中考数学二次函数压轴题含答案精品文档.docx

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中考数学二次函数压轴题含答案精品文档

2017年中考数学冲刺复习资料:

二次函数压轴题

面积类

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在

（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？

若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

考点：

二次函数综合题．

专题：

压轴题；数形结合．

分析：

（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．

（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：

S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在

（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．

解答：

解：

（1）设抛物线的解析式为：

y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：

y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：

y=kx+b，则有：

，

解得；

故直线BC的解析式：

y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，

∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

考点：

二次函数综合题．.

专题：

压轴题；转化思想．

分析：

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．

解答：

解：

（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：

a=；

∴抛物线的解析式为：

y=x2﹣x﹣2．

（2）由

（1）的函数解析式可求得：

A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：

OC2=OA•OB，又：

OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：

∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：

（，0）．

（3）已求得：

B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：

y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：

y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即：

x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直线l：

y=x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：

即M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

平行四边形类

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.

专题：

压轴题；存在型．

分析：

（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：

把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到

当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；

（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：

当P在第四象限：

PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：

PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：

PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．

解答：

解：

（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，

所以直线AB的解析式是y=x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），

因为p在第四象限，

所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，

则S△ABM=S△BPM+S△APM==．

（3）存在，理由如下：

∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，

①当P在第四象限：

PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．

②当P在第一象限：

PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；

③当P在第三象限：

PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．

所以P点的横坐标是或．

4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？

若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？

并写出四边形PB′A′B的两条性质．

考点：

二次函数综合题．.

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；

（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．

解答：

解：

（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，

又A（0，1），B（2，0），O（0，0），

∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．

方法一：

设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c（a≠0），

∵抛物线经过点A′、B′、B，

∴，解得：

，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

方法二：

∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），

设抛物线的解析式为：

y=a（x+1）（x﹣2）

将B′（0，2）代入得出：

2=a（0+1）（0﹣2），

解得：

a=﹣1，

故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；

（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．

连接PB，PO，PB′，

∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，

=×1×2+×2×x+×2×y，

=x+（﹣x2+x+2）+1，

=﹣x2+2x+3．

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：

×1×2=1，

假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则

4=﹣x2+2x+3，

即x2﹣2x+1=0，

解得：

x1=x2=1，

此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．

∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；

③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

或用符号表示：

①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：

y=x﹣5上．

（1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．.

专题：

压轴题；分类讨论．

分析：

（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．

（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．

（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①ADPB、②ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．

解答：

解：

（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，

∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，

BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．

由题意知：

直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）

∴OE=OF=5，

又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，