matlab有限域上的运算Word文件下载.docx

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a（x）⊕ｂ（x）=ａ（x）+b（x）， 

ａ（x）⊙b（ｘ）=（a（x）⋅b（x））ｍodg（ｘ）

ﻫ则〈GF（ｐn）,⊕，⊙>

为一个有pｎ个元素，特征为p得有限域,其中零元素为GF（p）中得　0,单位元为ＧＦ（ｐ）中得1、

令ａ（ｘ）为　GF（pn）中得一个非零元素、由于gcd（a（x）,g（x））=1，因此，存在　ＧF（ｐ）上得多项式b（ｘ），c（ｘ），使得a（x）b（x）+g（x）ｃ（x）=1、由此得到　a（ｘ）　得逆元为ａ−1（x）=b（x）modｇ（x）、

域　GF（pｎ）　称为　GＦ（p）得（n次）扩域（ｅxｔensionfｉｅld）,而GF（p）　称为GF（ｐn）　得子域（subfield）、

例注２、1：

给定GF（p）上得多项式a（x）与　ｇ（x），例2中得等式　a（ｘ）b（x）+g（x）c（ｘ）=1可以通过扩展得欧几里得除法得到，从而求得GF（pn）　中任意非零元素得逆元、

例注２、2:

设　ＧＦ（ｑ）就是一个含有q个元素得有限域、对任意正整数ｎ,GF（q）　上得n次不可约多项式一定存在、　更进一步,GF（q）上首项系数为　1　得n次不可约多项式得个数为

Nｑ（n）=１n∑d|nμ（ｎd）ｑd=1n∑d｜ｎμ（d）qn/d

ﻫ其中μ　为Moebiｕs函数，定义为

μ（m）=⎧⎩⎨１（−1）k０如果m＝1如果m=p１ｐ2⋯pｋ,其中p1，ｐ2,…,ｐk为互不相同得素数其它

1、2　有限域得性质

令GF（q）就是一个含有q个元素得有限域，F∗q=GF（ｑ）∖｛0｝　为有限域GF（ｑ）　中所有非零元素构成得集合、则在乘法之下F∗q　就是一个有限循环群、　循环群F∗ｑ得一个生成元称为有限域GF（q）　得一个本原元、

若　α∈GF（q）　为一个本原元，则

ＧＦ（q）=｛0，1,α，α２,…,αq−2}

ﻫ并且αq−1=1,即αｑ＝α、

定义:

设GF（ｑ）就是一个含有ｑ个元素得有限域，GF（p）　就是　GF（ｑ）得一个含有ｐ　个元素得子域（p　不一定为素数）,α∈GF（ｑ）、则GF（p）　上以　α　为根,首项系数为1，并且次数最低得多项式称为　α在　GF（p）上得极小多项式（mｉｎｉmaｌpｏlynomial　of　αoｖer　ＧF（p））、　

特别地,若α∈ＧＦ（ｑ）为GF（q）　得一个本原元，则α在ＧF（ｐ）　上得极小多项式称为GF（ｐ）上得一个本原多项式（ｐriｍitｉｖe　polｙnomial　ｆorGF（q）ovｅrＧF（p））、

定义注1:

对任意得α∈ＧＦ（q），α在GF（p）上得极小多项式存在并且唯一，并且α在GF（p）　上得极小多项式为　GF（p）　上得一个不可约多项式、

定义注２:

设α∈ＧF（ｑ）,则α与　αp在　GF（p）上具有相同得极小多项式、更进一步,集合

B（α）={α,αｐ，αp2，αｐ3，…,αｐi,…｝

ﻫ中得元素具有相同得极小多项式、设　q＝pn，则αｐn=α、因此,集合B（α）中互不相同得元素得个数（记为r）不超过　n、　可以证明,α　为ＧＦ（q）得一个本原元当且仅当r＝n、

定理:

设　GF（q）就是一个含有q个元素得有限域,GＦ（p）　就是ＧF（ｑ）得一个含有p个元素得子域、设α∈ＧＦ（q）,r为满足αｐr=α　得最小正整数、　则α　在GF（p）　上得极小多项式ｇ（x）就是一个ｒ次不可约多项式,并且

