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2、向量积：
c
=a⨯b
大小：
absin，方向：
a,b,c符合右手规则
1）a⨯a=0
2）a//b⇔a⨯b=0
rrr
ijk
a⨯b=x
bx
ayaz
bybz
运算律：
反交换律b⨯a=-a⨯b
（三）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：
S:
f（x,y,z）=0
2、旋转曲面：
yoz面上曲线C:
f（y,z）=0，
绕y轴旋转一周：
f（y,±
）=0
绕z轴旋转一周：
f（±
z）=0
3、柱面：
F（x,y）=0表示母线平行于z
4、二次曲面
轴，准线为
⎪F（x,y）=0
⎪z=0的柱面
⎩
x2
1）椭圆锥面：
a2
+
y2b2
=z2
2）椭球面：
旋转椭球面：
+y2a2
z2
+=1
c2
+z2=
c21
3）单叶双曲面：
y2z2
b2-c2=1
4）双叶双曲面：
5）椭圆抛物面：
-b2-=
+y2
b2=z
x2y2
6）双曲抛物面（马鞍面）：
-
7）椭圆柱面：
8）
双曲柱面：
9）抛物柱面：
x2
y2
b2
-y2=
=ay
（四）空间曲线及其方程
1、一般方程：
⎨⎪F（x,y,z）=0
⎩G（x,y,z）=0
⎧x=
2、参数方程：
⎨y=
⎪
⎩z=
x（t）
y（t）
z（t）
⎧x
，如螺旋线：
⎨y
⎩z
=acost
=asint
=bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
⎪F（x,y,z）=0⎪H（x,y）=0
⎨
⎩⎪G（x,y,z）=0
，消去z，得到曲线在面xoy上的投影
⎪⎩z=0
（五）平面及其方程
1、点法式方程：
A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0
n
法向量：
=（A,B,C），过点（x0,y0,z0）
2、一般式方程：
Ax+By+Cz+D=0
截距式方程：
x+
y+z=1
bc
3、两平面的夹角：
n
=（A,B,C），n=（A,B,C），
cos=
11112222
∏1⊥∏2⇔A1A2+B1B2+C1C2=0
∏//∏
⇔A1=B1
=C1
12
222
4、点P0（x0,y0,z0）到平面Ax+By+Cz+D
d=
（六）空间直线及其方程
=0的距离：
1、一般式方程：
⎪⎨A1x+B1y+C1z+D1=0
⎩A2x+B2y+C2z+D2=0
x-x0
2、对称式（点向式）方程：
m
=y-y0
=z-z0
p
s
方向向量：
=（m,n,p），过点（x0,y0,z0）
⎧x=x0+mt
3、参数式方程：
y0+nt
⎩z=z0+pt
4、两直线的夹角：
s
=（m,n,p），s=（m,n,p），
L1⊥L2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0
L1//L2
⇔m1=n1=p1m2n2p2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角，
sin=
L//∏⇔Am+Bn+Cp=0
L⊥∏⇔A=B=C
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：
z=f（x,y），图形：
3、极限：
lim
（x,y）→（x0,y0）
4、连续：
5、偏导数：
f（x,y）=A
f（x,y）=f（x0,y0）
fx（x0
y0
）=lim
∆x→0
f（x0+∆x,y0）-
∆x
f（x0,y0）
fy（x0
∆y→0
f（x0,y0+∆y）-
∆y
f（x0,y0）
6、方向导数：
∂f=∂fcos+∂fcos其中,为l的方向角。
∂l∂x∂y
7z=f（x,y），则gradf（x,y）=f（x,y+f（x,y
、梯度：
z=f（x,y）dz=
∂0z
dx+
）i
∂0z
dy
y00）j。
8、全微分：
设，则
（二）性质
∂x∂y
1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、微分法
1）定义：
ux
2）复合函数求导：
链式法则z
若z=f（u,v）,u=u（x,y）,v=v（x,y），则vy
∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v，∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数z=f（x,y）的极值
f=0
解方程组⎪⎨fx=0
⎪y
求出所有驻点，对于每一个驻点（x0
），令
A=fxx（x0,y0），B=fxy（x0,y0），C=fyy（x0,y0），
①若AC-B2>
0，A>
