二次函数的应用Word文档下载推荐.docx

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例5、某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：

如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：

yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；

信息二：

如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：

yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；

当投资4万元，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

例6、某公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩，运营指数（y）与运输次数（n）和平均速度（x）之间满足关系式为y=ax2+bnx+100，当n=1，x=30时，y=190；

当n=2，x=40时，y=420．

（1）用含x和n的式子表示y；

（2）当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度；

（3）若n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0），同时x减少m%的情况下，而y的值保持不变？

若能，求出m的值；

若不能，请说明理由．

例7、鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：

日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；

x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？

最大获利是多少元？

例8、某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；

该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；

并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？

最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

题型三分析数量关系法

例9、为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：

y=﹣10x+1200．

（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；

（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？

最大利润是多少元？

例10、一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？

例11、某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：

y=﹣10x+500．

（1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式；

（2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？

（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？

并求最大利润．

例12、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九

（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：

鲜鱼销售单价（元/kg）

20

单位捕捞成本（元/kg）

5﹣

捕捞量（kg）

950﹣10x

（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的？

（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？

（当天收入=日销售额﹣日捕捞成本）

（3）试说明

（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？

例13、某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y（人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：

旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．

（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；

（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；

（3）档这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？

例14、某水果销售商发现某种高档水果市场需求量较大，经过市场调查发现月销量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系y=﹣x+800，而该种水果的进价z（元/箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系为z=

x+240．已知每月为此支付员工工资和场地租金等费用总计20000元．（注：

月获利=月销售总额﹣月进货总价﹣工资和租金费用）

（1）求月获利w（元）与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价x为何值时，月获利最大？

并求出这个最大值；

（3）若该水果店希望销售这种水果的月利润不低于2.2万元，确定销售单价的范围．在此情况下，要使销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

例15、大圩葡萄味美多汁，深受消费者喜爱．某品种的葡萄采摘后常温保存最多只能存放一周，如果立即放在冷库中保存则可适当延长保鲜时间（保鲜期延长最多不超过120天）．另外冷藏保鲜时每天仍有一定数量的葡萄变质，保鲜期内的葡萄因水分流失损失的质量可忽略不计．现有一位个体户，按市场价10元/千克收购了这种葡萄2000千克放在冷库室内保鲜，据测算，伺候每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有10千克葡萄变质丢弃．

（1）存放x天后将这批葡萄一次性出售，设这批葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式，并说明销售金额y随存放天数x的变化情况；

（2）考虑资金周转因式，该个体户决定在两个月（每月以30天计算）内将这批葡萄一次性出售，问该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润？

最大利润时多少元？

例16、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：

每投入x万元，可获得利润P=﹣

（x﹣60）2+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：

在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；

公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：

每投入x万元，可获利润Q=﹣

（100﹣x）2+

（100﹣x）+160（万元）．

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据

（1）、

（2），该方案是否具有实施价值？

例17、农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴，其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系：

Ⅰ型设备

Ⅱ型设备

购买金额x（万元）

x

4

补贴金额y（万元）

y1=kx（k≠0）

0.4

y2=ax2+bx（a≠0）

2.4

3.2

（1）分别求出y1和y2的函数解析式；

（2）张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备．请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．

题型四分段函数

例18、某水果店试营销一种新进水果，进价为20元/件，试营销期为18天，销售价y（元/件）与x销售天数（天）满足当1≤x≤9时，当10≤x≤18时，在试营销期内，销售量P=30﹣x

（1）分别求当1≤x≤9，10≤x≤18时，该水果店的销售利润w（元）与销售天数x（天）之间的函数关系式．

（2）该水果店在试营销期间，第几天获得的利润最大？

例19、某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；

如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；

如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

例20、某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：

y=

．

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？

（利润=出厂价﹣成本）

（3）设

（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？

题型五面积类问题

例21、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成一个长方形的花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式；

写出自变量x的取值范围．

（2）怎样围才能使长方形花圃的面积最大？

最大值为多少？

例22、如图，有长24米的护栏，一面积利用墙（墙的最大可用长度a为13m），围成中间隔有一道护栏的矩形花园，设花园的宽AB为x（m），面积为S（m2）．

（1）求S与x之间的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45m2的花园，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45m2更大的花园吗？

如果能，请求出最大面积．并说明围法；

如果不能，请说明理由．

例23、如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设BC=xm，长方形ABCD的面积为S，

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果此时花圃的面积刚好为45米2，求此时花圃的长和宽。

例24、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？

最大值是多少？

例25、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．

例26、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°

）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．

（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长度为　　m；

（2）设OB=x，四边形OBDG的面积为ym2，

①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

②设①②③这三块区域的面积分别为S1、S2、S3，若S1：

S2：

S3=3：

2：

1，求GE：

ED：

DC的值．

例27、国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：

m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；

（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．

题型六建系

例28、横跨松花江两岸的阳明滩大桥是我市首座悬索桥，夜色中的璀璨灯光已成为一道亮丽的风景线，桥梁双塔间的悬索成抛物线型，如图，以桥面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，以1米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．已知大桥的双塔AE和BF与桥面垂直，且它们的高度均是83米，悬索抛物线上的点C、D的坐标分别为（0，3）、（50，8）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）李大爷以每秒0.8米的速度沿桥散步，那么从点E走到点F所用时间为多少秒？

例29、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？

请通过计算说明；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

例30、如图是一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面AB宽是20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m，请构建适当的水平直角坐标系求抛物线所对应的函数表达式，并求水位到达警戒线时拱顶与水面之间的距离．

例31、图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB=8米时，拱顶到水面的距离CD=4米．如果水面上升1米，那么水面宽度为多少米？

例32、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣

x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为

m．

（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

例33、在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．

如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：

米）与水平距离x（单位：

米）之间的函数关系式．

（2）在

（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？

如果能够过网，是否会出界？

请说明理由．

（3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h（米）应满足h＞2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界（排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．

例34、中国高铁迅猛发展，给我们的出行带来极大的便捷，如图1，是某种新设计动车车头的纵截面一部分，曲线OBA是一开口向左，对称轴正好是水平线OC的抛物线的一部分，点A、B是车头玻璃罩的最高点和最低点，AC、BD是两点到车厢底部的距离，OD=1.5米，BD=1.5米，AC=3米，请你利用所学的函数知识解决以下问题．

（1）为了方便研究问题，需要把曲线OBA绕点O旋转转化为我们熟悉的函数，请你在所给的方框内，画出你旋转后函数图象的草图，在图中标出点O、A、B、C、D对应的位置，并求你所画的函数的解析式．

（2）如图2，驾驶员座椅安装在水平线OC上一点P处，实验表明：

当PA+PB最小时，驾驶员驾驶时视野最佳，为了达到最佳视野，求OP的长．

（3）驾驶员头顶到玻璃罩的高度至少为0.3米才感到压抑，一个驾驶员坐下时头顶到椅面的距离为1米，在

（2）的情况下，座椅最多条件到多少时他才感到舒适？