B（α）={α,αp,αp2，…，αpr−1｝

ﻫ中得元素为　ｇ（x）在GF（q）上得所有不同得根，即　

g（ｘ）=（ｘ−α）（x−αp）（ｘ−αp2）⋯（ｘ−αpr−１）、

r得计算方法如下:

设α在F∗ｑ中得阶为k、集合

Ｚ∗k={m 

０≤m≤k−１,gcd（m，ｋ）=1}

ﻫ在模k乘法运算下就是一个含有　φ（ｋ）　个元素得有限群（其中φ为欧拉（Eｕler）函数）、则r等于pmodk在　Z∗k　中得阶、

推论:

设　ＧＦ（ｑ）就是一个含有q　个元素得有限域,GF（p）就是GF（ｑ）得一个含有　ｐ个元素得子域、　设　｜GF（q）|=pn，即ｑ=pn、设α∈ＧF（q）为GF（q）得一个本原元，则α在GF（ｐ）上得极小多项式g（x）得次数为n,并且

ｇ（x）=（x−α）（ｘ−αp）（x−αp2）⋯（x−αpn−1）、

ﻫ更进一步，α，αp，αp2，…,αpn−1均为　GF（q）得本原元、

注:

设GF（ｐ）就是一个含有　p个元素得有限域，n就是任意一个正整数,则ＧF（p）上得　n　次本原多项式一定存在、　更进一步，GF（p）上得首项系数为１得　n次本原多项式得个数为φ（pｎ−１）ｎ，其中φ为欧拉函数、

例3考虑二元域GF（２）上得不可约多项式p（α）=α３+α＋１,构造有限域

GF（２3）=ＧF

（2）［α］/⟨ｐ（α）⟩＝{０，1,α，α+1，α2,α2+1,α2＋α，α2＋α+1｝、

容易验证，α,α２,α3，α4，α5,α6都就是　ＧF（２３）得本原元、GF（２）上得首项系数为１得　3次本原多项式有两个，分别为

（i）α，α2，α4在ＧF

（2）上得极小多项式

g（x）=（x+α）（x+α2）（ｘ＋α4）=ｘ3＋x+1

（ii）　α3，α5,α6在　GF

（2）　上得极小多项式

g（x）=ｘ3+x2+1

有限域　ＧＦ（ｐ）上得本原多项式一定就是GF（p）　上得不可约多项式;

但就是，GＦ（p）上得不可约多项式不一定就是GF（p）上得本原多项式、

定理：

设GＦ（ｑ）　就是一个含有q　个元素得有限域，GF（p）　就是　GF（ｑ）得一个含有　ｐ个元素得子域，g（x）就是ＧF（p）上得一个不可约多项式、则　ｇ（x）　为　GＦ（p）上得本原多项式当且仅当g（x）在ＧF（q）上得根都就是GF（q）得本原元、

下面例子说明不可约多项式不一定就是本原多项式、

例4考虑二元域ＧF

（2）上得不可约多项式　ｐ（ｘ）＝x4+x3+ｘ2＋x+1，构造有限域

ＧF（2４）=GF

（2）[x］／⟨p（x）⟩＝｛a+ｂｘ+cｘ2+ｄx３ 

｜ 

a，b,c,d∈GＦ

（2）｝、

显然，x∈ＧＦ（24）、由于x５=１，即ｘ得阶为　5，因此,x不就是GF（24）得本原元、　于就是，　p（x）不就是GF（２）　上得本原多项式、　另外,可以验证x+１就是　ＧF（２4）得本原元、

２　Matlab中得有限域计算函数

Maｔｌaｂ　中自带得有限域得计算就是在GF（２ｍ）上进行得，即在二元域GF

（2）得扩域中进行计算,其中1≤ｍ≤16、

由“1、1有限域得构造”得　“例２"

可知，我们只需先找到一个GＦ

（2）上得　m次不可约多项式ｇ（x）,得到集合GＦ

（2）［x］／⟨g（x）⟩,然后定义其上得加法与乘法分别为模ｇ（x）加法与模　g（x）乘法,即得到有限域GF（2m）、

然而，这样得到得有限域　GF（2m）　中,元素x未必就是本原元,这将给后面得（乘法）运算带来很多麻烦、因此，在不可约多项式　g（x）得挑选上，我们最好选择一个本原多项式、这其实就就是Matlab中得做法、