0，函数有极小值，若AC-B2>
0，A<
0，函数有极大值；
②若AC-B2<
0，函数没有极值；
③若AC-B2=0，不定。
2）条件极值：
求函数z=f（x,y）在条件（x,y）=0下的极值
令：
L（x,y）=f（x,y）+（x,y）———Lagrange函数
⎧Lx=0
解方程组
⎨Ly=0
⎩（x,y）=0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
⎧x=x（t）
曲线Γ
:
y（t），则Γ上一点M（x0,y0,z0）（对应参数为t0）处的
⎩z=z（t）
x-x0=y-y0=z-z0
切线方程为：
x'
（t0）y'
（t0）z'
（t0）
法平面方程为：
（t0）（x-x0）+
2）曲面的切平面与法线
y'
（t0）（y-y0）+z'
（t0）（z-z0）=0
曲面∑:
F（x,y,z）=0，则∑上一点M（x0,y0,z0）处的切平面方程为：
Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0
法线方程为：
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）
第十章重积分
（一）二重积分
1、定义：
⎰⎰f（x,y）d=lim∑n
f（,）∆
kkk
→0
Dk=1
2、性质：
（6条）
3、几何意义：
曲顶柱体的体积。
4、计算：
1）直角坐标
D=⎧（x,y）1（x）≤y≤2（x）⎫
⎨a≤x≤b⎬，
⎰⎰⎰⎰
f（x,y）dxdy=bdx2（x）f（x,y）dy
a1（x）
D
D=⎧（x,y）1（y）≤x≤2（y）⎫
⎨c≤y≤d⎬，
f（x,y）dxdy=ddy2（y）f（x,y）dx
c1（y）
2）极坐标
D=⎧（,）1（）≤≤2（）⎫
⎨≤≤⎬
⎰⎰f（x,y）dxdy=
⎰d
2（）
1
⎰（）
f（cos,sin）d
（二）三重积分
3、计算：
⎰⎰⎰Ω
f（x,y,z）dv=lim∑
→0k=1
f（k,k,k）∆vk
z2（x,y）
⎰⎰⎰Ωf（x,y,z）dv=⎰⎰Ddxdy⎰z（x,y）f（x,y,z）dz“先一后二”
⎰⎰⎰=⎰⎰⎰ΩaD
f（x,y,z）dvdzf（x,y,z）dxdy“先二后一”
Z
2）柱面坐标
⎧x=cos
⎨y=sin
⎩z=z
3）球面坐标
，⎰⎰⎰Ω
f（x,y,z）dv=⎰⎰⎰Ω
f（cos,sin,z）dddz
⎧x=rsincos
⎨y=rsinsin
⎩z=rcos
ΩΩ
⎰⎰⎰f（x,y,z）dv=⎰⎰⎰f（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
曲面S:
z=
A=⎰⎰D
f（x,y）,（x,y）∈D的面积：
dxdy
第十一章曲线积分与曲面积分
（一）对弧长的曲线积分
f（x,y）ds=lim∑n
f（,）⋅∆s
⎰L
iii
i=1
1）⎰L[f（x,y）+（x,y）]ds=⎰Lf（x,y）ds+⎰Lg（x,y）ds.
⎰Lf（x,y）ds=⎰L
f（x,y）ds+⎰L
f（x,y）ds.（L=L1+L2）.
3）在L上，若
f（x,y）≤g（x,y），则⎰Lf（x,y）ds≤⎰Lg（x,y）ds.
4）⎰Lds=l（l为曲线弧L的长度）
⎪x=（t）,
（≤t≤），
设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为⎪⎩y=（t）,
其中（t）,（t）在[,]上具有一阶连续导数，且'
2（t）+'
2（t）≠0，则
⎰Lf（x,y）ds=⎰f[（t）,（t）]
（<
）
（二）对坐标的曲线积分
设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P（x,y），
Q（x,y）在L上有界，定义⎰
P（x,y）dx=lim∑P（k,）∆kx
kL，
⎰Q（x,y）dy=lim∑Q（k,）∆ky.
→0k=1
向量形式：
⎰LF⋅dr=⎰LP（x,y）dx+Q（x,y）dy
用L表示L的反向弧,则⎰L-F（x,y）⋅dr=-⎰LF（x,y）⋅dr
设P（x,y）,Q（x,y）在有向光滑弧L上有定义且连续,
⎪x=（t）,
L的参数方程为
⎪⎩y=（t）,（t:
→），其中（t）,（t）在[,]上具有一阶连续导数，且
'
2（t）+'
⎰⎰
P（x,y）dx+Q（x,y）dy={P[（t）,（t）]'
（t）+Q[（t）,（t）]'
（t）}dt
L
4、两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
L为⎪x=（t）
⎪⎩y=（t）
，L上点（x,y）
处的切向量的方向角为：
cos='
（t）cos='
（t）
，，，
则⎰LPdx+Qdy=⎰L（Pcos+Qcos）ds.
