北京领航考研数学名师铁军.docx
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北京领航考研数学名师铁军
北京领航考研数学名师铁军
2005年考研数学复习最后五十题
铁军教授简介：
著名考研数学辅导专家，近几年在北京、天津、武汉、广州、沈阳等全国各大城市声名鹊起，成为与陈文灯、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。
铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。
特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！
1．
（1）设.证明数列的极限存在，并求此极限；
（2）设（n>1），，则.
2．极限
3．求
4．设，其中试求f（x）的表达式，并求函数f（x）在间断点处的左、右极限。
5．设周期函数f（x）在内可导，周期为4，又极限
，则曲线y=f（x）在点处的法线斜率为（）。
（A）（B）0（C）1（D）
6．设函数f（x）在[-1，1]上有定义，且满足
证明：
存在且等于1。
7．设y=f（x）在（0，1）内具有二阶连续导数，且，求证：
（1）对于（0，1）内任一点，
存在唯一的成立。
（2）令，求当时的极限值。
8．设函数可导，且满足又单调减少。
证明：
对任，有
9．设常数的零点的个数是（）
（A）3（B）2（C）1（D）0
10．设。
讨论f（0）是否为极值，是极大值还是极小值。
11．
（1）某酒厂有一批新酿成的酒，若当即卖掉（t=0），收入元，若窖藏t年按陈年酒售出，售价为元。
如果窖藏不需支付储存费，问窖藏多少年按现值计算可使利润最大（连续计息年利息为0.1）
（2）设一辆轿车，售价14万元，现某人分期支付，准备20年付清，按年利率0.05连续复利计息，问每年应支付多少元？
12．设，且，求。
13．求.
14．求
15．设在上的连续函数满足如下条件：
对上的任意的连续偶函数，积分，试证：
是上的奇函数。
16．设函数在上连续。
若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。
17．设有一半径为R，长度为的圆柱体平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）设圆柱体的密度为，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？
18．设，求.
19．求函数在条件及下的极值。
20．设具有连续的导数，且，
。
（1）证明：
（2）求
（3）
21．交换积分次序
22．已知方程
（1）若把看成函数，看成自变量，则方程化成什么形式？
（2）求此方程的解。
23．设=在[0，1]上收敛，证明：
收敛。
24．将函数在点x=0处展开成幂级数.
25．设级数的和函数为，
求：
（I）所满足的二阶微分方程。
（Ⅱ）的表达式
26．设函数，直线是直线在平面上的投影，试求函数u在点沿直线的方向导数（规定上与z轴正向夹角为锐角的方向为的方向）。
27．求曲线AB：
的方程，使曲线与两个坐标轴及过点（x,0）的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于
28．设具有一阶连续导数，计算曲线积分
，其中曲线C是从点A（2，）沿圆周
的上半圆周到点B（0,0）.
29．计算，
其中为连续函数，S为平面在第四卦限部分的上侧.
30．，为柱面界于与之间部分的外侧.
31．设行列式
，
则方程的根的个数为（）。
（A）1（B）2（C）3（D）4
32．设行列式
，则第四行各元素余子式之和的值为。
33.已知A、B为3阶矩阵，且满足，其中E是3阶单位矩阵。
（1）证明：
矩阵A-2E可逆；
（2）若，求矩阵A.
34.设，，
，
其中A可逆，则等于（）
（A）（B）（C）（D）
35.已知三维向量组（I）线性无关，（Ⅱ）线性无关。
（1）证明：
存在向量，即可由线性表示，也可由线性表示。
（2）当时，求
（1）中的。
36.已知向量组及向量组，若可由线性表示，判断这两个向量组是否等价？
并说明理由。
37.设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则或有（）。
（A）或
（B）或
（C）且
（D）且
38.已知，，是方程组
的三个解，求此方程组的通解。
39.设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值．若
,,都是的属于特征值6的特征向量．
（Ⅰ）求的另一特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求矩阵．
40.设A是阶实对称矩阵，是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。
41．假设A，B，C是三个事件，其概率均大于0，A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容，则下列命题中不正确的是（）。
（A）A与BC相互独立（B）A与（B+C）相互独立
（B）A与（B-C）相互独立（D）AB，BC，CA相互独立。
42．一袋中装有N-1只黑球及一只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第K次摸球时，摸到黑球的概率为。
43．每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。
开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。
由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。
求：
（1）检验一箱产品能通过验收的概率
（2）检验10箱产品通过率不低于90%的概率
44．设随机变量X的密度函数为
求随机变量的分布函数与密度函数。
45．袋中有只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行次。
已知袋中白球数的数学期望为a，则第n+1次从袋中任取一球为白球的概率是
46．设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3个部件需要调整的概率分别为且相互独立，任一部件需要调整即为机器需要调整。
（1）求机器需要调整的概率；
（2）记为需要调整的部件数，求期望、方差。
47．设相互独立，同服从正态分布，又
（1）求与的相关系数；
（2）问、是否相关？
是否独立？
（3）当、相互独立时，求的联合密度函数.
48．—生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？
（）。
49．设总体X为连续型随机变量，概率密度函数为，从该总体抽取容量为的简单随机样本。
试求在曲线下方，统计量对应的统计值的右方的（曲边形）面积S的数学期望。
50．已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下（单位：
）：
样本均值，样本方差.
（1）求平均抗压强度的矩估计值；
（2）求平均抗压强度的95%的置信区间；
（3）若已知，求的95%的置信区间.
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