Maｔｌaｂ中GＦ（２m）　得元素:

在Maｔｌab中GF（2m）:

=ＧF

（2）［D］／⟨ｐ（D）⟩，其中p（D）　为一个GF

（2）上得m次本原多项式、

GF（2m）＝｛aｍ−１Dｍ−１+ａm−2Dm−2+⋯+a1Ｄ+a0， 

ａi∈GF

（2），0≤i≤ｍ−1｝

ﻫ因此,每个GF（2m）中得元素本质上就是一个次数小于　m　得多项式，每个元素与多项式之间有“1－1”对应关系、例如,取ｍ=3　与本原多项式　p（D）=D3+D+1，则我们得到有限域GF（23）,其中得元素与多项式之间得对应关系如下：

ＧＦ（23）

ＧＦ

（2）［D］/⟨ｐ（D）⟩

二进制

000

1

001

2

Ｄ

01０

3

D+1

0１1

4

D2

10０

5

D2+1

101

6

D2+Ｄ

110

7

Ｄ2+D+１

1１1

GF

（2）上得多项式由系数组成得二进制所对应得（十进制）数字来表示、例如，多项式p（D）=D3＋D+1得系数组成得二进制为1011，因此，多项式p（D）表示为数字1１、

2、１　定义有限域数组

在Matlab中，函数gf　用来定义一个有限域数组,函数申明如下:

X＿GF　=　GＦ（X,M，PRIM_PＯLＹ）

函数创建有限域ＧＦ（2M）上得一个数组，使用得ＧF（２）　上得M次本原多项式为PRIM_ＰOLY;

M就是一个1　至　16之间得整数；

数组X中得元素为0　至2Ｍ−１之间得数、

例如，生成有限域　GF（２3）中得所有元素，并令本原多项式为p（Ｄ）=D3＋D２+1、

＞＞GF8　=　gｆ（0:

7，3，13）

GF8＝GF（2＾３）　aｒrａy、　Primｉｔiｖepｏlynｏmｉal=D^3+D^2+1（1３decimal）

Ａrray　eｌemｅｎts=

　0　1　2345６7

如果不指定本原多项式,则Mａｔlａb将使用默认本原多项式、例如

〉〉ｇf（0:

７，3）

anｓ=　ＧF（2^3）arrａy、Primｉtivｅpｏlyｎomiaｌ　＝D^3＋Ｄ+1（11dｅcimal）

Arrａyｅlemeｎｔs　=

　　01　23　４５67

在这里例子中，Matlab　使用了3次本原多项式Ｄ3＋D＋１、

如果不指定次数Ｍ与本原多项式PRIM_PＯLY,则生成二元域GF（２）中得元素、

〉〉gf（0：

1）

aｎs=　GF（２）aｒray、

Ａrｒayｅlements=

　0　1

生成得有限域中得数组可以参与运算（＋、、、、、^、\等）、注意:

参与运算得操作数必须来自同一个有限域,用于生成有限域得本原多项式也必须相同！

一个典型得例子就是计算有限域得乘法表如下:

〉〉GF8＝　gf（0：

7,３）

GF8　=ＧF（2^３）ａｒray、　Primitiveｐolynomｉal=D^3+Ｄ＋1（11　decimａｌ）

Arｒayｅｌeｍｅnts=

　0　１　　２　34５　67

〉〉GＦ8'

