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1、 2、 向量积： c= a b 大小： a b sin ，方向： a,b, c 符合右手规则1） a a = 02） a / b a b = 0r r r i j ka b = xbxay azby bz运算律：反交换律 b a = -a b（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： S : f （x, y, z） = 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f （ y, z） = 0 ，绕 y 轴旋转一周： f （ y, ） = 0绕 z 轴旋转一周： f （ , z） = 03、 柱面：F （x, y） = 0 表示母线平行于 z4、 二次曲面轴，准线为F （x, y） = 0z =

2、0 的柱面x21）椭圆锥面： a2+y2 b2= z 22）椭球面：旋转椭球面：+y2 a2z 2+ = 1c2+ z 2 =c2 13）单叶双曲面：y2 z 2b2 - c2 = 14）双叶双曲面：5）椭圆抛物面：- b2 - =+y2b2 = zx2 y26）双曲抛物面（马鞍面）：-7）椭圆柱面：8）双曲柱面：9）抛物柱面： x2y2b2- y2 = ay（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程： F （x, y, z） = 0G（x, y, z） = 0x =2、 参数方程： y =z =x（t）y（t）z（t）x，如螺旋线： yz= a cos t= a sin t= bt3、 空间曲线

3、在坐标面上的投影F （x, y, z） = 0 H （x, y） = 0G（x, y, z） = 0，消去 z ，得到曲线在面 xoy 上的投影z = 0（五） 平面及其方程1、 点法式方程： A（x - x0 ） + B（ y - y0 ） + C（z - z0 ） = 0n法向量： = （ A, B,C） ，过点 （x0 , y0 , z0 ）2、 一般式方程： Ax + By + Cz + D = 0截距式方程： x +y + z = 1b c3、 两平面的夹角： n= （ A , B ,C ） ， n = （ A , B ,C ） ，cos =1 1 1 1 2 2 2 21 2 A1

4、A2 + B1B2 + C1C2 = 0 / A1 = B1= C11 22 2 24、 点 P0（x0 , y0 , z0 ） 到平面 Ax + By + Cz + Dd =（六） 空间直线及其方程= 0 的距离：1、 一般式方程： A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0x - x02、 对称式（点向式）方程： m= y - y0= z - z0ps方向向量： = （m, n, p） ，过点 （x0, y0, z0 ）x = x0 + mt3、 参数式方程：y0 + ntz = z0 + pt 4、 两直线的夹角： s= （

5、m , n , p ） ， s = （m , n , p ） ，L1 L2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0L1 / L2 m1 = n1 = p1 m2 n2 p25、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，sin =L / Am + Bn + Cp = 0L A = B = Cm n p第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数： z = f （x, y） ，图形：3、 极限： lim（ x, y ）（ x0 , y0 ）4、 连续：5、 偏导数：f （x

6、, y） = Af （x, y） = f （x0 , y0 ）f x （x0, y0） = limx0f （ x0 + x, y0 ） -xf （ x0 , y0 ）f y （x0 y 0f （x0 , y0 + y） -yf （x0 , y0 ）6、 方向导数： f = f cos + f cos 其中 , 为 l 的方向角。 l x y7 z = f （x, y） ， 则 gradf （x , y ） = f （x , y + f （x , y 、 梯度：z = f （x, y） dz =0 zdx +）i0zdyy 0 0 ） j 。8、 全微分：设 ，则（二） 性质x y1、 函数可微

7、，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1）定义： u x2）复合函数求导：链式法则 z若 z = f （u, v）, u = u（x, y）, v = v（x, y） ，则 v yz = z u + z v ， z = z u + z vx u x v x y u y v y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1）无条件极值：求函数 z = f （x, y） 的极值f = 0解方程组 f x = 0 y求出所有驻点，对于每一个驻点（x0） ，令A = f xx （x0 , y

8、0 ） ， B = f xy （x0 , y0 ） ， C = f yy （x0 , y0 ） ， 若 AC - B2 0 ， A 0 ，函数有极小值， 若 AC - B2 0 ， A 0 ，函数有极大值； 若 AC - B2 0 ，函数没有极值； 若 AC - B2 = 0 ，不定。2）条件极值：求函数 z = f （x, y） 在条件 （x, y） = 0 下的极值令： L（x, y） = f （x, y） + （x, y） Lagrange 函 数Lx = 0解方程组Ly = 0 （x, y） = 02、 几何应用1）曲线的切线与法平面x = x（t）曲线:y（t） ，则 上一点 M （

9、x0 , y0 , z0 ） （对应参数为t0 ）处的z = z（t）x - x0 = y - y0 = z - z0切线方程为： x（t0 ） y（t0 ） z（t0 ）法平面方程为：（t0 ）（x - x0 ） +2）曲面的切平面与法线y（t0 ）（y - y0 ） + z（t0 ）（z - z0 ） = 0曲面 : F （x, y, z） = 0 ，则 上一点 M （x0 , y0 , z0 ） 处的切平面方程为：Fx （x0 , y0 , z0 ）（x - x0 ） + Fy （x0 , y0 , z0 ）（ y - y0 ） + Fz （x0 , y0 , z0 ）（z - z0 ）

10、 = 0法线方程为： Fx （x0 , y0 , z0 ） Fy （x0 , y0 , z0 ） Fz （x0 , y0 , z0 ）第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义： f （x, y） d = lim nf （ , ） k k k 0D k =12、 性质：（6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1）直角坐标D = （x, y） 1（x） y 2 （x） a x b ， f （x, y）dxdy = b dx 2 （ x） f （x,y） d ya 1 （ x）DD = （x, y） 1（ y） x 2 （ y） c y d ，f （x, y）dxdy = d dy 2

11、 （ y ） f （x,y） d xc 1 （ y ）2）极坐标D = （ , ） 1 （ ） 2 （ ） f （x, y）dxdy = d 2 （ ）1 （ ）f （ cos , sin ） d （二） 三重积分3、 计算：f （x, y, z） d v = lim 0 k =1f （ k , k , k ）vkz2 （ x, y ） f （ x, y, z） d v = D d xd yz （ x, y ） f （x, y, z） d z “先一后二” = a Df （x, y, z） d v d z f （x, y, z） d x d y “先二后一”Z2）柱面坐标x = cos y =

12、 sin z = z3）球面坐标， f （x, y, z） d v = f （ cos , sin , z） d d dzx = r sin cos y = r sin sin z = r cos f （x, y, z） d v = f （r sin cos , r sin sin , r cos ）r 2 sin drd d 曲面 S : z =A = Df （x, y） , （x, y） D 的面积：d x d y第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分f （x, y）ds = lim nf （ , ） sLi i ii=11） L f （x, y） + （x, y）ds =

13、L f （x, y）ds + L g（x, y）ds.L f （x, y）ds = Lf （x, y）ds + Lf （x, y）ds. （L = L1 + L2 ）.3）在 L 上，若f （x, y） g（x, y） ， 则L f （x, y）ds L g（x, y）ds.4）L ds = l （ l 为曲线弧 L 的长度）x = （t）,（ t ），设 f （x, y） 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为 y = （t）,其中 （t）, （t）在 , 上具有一阶连续导数，且 2（t ） + 2 （t ） 0 ，则L f （x, y）ds = f （t）, （t）, （ m 时，un kvn ，而vn 收敛，则un 收敛；若存在正整数 m ，当 n un kvn ，而vn 发散，则un 发散.lim un = l5）比较法的极限形式：