特殊四边形解题技巧7篇Word格式文档下载.docx

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∴△ABF≌△CDE，（SAS）

∴AF＝CE．

同理可证得AE＝CF．

∴四边形AECF是平行四边形．

【分析二】要证四边形AECF是平行四边形，由△ABF≌△CDE可得∠AFB＝∠CED，AF＝CE，从而得到∠AFE＝∠CEF，所以AF∥CE，可由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”

证明：

证△ABF≌△CDE（同分析一）

∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，

∴∠AFE＝∠CEF，

∴AF∥CE，

【分析三】已知BD是平行四边形ABCD的对角线，并且要证的四边形AECF的对角线也在BD上，故可想到连结对角线AC（如图3），并且AC是两个四边形的公共对角线，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”也可证得．

连结AC交BD于O．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴BF－OB＝DE－OD，即OF＝OE，

点评：

本例以上各种方法，应细心体会，看看哪种方法好，同时也请思考一下，还有没有其它的方法．

例3．已知，如图3，在□ABCD中，AE，CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：

四边形EAFC是平行四边形．

【分析】本题已知中含有角的平分线，可以从“两角分别相等的四边形是平行四边形”来考虑．

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以∠DAB＝∠BCD，AB//CD，

又∠1＝

∠BAD，∠2＝

∠BCD，所以∠1＝∠2，

因为AB//CD，所以∠3＝∠1，∠4＝∠2，

所以∠3＝∠4，所以∠5＝∠6，

所以四边形AECF是平行四边形．

因平行四边形的判定方法常常不惟一，而矩形、菱形、正方形又都是特殊的平行四边形，因此它们的判定也就显得相当灵活，不能光背几个概念、定理，这样解题时弄不好就容易出错．下面给大家介绍两种判定特殊平行四边形的方法．

一、分层判定法

所谓分层判定法，就是在判定一个四边形为何种特殊平行四边形时，分层进行．即先判定是否为平行四边形，再判定是否是矩形、菱形、正方形．

而判定一个四边形是平行四边形有下列四条途径：

（1）若已知一组对边平行，则可找另一组对边平行，或证已知这组对边相等；

（2）若已知一组对边相等，则可找另一组对边相等，或证已知这组对边平行；

（3）若已知一组对角相等，则可找另一组对角相等；

（4）若已知两条对角线，则可证这两条对角线互相平分．

例1．（2007年江西省中考题）如图1，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点

，

与

相交于点

．

（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；

（2）选择

（1）中的一个结论加以证明．

图1

析解：

（1）矩形ABDE，矩形BCEF；

或菱形BNEM；

或直角梯形BDEM，AENB等．

（2）选择四边形BNEM是菱形．

∵ABCDEF是正六边形，

∴∠AFE＝∠FAB＝120°

，∴∠EAF＝30°

∴∠EAB＝∠FAB－∠FAE＝90°

同理可证：

∠FBC＝∠ECB＝90°

，∠EAB＝∠ABD＝90°

∴BM∥NE，BN∥ME．

∴四边形BNEM是平行四边形．——（第一层：

先证平行四边形）

∵BC＝DE，∠CBD＝∠DEN＝30°

，∠BNC＝∠END，

∴△BCN≌△EDN．

∴BN＝NE．

∴四边形BNEM是菱形．——（第二层：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

【点评】这种分层判定法具有思路清晰，条理清楚的优点，可帮助克服证特殊平行四边形的盲目性．

二、一次性判定法

所谓一次判定法，就是从任意四边形出发，根据有关结论，直接证明该四边形是某特殊四边形．

概括起来，用一次判定法判定四边形为矩形、菱形、正方形有如下方法：

（1）矩形：

有三个角是直角的四边形或四边形两对角线相等且互相平分；

（2）菱形：

四条边相等的四边形或四边形的两条对角线互相垂直平分；

（3）正方形：

四边形的两条对角线相等，且互相垂直平分．

例如例2．

（2）选择ABDE是矩形．

同理可证∠ABD＝∠BDE＝90°

∴四边形ABDE是矩形．（有三个角是直角的四边形是矩形）

中考中四边形的开放性试题频频出现，这类题常常一因多果，或一果多因，一题多解来考察或培养学生的发散思维能力或创新思维能力．本文选几例特殊四边形的开放型题供大家赏析．