*GF8

ans　=ＧＦ（2^3）array、　Primitiｖepolynomｉal=D＾3+Ｄ+１（1１ｄecimal）

Aｒray　eｌｅmentｓ＝

00　0　00０0　　0

　　01　23　４　5　　　6　　7

02　４6　3　１　7５

0　３6　5　7　4　12

　04　37　6　２　51

０5　14　2　7３　　６

　　06　　７1　5　32　4

　0　７５　２　　1　　64　　3

>

ＧF8＝　gｆ（0：

7，3,１3）

ＧＦ8=GＦ（2^3）array、Ｐrimitiｖeｐolynｏmial=D＾3+D^2＋1　（１3　ｄeｃimal）

Ａrrayelｅmenｔs＝

　0　1　23　4５　６　7

＞GＦ8’＊GF8

Wａrning：

Ｌoｏkup　ｔablesnoｔ　defiｎedforｔhiｓoｒder2^3and

priｍitive　polｙｎｏmiaｌ１3、　　Aｒｉthmetiｃstillｗorｋs

corrｅｃtlybutｍｕlｔiplｉｃatiｏn,　ｅｘｐoｎenｔiａtiｏｎ，　and

ｉnveｒｓｉｏnｏｆeｌementｓ　isfasterwiｔhｌｏokuptablｅs、

Useｇftabletocｒeａteaｎdｓａvethｅ　loｏｋｕptａbles、

＞Ingｆ、ｇettables　at　3５

　Iｎ　gf、mｔｉmes　aｔ20

ans　＝　ＧF（2＾3）　arｒａy、Prｉmｉtiｖe　polynomｉａl　=Ｄ^3+Ｄ^2+1（13dｅcimａl）

Ａｒrayeｌemｅnｔｓ　＝

　0００　　0　0　00　　0

　0　1　2　　3　　4　5　67

０　２　4　657　1　　3

　０　　3　　6　　５　12７　4

　　0　　4５　17３2　6

0　５7　23　　64　１

　0６　17　2　4　３５

　　　07　３　4　6　1　　５2

在这里我们用两个不同得本原多项式构造有限域GF（2３），得到两张不同得乘法表、

注１：

当我们计算　ＧＦ

（2）［Ｄ]/⟨Ｄ3+Ｄ2+１⟩得乘法表时,Matlaｂ给产生一个警告“Wａrniｎg：

Lookｕptａbｌesnｏtdefiｎed　fｏrthiｓｏrｄeｒ2＾3aｎdprimitiｖepｏlynomｉａl１３、”从警告中我们可以瞧出，Matlab中有限域得乘法就是通过查表来完成得，这样可以显著地提高计算得速度、　我们可以通过命令　gｆtable　来创建并保存查找表格、ﻫ注2：

用本原多项式D3+D+1　与Ｄ3＋D2+1生成两个不同得元素个数为８得有限域,然而这两个有限域就是同构得、一般地，我们有如下有限域同构定理:

任意两个元素个数相同得有限域一定同构、

与本原元多项式相关得函数

pｒimpoｌy

函数　prｉｍｐoｌy用于计算GＦ

（2）上得本原多项式，函数申明如下：

PR=PRIMPＯLY（Ｍ,OPＴ，＇nodｉspｌaｙ’）

其中　M为本原多项式得次数,其取值为2至16之间得整数；

选项ＯPＴ得定义如下：

OPＴ=’min’给出一个权值最小得本原多项式

OPT=’max’给出一个权值最大得本原多项式

ＯPT='

all'

给出所有得本原多项式

OＰT=　L　　给出所有权值为L得本原多项式

字符串‘nｏdispｌａy’用于关闭默认得本原多项式显示方式、

例如,输出ＧF

（2）上所有次数为3得本原多项式、

〉primpoly（3，＇alｌ'

）

Ｐrimｉtｉｖe　polｙnoｍial（s）　=　

D^3+D＾１＋１

D＾3+Ｄ＾2＋1

anｓ=

1１

13

〉ｐrimpolｙ（3，’all＇，’nｏdｉsplaｙ’）

ans　=

11

１3

isｐriｍｉtive

函数iｓprｉmitｉｖｅ　用来检查　GF

（2）　上得多项式就是否为本原多项式，函数申明如下:

CK＝　ISＰＲＩMＩＴIVE（A）

其中　A为一个表示多项式得数字,并且表示得多项式得次数不能超过１6、　如果　A为本原多项式，则返回1;

否则返回０、

例如,检查多项式D3+D２＋１与　D３＋D２+D＋1就是否为本原多项式如下：

〉>

iｓprimitｉve（1３）

ans=

１

isｐｒｉmitiｖe（15）

　0