（三）格林公式
1、格林公式：
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P（x,y）,Q（x,y）在
D上具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰ç
⎛∂Q
∂P⎫
dxdy=Pdx+Qdy
⎝∂x-∂y⎭⎪⎰
2、G为一个单连通区域，函数P（x,y）,Q（x,y）在G上具有连续一阶偏导数，则
∂Q=∂P⇔曲线积分⎰Pdx+Qdy在G内与路径无关
∂x∂yL
⎰
⇔曲线积分Pdx+Qdy=0
L
⇔P（x,y）dx+Q（x,y）dy在G内为某一个函数u（x,y）的全微分
（四）对面积的曲面积分
设∑为光滑曲面，函数f（x,y,z）是定义在∑上的一个有界函数，
定义⎰⎰
f（x,y,z）dS=lim∑f（,i,i）∆iS
→0i=1
2、计算：
———“一单二投三代入”
∑:
z=z（x,y），（x,y）∈Dxy，则
⎰⎰∑
f（x,y,z）dS=⎰⎰D
f[x,y,z（x,y）]1+z2（x,y）+z2（x,y）dxdy
xy
（五）对坐标的曲面积分
1、预备知识：
曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
2、定义：
设∑为有向光滑曲面，函数P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）是定义在∑上的有界函数，
R（x,y,z）dxdy=lim∑nR（,,）（∆S）
定义⎰⎰∑
iii
→0i=1
ixy
同理，⎰⎰∑P（x,y,z）dydz=lim∑P（i,i,i）（∆Si）yz
Q（x,y,z）dzdx=lim∑R（i,i,i）（∆Si）zx
3、性质：
1）∑=∑1+∑2，则
⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+⎰⎰
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
2）∑-表示与∑取相反侧的有向曲面,则⎰⎰∑-Rdxdy=-⎰⎰∑Rdxdy
——“一投二代三定号”
z=z（x,y），（x,y）∈Dxy，z=z（x,y）在Dxy上具有一阶连续偏导数，R（x,y,z）在
∑上连续，则⎰⎰∑R（x,y,z）dxdy=±
⎰⎰DxyR[x,y,z（x,y）]dxdy,∑为上侧取“+”，
∑为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰∑（Pcos+Qcos+Rcos）dS
其中,,为有向曲面∑在点（x,y,z）处的法向量的方向角。
（六）高斯公式
1、高斯公式：
设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成,
函数P,Q,R在Ω上有连续的一阶偏导数,则有
∑的方向取外侧,
⎛∂P+∂Q
∂R⎫
+dxdydz=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
⎰⎰⎰Ωç
∂x∂y∂⎪⎰⎰z
或⎰⎰⎰Ωç
⎛∂P+∂Q+∂
⎪dxdydz=
（Pcos+Qcos+Rcos）dS
∂x∂y∂z⎰⎰
⎝⎭∑
2、通量与散度
通量：
向量场A=（P,Q,R）通过曲面∑指定侧的通量为：
Φ=⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
∂P+∂Q+∂R
散度：
divA=
∂x∂y∂z
（七）斯托克斯公式
1、斯托克斯公式：
设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
⎛∂R∂Q⎫⎛∂P∂R⎫⎛∂Q∂P⎫
⎰⎰ç
∂y-⎪dydz+ç
⎪dzdx+ç
∂⎪dxdy=⎰
Pdx+Qdy+Rdz
Γ
∑⎝∂z⎭⎝∂z-∂x⎭⎝∂x-y⎭
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
∂
dydz
∑
⎰⎰∂xP
dzdx
∂yQ
∂zR
=⎰Γ
2、环流量与旋度
环流量：
向量场A=（P,Q,R）沿着有向闭曲线的环流量为⎰
⎛∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P⎫
旋度：
rotA=ç
∂y-∂z,∂z-∂x,∂x-∂y⎪
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
∞
无穷级数：
∑un
n=1
=u1+u2+u3++un+
部分和：
Sn
=∑uk
k=1
=u1+u2+u3++un，
正项级数：
∑un，un
交错级数：
∑（-1）u
≥0
，un≥0
∞∞
2）级数收敛：
若limSn=S存在，则称级数∑un收敛，否则称级数∑un发散
n→∞
3）条件收敛：
∑un收敛，而∑un发散；
n=1n=1
绝对收敛：
∑un
收敛。
1）改变有限项不影响级数的收敛性；
∞∞∞
2）级数∑an，∑bn收敛，则∑（an±
bn）收敛；
n=1n=1n=1
3）级数∑an收敛，则任意加括号后仍然收敛；
必要条件：
级数∑un
收敛⇒
limunn→∞
=0.（注意：
不是充分条件！
）
3、审敛法
∑un，un≥0
limSn
=S存在；
∑un收敛⇔{Sn}有界；
n=1
3）比较审敛法：
∑un，∑vn为正项级数，且un≤vn（n=1,2,3,）
∞∞∞∞
若∑vn收敛，则∑un收敛；
若∑un发散，则∑vn发散.
4）比较法的推论：
∑un，∑vn为正项级数，若存在正整数m，当n>
m时，
un≤kvn，而∑vn收敛，则∑un收敛；
若存在正整数m，当n>
un≥kvn，而∑vn发散，则∑un发散.
limun=l
5）比较法的极限形式：
∑
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