一、条件开放型

这类问题条件不完备或满足结论的条件不唯一，要求解答时发现内部联系，补充使结论成立的某些条件，便以培养我们逆向思维的能力．

例1．如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。

【析解】根据三角形的中位线的性质及菱形判定条件：

可添AD＝BC，或四边形ABCD为等腰梯形等．注意添加一个条件即可．

二、结论开放型

这类问题是在给定条件下，从不同角度观察、分析得出不同的结论，便以考查学生发散思维能力．

例2．如图2，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．

图2

【分析】本题是一道结论开放探索型试题，涉及三角形中位线及特殊四边形的有关特征，以及培养学生动手操作的能力．

解：

平行四边形、矩形、等腰梯形（如图3、4、5三种中任选一种均可）．

图3图4图5

三、方案设计开放型

例3．如图6，有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植，试设计两种方案，并给予合理的解释.

【分析】本题是一道方案设计型作图题，也是一道开放型作图题，作法不止一种.将梯形分割为两部分的形状不限.

设梯形的上、下底分别为a、b，高为h.

下面给出三种方案：

方案一：

如图7，连结梯形的上、下底的中点E，F，

则S四边形ABFE=S四边形EFCD=

.

方案二：

如图8，分别量出梯形的上、下底a、b的长，图6

在下底BC上截取BE=

，连结AE，则S△ABE=S四边形AECD=

.

方案三：

如图9，连结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形面积ABCD面积的一半.

因为AE=EC，所以S△AEB=S△EBC，S△AED=S△ECD，

所以S△AEB+S△AED=S△EBC+S△ECD，所以图中阴影部分的面积等于梯形面积的一半.

图7图8图9

我们常常把平行四边形的性质和判定方法相结合，来解决四边形中的综合题或计算题，现以举两例分析,希望对同学们的学习有所帮助.

例1．已知：

如图1，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.

（1）△ADF≌△CBE；

（2）EB∥DF.

分析：

运用平行四边形的性质导出∠DAF＝∠BCE，从而证明△ADF≌△CBE,进而证明∠DFA＝∠BEC,所以得到DF∥EB.

（1）∵AE＝CF,

∴AE＋EF＝CF＋FE即AF＝CE

又ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC.

∴∠DAF＝∠BCE.

在△ADF与△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS）.

（2）∵△ADF≌△CBE,

∴∠DFA＝∠BEC.

∴DF∥EB.

要证明线段相等、角相等时，我们常利用已知中的平行四边形的性质来寻找相等的角或边．

例2．已知：

如图2，AB∥EF∥GH，BE＝GC．

AB＝EF＋GH．

【分析】证AB＝EF＋GH，一般应想到利用截长补短的方法去证。

过E作EN∥AC交AB于N，则四边形ANEF为平得四边形，∠NEB＝∠C，

∴AN＝EF（平行四边形对边相等）．

∵AB∥GH，∴∠B＝∠HGC．

又∵∠NEB＝∠C，BE＝GC，

∴△NBE≌△HGC，∴GH＝NB．

∵AB＝AN＋BN，∴AB＝EF＋GH．

当已知中有平行关系时，常引平行线构造平行四边形，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再利用平行四边形对边相等，对角相等来转移边、角，从而把分散条件集中。

5、特殊平行四边形判定问题例析

一、矩形的判定

例1．如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）．

方案如下：

①用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB＝CD，且AD＝BC时，四边形ABCD为平行四边形；

否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．

②当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；

否则四边形ABCD不是矩形．　

【点评】本题以实际问题情景为背景，考查了矩形的判定方法。

解题过程中的第一步考查了两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

第二步检测了四边形的对角线是否相等，考查了对角线相等的平行四边形是矩形。

二、菱形的判定

如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。

四边形AFCE是菱形.

