高中数学导数练习题答案.docx

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高中数学导数练习题答案

专题8：

导数（文）

经典例题剖析

考点一：

求导公式。

例1.f（x）是f（x）13x2x1的导函数，则f

（1）的值是。

3

解析：

f’xx22，所以f’1123

答案：

3

考点二：

导数的几何意义。

，f

（1））处的切线方程是y例2.已知函数yf（x）的图象在点M（1

f

（1）f

（1）。

解析：

因为k1x2，则211，f

（1）），可得点M的纵坐标为，所以f’1，由切线过点M（122

55，所以f1，所以f1f’1322

答案：

3

，3）处的切线方程是。

例3.曲线yx32x24x2在点（1

，3）处切线的斜率为k3445，所以设切解析：

y’3x24x4，点（1

，3）带入切线方程可得b2，，3）线方程为y5xb，将点（1所以，过曲线上点（1

处的切线方程为：

5xy20

答案：

5xy20

点评：

以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：

导数的几何意义的应用。

32例4.已知曲线C：

yx3x2x，直线l:

ykx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

解析：

直线过原点，则ky0x00。

由点x0,y0在曲线C上，则x0

y232y0x03x02x0，0x03x02。

又y’3x26x2，在x0

x0,y0

处曲线C的切线斜率为kf’x03x06x02，2

22整理得：

解得：

x02x03x00，x03x023x06x02，3或x002

（舍），此时，y0311，k。

所以，直线l的方程为yx，切点坐标是844

33,。

28

答案：

直线l的方程为y133x，切点坐标是,428

点评：

本小题考查导数几何意义的应用。

解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。

函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：

函数的单调性。

例5.已知fxax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围。

解析：

函数fx的导数为f’x3ax26x1。

对于xR都有f’x0时，fx

a0为减函数。

由3ax6x10xR可得，解得a3。

所以，3612a02

当a3时，函数fx对xR为减函数。

18

（1）当a3时，fx3x33x2x13x。

39

3由函数yx在R上的单调性，可知当a3是，函数fx对xR为减函数。

3

（2）当a3时，函数fx在R上存在增区间。

所以，当a3时，函数fx在

R上不是单调递减函数。

综合

（1）

（2）（3）可知a3。

答案：

a3

点评：

本题考查导数在函数单调性中的应用。

对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：

函数的极值。

例6.设函数f（x）2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。

（1）求a、b的值；32

3]，都有f（x）c成立，求c的取值范围。

（2）若对于任意的x[0，

2解析：

（1）f（x）6x6ax3b，因为函数f（x）在x1及x2取得极值，则有2

66a3b0，

，解得a3，b4。

f

（1）0，f

（2）0．即

2412a3b0．

（2）由（Ⅰ）可知，f（x）2x39x212x8c，f（x）6x218x126（x1）（x2）。

1）时，f（x）0；当x（12），时，f（x）0；当x（2，3）时，f（x）0。

所以，当x（0，

当x1时，f（x）取得极大值f

（1）58c，又f（0）8c，f（3）98c。

则当x0，3时，f（x）的最大值为f（3）98c。

因为对于任意的x0，3，有f（x）c2恒成立，

2

所以98cc，解得c1或c9，因此c的取值范围为（，1）（9，）。

1）（9，）。

答案：

（1）a3，b4；

（2）（，

点评：

本题考查利用导数求函数的极值。

求可导函数fx的极值步骤：

①求导数f’x；②求f’x0的根；③将f’x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f’x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。

考点六：

函数的最值。

例7.已知a为实数，fxx24xa。

求导数f’x；

（2）若f’10，求fx在区间2,2上的最大值和最小值。

解析：

（1）fxxax4x4a，f’x3x2ax4。

3

2

2

12

。

f’x3xx43x4x12

4

令f’x0，即3x4x10，解得x1或x，则fx和f’x在区间

2,2

3

（2）f’132a40，a

f1

9，2

504

。

所以，fx在区间2,2上的最大值为f273504

，最f273

小值为f1

9。

2

答案：

（1）f’x3x22ax4；

（2）最大值为f

4

3

950

，最小值为f1。

227

点评：

本题考查可导函数最值的求法。

求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：

导数的综合性问题。

例8.设函数f（x）ax3bxc（a0）为奇函数，其图象在点（1,f

（1））处的切线与直线

x6y70垂直，导函数f’（x）的最小值为12。

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[1,3]上的最大值和最小值。

解析：

（1）∵f（x）为奇函数，∴f（x）f（x），即axbxcaxbxc

∴c0，∵f’（x）3ax2b的最小值为12，∴b12，又直线x6y70的斜率为

3

3

1

，因此，f’

