高中数学空间点直线平面之间的位置关系 30Word格式文档下载.docx

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a∥α

图形表示

知识点二　平面与平面之间的位置关系

两平面平行

两平面相交

没有公共点

有一条公共直线

α∥β

α∩β＝a

1．判断面面位置关系时，要利用好长方体（或正方体）这一模型．

2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．（　　）

（2）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．（　　）

（3）若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行．（　　）

（4）若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．（　　）

☆答案☆：

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）

A．α内的所有直线均与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

解析：

若直线a不平行于平面α，则直线a在平面α内或直线a与平面α相交，故选D.

D

3．平面α∥平面β，直线a∥平面α，则（　　）

A．a∥β　　　　　　　　B．a在平面β上

C．a与β相交D．a∥β或a⊂β

如图1满足a∥α，α∥β，此时a∥β；

如图2满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D.

4．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．b⊂βD．平行或相交

∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．

类型一　考查直线与平面的位置关系

例1　给出以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）：

①若a∥α，b∥α，则a∥b；

②若a∥b，b∥α，则a∥α；

③若a∥α，b⊂α，则a∥b；

④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

【解析】　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误．④显然正确．

【☆答案☆】　B

作出一个长方体→找出满足条件的直线和平面→对比结论判断正误

方法归纳

直线与平面位置关系的判断方法和注意事项

（1）判断方法．

首先把文字语言转化为图形语言，然后弄清图形间的相对位置是确定的还是可变的，最后根据定义确定直线与平面的位置关系．

可以借助几何体模型，把要判断关系的直线和平面放在某些具体的空间图形中，以便正确作出判断，切忌凭空臆断．

（2）注意事项．

①空间中直线与平面只有三种位置关系：

直线与平面平行、直线与平面相交和直线在平面内．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽和遗漏．

②正确理解“直线在平面外”的含义．

跟踪训练1　下列结论正确的是________．

（1）若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b；

（2）若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a与b相交；

（3）若直线a⊄平面α，则a∥α或a与α相交；

（4）若直线a∩平面α＝A，则a⊄α；

（5）若直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b无公共点．

（1）错，a，b还可能异面；

（2）错，a，b还可能异面或平行；

（3）正确，a⊄α包含两种情况，相交或平行；

（4）正确，a∩α＝A，则a与α相交，有a⊄α；

（5）错，a，b还可能相交．

（3）（4）

有关直线与平面的位置关系的问题，我们可借助熟悉的几何体（如正方体、长方体）模型解决．

类型二　平面与平面的位置关系

例2　α、β是两个不重合的平面，下列说法中正确的是（　　）

A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

【解析】　A，B都不能保证α，β无公共点，如图

（1）所示；

C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图

（2）所示；

只有D保证α，β一定无公共点．

【☆答案☆】　D

从平面与平面平行的定义出发进行判断，即两平面没有公共点．

两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：

如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；

如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：

①平行——没有公共点；

②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；

若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.

跟踪训练2　如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（　　）

C．平行或相交D．以上都不正确

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，C1D1⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．

C

借助正方体，找到题中的条件符合的平面，观察两个平面的位置关系.

2.1.3-4

[基础巩固]（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（　　）

A．平行　　　　B．相交

C．平行或相交D．不能确定

如下图所示：

由图可知，两个平面平行或相交．

2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（　　）

C．直线在平面内D．平行或直线在平面内

由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行（因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交）．

3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．

B

4．[2019·

安阳课时检测]过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（　　）

A．0个B．1个

C．0个或1个D．1个或2个

平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：

①直线与平面相交，可以作0个平行平面．

②直线与平面平行，可以作1个平行平面．

5．[2019·

郑州课时检测]给出下列说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；

②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；

③若直线a∥平面α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．

其中说法正确的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．

对于②，∵直线a∥b，b⊂平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．

对于③，比如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，∴③说法正确．

二、填空题（每小题5分，共15分）

6．有下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；

对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

①②

7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．

A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；

如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．

7

8．下列命题正确的有________．

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；

⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；

⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.

对②，直线l也可能与平面相交；

对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；

对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；

对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．

①⑤

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？

（1）AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；

（2）CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；

（3）AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；

（4）CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．

（1）AM所在的直线与平面ABCD相交；

（2）CN所在的直线与平面ABCD相交；

（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行；

（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．

10.

如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？

证明你的结论．

平面ABC与β的交线与l相交．

证明：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l.

又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β.

∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线．

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交．

[能力提升]（20分钟，40分）

11．[2019·

洛阳单元练习]下列说法中正确的个数是（　　）

①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；

②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．

①错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能有2条或3条交线，还可能只有1条交线．

②错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a有可能在经过b的平面内．

③错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时a可以与平面α内无数条直线平行．

A

12．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．

三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．

8　4

13．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．

直线PQ与平面AA′B′B平行．

连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．

14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.

∵E是AA1的中点，

∴EF∥A1B.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1，

∴EF∥CD1.

∴E，F，C，D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.

∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.