专题14三角形章末重难点题型北师大版原卷版Word文件下载.docx

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【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．

【例2】

（2019秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（　　）

A．16B．8C．4D．2

【变式2-1】

（2019秋•宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：

GD＝2：

1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．3B．4C．5D．6

【变式2-2】

（2019秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（　　）

A．1B．

C．2D．

【变式2-3】

（2019秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（　　）

A．15B．20C．25D．30

【考点3三角形内角和之折叠变换】

【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．

【例3】

（2019秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°

，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．32°

B．45°

C．60°

D．64°

【变式3-1】

（2020春•岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'

，若∠A'

＝32°

，∠B＝112°

，则∠A'

NC的度数是（　　）

A．114°

B．112°

C．110°

D．108°

【变式3-2】

（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°

，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°

，则原三角形的∠C的度数为（　　）

A．27°

B．59°

C．69°

D．79°

【变式3-3】

（2019春•繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（　　）

A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2

C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）

【考点4三角形内角和之角平分线】

【例4】

（2019秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（　　）

A．2∠DAE＝∠B﹣∠CB．2∠DAE＝∠B+∠C

C．∠DAE＝∠B﹣∠CD．3∠DAE＝∠B+∠C

【变式4-1】

（2019秋•璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°

，则∠A的度数为（　　）

A．40°

B．50°

D．75°

【变式4-2】

（2020•拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°

，∠C＝44°

，则∠EAC的度数为（　　）

A．18°

B．28°

C．36°

D．38°

【变式4-3】

（2019春•巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（　　）

A．180°

﹣

B．180°

﹣2βC．90°

﹣βD．90°

【考点5全等三角形的判定】

【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；

若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

【例5】

（2019秋•九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AEB．∠B＝∠CC．CD＝BED．∠ADC＝∠AEB

【变式5-1】

（2019秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°

，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（　　）

A．EB＝BDB．∠E+∠D＝90°

C．AC＝AE+CDD．∠EBD＝60°

【变式5-2】

（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（　　）

A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了

C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可

【变式5-3】

（2019•鄂州）下列命题：

①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；

②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；

③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【考点6尺规作图】

【例6】

（2019秋•蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：

（1）作∠A＝∠1；

（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；

（3）连接MN．

【变式6-1】

（2019春•秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）

【变式6-2】

（2019春•平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）

【变式6-3】

（2019秋•包河区期末）已知平面内有∠α，如图

（1）．

（1）尺规作图：

在图

（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；

（2）已知

（1）中所作的∠AOD＝40°

，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．

【考点7全等三角形的证明】

【例7】

（2019秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：

△AOC≌△BOD．

【变式7-1】

（2019秋•大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．

（1）∠DBH＝∠DAC；

（2）△BDH≌△ADC．

【变式7-2】

（2019春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？

请说明理由．

【变式7-3】

（2019秋•北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：

（1）∠B＝∠D；

（2）△ABC≌△ADE．

【考点8全等三角形的应用】

【例8】

（2019春•开江县期末）如图：

小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°

直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．

（1）根据题意，画出示意图；

（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．

【变式8-1】

（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：

首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：

∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？

为什么？

【变式8-2】

（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°

），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

【变式8-3】

（2019秋•临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．

（1）求证：

AB＝CD；

（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：

延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°

，∠OFE＝110°

，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．

【考点9全等三角形中的动点问题】

【例9】

（2019秋•莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；

点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？

【变式9-1】

（2019秋•娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【变式9-2】

（2019秋•内乡县期末）如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

【变式9-3】

（2019秋•梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．

（1）PC＝　　cm（用含t的代数式表示）．

（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？

若存在，请求出v的值；

若不存在，请说明理由．

【考点10全等三角形判定与性质综合运用】

【例10】

（2019秋•红桥区期末）

（1）如图，△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：

BD＝DE﹣CE；

（2）上题中，变成如图，B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE关系如何？

并加以证明．