（1）3ab6，∴a2，b12，c0．6

（2）f（x）2x312x。

f’（x）6x2126（xx，列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是（,和），∵f

（1）10，

f，f（3）18，∴f（x）在[1,3]上的最大值是f（3）18，最小值是f

答案：

（1）a2，b12，c0；

（2）最大值是f（3）18，最小值是f点评：

本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。

导数强化训练

（一）选择题

x2

1.已知曲线y1

4的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（A）

A．1B．2C．3D．4

2.曲线yx33x21在点（1，－1）处的切线方程为（B）

A．y3x4B．y3x2C．y4x3D．y4x5

3.函数y（x1）2（x1）在x1处的导数等于（D）

A．1B．2C．3D．4

4.已知函数f（x）在x1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为（A）

A．f（x）（x1）23（x1）B．f（x）2（x1）

C．f（x）2（x1）2D．f（x）x1

5.函数f（x）x3ax23x9，已知f（x）在x3时取得极值，则a=（D）

（A）2（B）3（C）4（D）5

6.函数f（x）x33x21是减函数的区间为（D）

（Ａ）（2,）（Ｂ）（,2）（Ｃ）（,0）（Ｄ）（0,2）

7.若函数fxx2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f’x的图象是（A）

xABCD

8.函数f（x）2x21

3x

3在区间[0,6]上的最大值是（A）

A．32

3B．16

3C．12D．9

x

9.函数yx33x的极大值为m，极小值为n，则mn为（A）A．0

B．1C．2

D．4

10.三次函数fxax3x在x,（A）

A．a0

B．a0C．a1

D．a

13

11.在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于是A．3

B．2

的点中，坐标为整数的点的个数4

D．0

（D）C．1

12.函数f（x）的定义域为开区间（a,b），导函数f（x）在（a,b））

A．1个

C．3个

（二）填空题

B．2个D．4个

3

13.曲线yx在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为

__________。

14.已知曲线y______________15.已知f都有f

（n）

（n）

134

x，则过点P（2,4）“改为在点P（2,4）”的切线方程是33

（x）是对函数f（x）连续进行n次求导，若f（x）x6x5，对于任意xR，

（x）=0，则n的最少值为。

16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储

费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨．

（三）解答题

32

17.已知函数fxxaxbxc，当x1时，取得极大值7；当x3时，取得极

小值．求这个极小值及a,b,c的值．

18.已知函数f（x）x33x29xa.

（1）求f（x）的单调减区间；

（2）若f（x）在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

19.设t0，点P（t，0）是函数f（x）x3ax与g（x）bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。

（1）用t表示a,b,c；

（2）若函数yf（x）g（x）在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。

20.设函数fxx3bx2cx（xR），已知g（x）f（x）f（x）是奇函数。

（1）求b、c的值。

（2）求g（x）的单调区间与极值。

21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：

1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？

最大体积是多少？

22.已知函数f（x）

21312xaxbx在区间[11）3]内各有一个极值点．，，（1，32

（1）求a4b的最大值；

，f

（1））处的切线为l，若l在点A处穿

（1）当a4b8时，设函数yf（x）在点A（1

过函数yf（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线yf（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．

2

强化训练答案：

1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A

（四）填空题13.814.y4x4015.716.203

（五）解答题

17.解：

f’x3x22axb。

2据题意，－1，3是方程3x2axb0的两个根，由韦达定理得

2a13313b

3

∴a3,b9

∴

∵fxx33x29xcf17，∴c2

极小值f33333293225

3,b9，c2。

∴极小值为－25，a

18.解：

（1）

所以函数

（2）因为

所以f（x）3x26x9.令f（x）0，解得x1或x3,f（x）的单调递减区间为（,1）,（3,）.f

（2）81218a2a,f

（2）81218a22a,f

（2）f

（2）.因为在（－1，3）上f（x）0，所以f（x）在[－1，2]上单调递增，又由于f（x）在[－2，－1]上单调递减，因此f

（2）和f

（1）分别是f（x）在区间2,2上的最大值和最小

20，解得a2.值.于是有22a

故

即函数

f（x）x33x29x2.因此f

（1）13927,f（x）在区间2,2上的最小值为－7.

