函数的定义域及求法讲解Word文档格式.docx

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3、正切函数：

x≠kπ+π/2,k∈Z；

余切函数：

x≠kπ,k∈Z；

4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；

5、定义域的相关求法：

利用函数的图象（或数轴）法；

利用其反函数的值域法；

6、复合函数定义域的求法：

推理、取交集及分类讨论．

[例题]：

1、求下列函数的定义域

3、已知函数y=lg（mx2-4mx+m+3）的定义域为R，求实数m的取值范围．

[解析]：

[利用复合函数的定义域进行分类讨论]

当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R；

当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，

①m＜0时，显然原函数定义域不为R；

②m＞0，且△＝（-4m）2-4m（m+3）<

0时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，

所以当m∈[0,1）时，原函数定义域为R．

4、求函数y=log2x+1（x≥4）的反函数的定义域．

［求原函数的值域］

由题意可知，即求原函数的值域，

∵x≥4, 

∴log2x≥2 

∴y≥3

所以函数y=log2x+1（x≥4）的反函数的定义域是[3，+∞）．

5、函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求f（log2x）的定义域．

由题意可知2-1≤2x≤21 

→ 

f（x）定义域为[1/2，2]

→1/2≤log2x≤2 

→√￣2≤x≤4．

所以f（log2x）的定义域是[√￣2,4]．

二、函数的值域及求法

1、一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R；

2、二次函数的值域：

当a＞0时，y≥-△/4a，当a＜0时，y≤-△/4a；

3、反比例函数的值域：

y≠0；

4、指数函数的值域为（0，+∞）；

对数函数的值域为R；

5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；

正切余切函数的值域为R；

6、值域的相关求法：

配方法；

零点讨论法；

函数图象法；

利用求反函数的定义域法；

换元法；

利用函数的单调性和有界性法；

分离变量法．

：

求下列函数的值域

1、[利用求反函数的定义域求值域]

先求其反函数：

f-1（x）=（3x+1）/（x-2），其中x≠2，

由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}

2、[利用反比例函数的值域不等于0]

由题意可得，

　　　　　　　　　　因此，原函数的值域为[1/2,+∞）

4、[利用分离变量法和换元法]

　设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=（t+1）/（t-1） 

→t=（y+1）/（y-1）＞０

　∴y>

1或y<

-1

5、[利用零点讨论法]

由题意可知函数有3个零点-3，1，2，

①当x<

-3时，y=-（x-1）-（x+3）-（x-2）=-3x 

∴y>

9

②当-3≤x<

1时，y=-（x-1）+（x+3）-（x-2）=-x+6 

∴5<

y≤9

③当1≤x<

2时，y=（x-1）+（x+3）-（x-2）=x+4 

∴5≤y<

6

④当x≥2时，y=（x-1）+（x+3）+（x-2）=3x 

∴y≥6

综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞）

6、[利用函数的有界性]

三、函数的单调性及应用

1、A为函数f（x）定义域内某一区间，

2、单调性的判定：

作差f（x1）-f（x2）判定；

根据函数图象判定；

3、复合函数的单调性的判定：

f（x）,g（x）同增、同减，f（g（x））为增函数，f（x）,g（x）一增、一减，f（g（x））为减函数．

2、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．

[利用复合函数的单调性的判定]

由题意可得原函数的定义域是（－１，４），

设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2，

所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；

在区间[3/2，4）上单调递减．

①a＞１时，y=logau在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，即为函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．

②０＜a＜１时，y=logau在其定义域内为减函数，由x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），即为函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．

3、已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围。

由题意可知，a＞０．设u＝g（x）=2－ax，则g（x）在［０，１］上是减函数，且x=１时，

g（x）有最小值umin=2-a．

　　　又因为u＝g（x）＝2－ax＞０，所以，只要umin=2-a＞０则可，得a＜２．

　　　又y=loga（2-ax）在[0，1]上是x减函数，u＝g（x）在［０，１］上是减函数，

即x↑→u↓→y↓，所以y=logau是增函数，故a＞１．

　　　综上所述，得１＜a＜2．

４、已知f（x）的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f

（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）<

3．

［解析］：

［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］

　　　　由题意可得，f（4）=f

（2）+f

（2）=2，3=2+1=f（4）+f

（2）=f（4×

2）=f（8）

　　　　又f（x）+f（x-2）=f（x2-2x）

　　　　所以原不等式可化成f（x2-2x）<

f（8）

　　　　所以原不等式的解集为｛x|2<

x<

4｝

四、函数的奇偶性及应用

1、函数f（x）的定义域为D，x∈D，f（-x）=f（x）→f（x）是偶函数；

f（-x）=-f（x）→是奇函数

2、奇偶性的判定：

作和差f（-x）±

f（x）=0判定；

作商f（x）/f（-x）=±

1,f（x）≠0判定

3、奇、偶函数的必要条件是：

函数的定义域关于原点对称；

4、函数的图象关于原点对称 

奇函数；

函数的图象关y轴对称 

偶函数

5、函数既为奇函数又为偶函数 

f（x）=0,且定义域关于原点对称;

6、复合函数的奇偶性：

奇±

奇=奇，偶±

偶=偶，奇×

奇=偶，偶×

偶=奇．

①[利用作和差判断]

　　　由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，

即，f（x）=-f（x），∴原函数是奇函数．

②［利用作商法判断］

由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，

　　　（２）∵f（x）的图象关于直线x=1对称，

∴f[1-（1-x）]＝f[1+（1-x）]，x∈R，　即f（x）＝f（2-x），

又∵f（x）在R上为偶函数，→f（-x）＝f（x）＝f（2-x）＝f（2+x）

∴f（x）是周期的函数，且2是它的一个周期．

五、函数的周期性及应用

1、设函数y=f（x）的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f（x+T）=f（x） 

→

f（x）为周期函数，T为f（x）的一个周期；

2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期是T=2π/|ω|；

3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan（ωx+φ）和y=Acot（ωx+φ）的周期是T=π/|ω|；

4、周期的求法：

定义域法；

公式法；

最小公倍数法；

利用函数的图象法；

5、一般地，sinωx和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：

y=|cos2x|的周期是π/2，y=|cotx|的周期是π．

1、求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期．

[利用周期函数的定义]

y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

即对于定义域内的每一个x，当x增加到（x+π/2）时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2．

3、求函数y=sin3x+tan（2x/5）的最小正周期．

[最小公倍数法和公式法]，

（设f（x）、g（x）是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T1、、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±

g（x）的最小正周期等于T1、、T2的最小公倍数．）

（注：

分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数）．

由题意可知，sin3x的周期是T1=2π/3，tan（2x/5）的周期是T2=5π/2，

∴原函数的周期是T=10π/1=10π．

4、求函数y=|tanx|的最小正周期．

[利用函数的图象求函数的周期]

函数y=|tanx|的简图如图：

由函数y=|tanx|的简图可知，

其最小正周期是π．

5、设f（x）是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x,求f（7.5）

　［解析］：

由题意可知，f（2+x）=f（x）

　　　∴　f（7.5）＝f（8-0.5）＝f（-0.5）＝－f（0.5）＝－０.５