合函数定义域的求法:
推理、取交集及分类讨论.
[例题]:
1、求下列函数的定义域
3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.
[解析]:
[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→原函数的定义域为R;
当m≠0时,则mx2-4mx+m+3>0,
①m<0时,显然原函数定义域不为R;
②m>0,且△=(-4m)2-4m(m+3)<
0时,即0<m<1,原函数定义域为R,
所以当m∈[0,1)时,原函数定义域为R.
4、求函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域.
[求原函数的值域]
由题意可知,即求原函数的值域,
∵x≥4,
∴log2x≥2
∴y≥3
所以函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域是[3,+∞).
5、函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域.
由题意可知2-1≤2x≤21
→
f(x)定义域为[1/2,2]
→1/2≤log2x≤2
→√ ̄2≤x≤4.
所以f(log2x)的定义域是[√ ̄2,4].
二、函数的值域及求法
1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R;
2、二次函数的值域:
当a>0时,y≥-△/4a,当a<0时,y≤-△/4a;
3、反比例函数的值域:
y≠0;
4、指数函数的值域为(0,+∞);
对数函数的值域为R;
5、正弦、余弦函数的值域为[-1,1](即有界性);
正切余切函数的值域为R;
6、值域的相关求法:
配方法;
零点讨论法;
函数图象法;
利用求反函数的定义域法;
换元法;
利用函数的单调性和有界性法;
分离变量法.
:
求下列函数的值域
1、[利用求反函数的定义域求值域]
先求其反函数:
f-1(x)=(3x+1)/(x-2),其中x≠2,
由其反函数的定义域,可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}
2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得,
因此,原函数的值域为[1/2,+∞)
4、[利用分离变量法和换元法]
设法2x=t,其中t>0,则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)
→t=(y+1)/(y-1)>0
∴y>
1或y<
-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3,1,2,
①当x<
-3时,y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x
∴y>
9
②当-3≤x<
1时,y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6
∴5<
y≤9
③当1≤x<
2时,y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4
∴5≤y<
6
④当x≥2时,y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x
∴y≥6
综合前面四种情况可得,原函数的值域是[5,+∞)
6、[利用函数的有界性]
三、函数的单调性及应用
1、A为函数f(x)定义域内某一区间,
2、单调性的判定:
作差f(x1)-f(x2)判定;
根据函数图象判定;
3、复合函数的单调性的判定:
f(x),g(x)同增、同减,f(g(x))为增函数,f(x),g(x)一增、一减,f(g(x))为减函数.
2、设a>0且a≠1,试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间.
[利用复合函数的单调性的判定]
由题意可得原函数的定义域是(-1,4),
设u=4+3x-x2,其对称轴是x=3/2,
所以函数u=4+3x-x2,在区间(-1,3/2]上单调递增;
在区间[3/2,4)上单调递减.
①a>1时,y=logau在其定义域内为增函数,由x↑→u↑→y↑,得函数u=4+3x-x2的单调递增区间(-1,3/2],即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间.
②0<a<1时,y=logau在其定义域内为减函数,由x↑→u↓→y↑,得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2,4),即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间.
3、已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围。
由题意可知,a>0.设u=g(x)=2-ax,则g(x)在[0,1]上是减函数,且x=1时,
g(x)有最小值umin=2-a.
又因为u=g(x)=2-ax>0,所以,只要umin=2-a>0则可,得a<2.
又y=loga(2-ax)在[0,1]上是x减函数,u=g(x)在[0,1]上是减函数,
即x↑→u↓→y↓,所以y=logau是增函数,故a>1.
综上所述,得1<a<2.
4、已知f(x)的定义域为(0,+∞),且在其上为增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f
(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<
3.
[解析]:
[此题的关键是求函数值3所对应的自变量的值]
由题意可得,f(4)=f
(2)+f
(2)=2,3=2+1=f(4)+f
(2)=f(4×
2)=f(8)
又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x)
所以原不等式可化成f(x2-2x)<
f(8)
所以原不等式的解集为{x|2<
x<
4}
四、函数的奇偶性及应用
1、函数f(x)的定义域为D,x∈D,f(-x)=f(x)→f(x)是偶函数;
f(-x)=-f(x)→是奇函数
2、奇偶性的判定:
作和差f(-x)±
f(x)=0判定;
作商f(x)/f(-x)=±
1,f(x)≠0判定
3、奇、偶函数的必要条件是:
函数的定义域关于原点对称;
4、函数的图象关于原点对称
奇函数;
函数的图象关y轴对称
偶函数
5、函数既为奇函数又为偶函数
f(x)=0,且定义域关于原点对称;
6、复合函数的奇偶性:
奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇.
①[利用作和差判断]
由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,
即,f(x)=-f(x),∴原函数是奇函数.
②[利用作商法判断]
由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,
(2)∵f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f[1-(1-x)]=f[1+(1-x)],x∈R, 即f(x)=f(2-x),
又∵f(x)在R上为偶函数,→f(-x)=f(x)=f(2-x)=f(2+x)
∴f(x)是周期的函数,且2是它的一个周期.
五、函数的周期性及应用
1、设函数y=f(x)的定义域为D,x∈D,存在非0常数T,有f(x+T)=f(x)
→
f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期;
2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π,函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T=2π/|ω|;
3、正切、余切函数的最小正周期为π,函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω|;
4、周期的求法:
定义域法;
公式法;
最小公倍数法;
利用函数的图象法;
5、一般地,sinωx和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半,tanωx和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变(如:
y=|cos2x|的周期是π/2,y=|cotx|的周期是π.
1、求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.
[利用周期函数的定义]
y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|
即对于定义域内的每一个x,当x增加到(x+π/2)时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2.
3、求函数y=sin3x+tan(2x/5)的最小正周期.
[最小公倍数法和公式法],
(设f(x)、g(x)是定义在公共集合上的两上三角周期函数,T1、、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±
g(x)的最小正周期等于T1、、T2的最小公倍数.)
(注:
分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数).
由题意可知,sin3x的周期是T1=2π/3,tan(2x/5)的周期是T2=5π/2,
∴原函数的周期是T=10π/1=10π.
4、求函数y=|tanx|的最小正周期.
[利用函数的图象求函数的周期]
函数y=|tanx|的简图如图:
由函数y=|tanx|的简图可知,
其最小正周期是π.
5、设f(x)是(-∞,+∞)上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(7.5)
[解析]:
由题意可知,f(2+x)=f(x)
∴ f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5