19.解：

（1）因为函数

即t3f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）0，at0.因为t0,所以at2.g（t）0,即bt2c0,所以cab.

又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f（t）g（t）.

而f（x）3x2a,g（x）2bx,所以3t2a2bt.

t2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.将a

（2）yf（x）g（x）x3t2xtx2t3,y3x22txt2（3xt）（xt）.

当y（3xt）（xt）0时，函数yf（x）g（x）单调递减.

y0，若t0,则ttxt；若t0,则tx.33由

由题意，函数yf（x）g（x）在（－1，3）上单调递减，则

ttt（1,3）（,t）或（1,3）（t,）.所以t3或3.即t9或t3.333

又当9t3时，函数yf（x）g（x）在（－1，3）上单调递减.

所以t的取值范围为（,9][3,）.

20.解：

（1）∵fxx3bx2cx，∴fx3x22bxc。

从而

g（x）f（x）f（x）x3bx2cx（3x22bxc）＝x3（b3）x2（c2b）xc是一个奇函数，所以g（0）0得c0，由奇函数定义得b3；

32

（2）由（Ⅰ）知g（x）x6x，从而g（x）3x6，由此可知，

（,

和）是函数g（x）是单调递增区间；

（是函数g（x）是单调递减区间；

g（x

）在xg（x

）在x取得极大值，

极大值为取得极小值，

极小值为。

21.解：

设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为

h1812x4.53x（m）430＜x＜.2

故长方体的体积为

Vx2x24.53x9x26x3m3

从而V（x）18x18x

令V’

当020x32（4.53x）18x（1x）.x0，解得x0（舍去）或x1，因此x1.3时，V’x0，2x1时，V’x0；当1x

故在x1处Vx取得极大值，并且这个极大值就是Vx的最大值。

从而最大体积VV’x912613m3，此时长方体的长为2m，高为1.5m.

3答：

当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m。

22.解：

（1）因为函数f（x）1312xaxbx在区间[11）3]内分别有一个极值点，所以，，（1，32

3]内分别有一个实根，，，（1，f（x）x2axb0在[11）

设两实根为x1，x2（x1

x2），则x2x10x2x1≤4．于是

b3时等号成立．且当x11即a2，故，x23，04，0a24b≤16，

a24b的最大值是16．

（2）解法一：

由f

（1）1ab知f（x）在点（1，f

（1））处的切线l的方程是

21yf

（1）f

（1）（x1），即y（1ab）xa，32

因为切线l在点

所以g（x）A（1，f（x））处空过yf（x）的图象，21f（x）[（1ab）xa]在x1两边附近的函数值异号，则32

x1不是g（x）的极值点．

而g（x）131221xaxbx（1ab）xa，且3232

g（x）x2axb（1ab）x2axa1（x1）（x1a）．

若11a，则x1和x1a都是g（x）的极值点．

2，又由a24b8，得b1，故f（x）所以11a，即a13xx2x．3

解法二：

同解法一得g（x）21f（x）[（1ab）xa]32

13a3（x1）[x2

（1）x（2a）]．322

因为切线l在点A（1，f

（1））处穿过yf（x）的图象，所以g（x）在x1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m1

当m11m2）．x1时，g（x）0，当1xm2时，g（x）0；

或当m1x1时，g（x）0，当1xm2时，g（x）0．3a3ax21x2，则22设h（x）

当m1x1时，h（x）0，当1xm2时，h（x）0；

x1时，h（x）0，当1xm2时，h（x）0．

1是h（x）的一个极值点，则h

（1）211或当m1由h

（1）0知x

所以a

3a0，22，又由a24b8，得b1，故f（x）13xx2x．3