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴∠DAC=∠BCA

∵EF垂直平分AC

∴AO＝CO　AE＝EC　　AF＝CF

∵∠AOC＝∠COF

∴△AOE≌△COF

∴AE＝CF

∴AE＝EC＝AF＝CF

∴四边形AFCE是菱形

【点评】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，同学考查了菱形的判定。

上面的证明用了四边相等的四边形是菱形这种判定方法，解题时也可以先证四边形AFCE是平行四边形，再说明有一组邻边相等证得结论。

三、正方形的判定

例3．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_____________________．　

因为

，所以四边形ABCD是菱形。

根据正方形的判定方法，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，因此要使它成为正方形，添加的条件只需使它成为矩形，所以添加的条件可以是

或

……等等。

【点评】本题是考查正方形、菱形、矩形等特殊四边形的判定的开放性试题，根据同学们对特殊四边形的判定方法的掌握，从不同的角度出发，会有不同的答案。

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。

于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点．下面根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的“口诀”．

梯形问题中，转化最重要；

平移梯形腰，平移对角线；

作出梯形高，延长两腰来相交；

中位线要想到，一腰中点等积变．

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．

等腰梯形中，平移一腰可得平行四边形和等腰三角形．

过A作AE∥CD，交BC于E，则四边形AECD为平行四边形；

∴AD＝EC，CD＝AE；

∵AB＝CD＝4，AD＝3，BC＝7；

∴BE＝AE＝AB＝4；

∴△ABE为等边三角形，∴∠B＝60°

例2．如图2，已知：

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求：

DE的长．

由等腰梯形知：

AC＝BD，又AC⊥BD，AD＋BC＝10，如过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则△BDF为等腰直角三角形，BF＝BC＋AD＝2DE．

过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，

∴AC＝DF，AD＝CF；

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AC＝DB，∴BD＝FD；

∵DE⊥BC；

∴BE＝EF＝

BF＝

（BC＋CF）＝

（BC＋AD）＝

×

10＝5；

∵AC∥DF，BD⊥AC，∴BD⊥DF；

∵BE＝FE，∴DE＝BE＝EF＝

BF＝5．

答：

DE的长为5．

注意：

当有对角线相等或垂直时，常作梯形的对角线的平行线，构造平行四边形，等腰三角形或直角三角形．

例3.已知，如图3，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，求证：

梯形ABCD为轴对称图形。

图3

延长BA、CD交于点E，过点E作EG⊥BC，交BC于G，交AD于F，

∵AB＝DC，∴∠B＝∠C。

又∵AD//BC，∴∠1＝∠2，

∵EG⊥BC，∴EF⊥AD，即EG垂直平分AD、BC。

∵AB＝DC，∠B＝∠C，

∴梯形ABCD关于EG对称，

所以梯形ABCD为轴对称图形。

例4.如图4，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，

（1）MN//BC；

（2）MN＝

（BC＋AD）．

图4

连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为DN＝CN，∠1＝∠2，∠D＝∠3，

所以△AND≌△ECN

所以AN＝EN，AD＝CE

又AM＝MB，

所以MN是△ABE的中位线，所以MN//BC，MN＝

BE，

因为BE＝BC＋CE＝BC＋AD，

所以MN＝

一些几何问题，若能根据题目所给条件，恰当地添补成特殊的四边形，往往可收到事半功倍的解题效果．下面略举几例．

一、补成平行四边形

例1．如图1，六边形ABCDEF的六个内角相等，且AB＋BC＝11，AF－CD＝3，求BC＋DE的值．

由六边形ABCDEF的六个内角相等，得六边形ABCDEF的内角都是120°

．想到延长FA、CB交于P点，延长CD、FE交于Q点，则△ABP、△DEQ是等边三角形，于是四边形CQFP是平行四边形，

于是有PA＋AF＝CD＋DQ，

所以

又

又AB＋BC＝11，

所以BC＋DE＝14．

二、补成菱形

例2．如图2，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝120°

，EA＝AB＝BC＝5，CD＝DE＝10．

求

由五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝120°

，及一些线段相等，想到延长EA，CB将其补成一个四边形．

延长EA、CB交于F点．由∠A＝∠B＝120°

易得△ABF是等边三角形，

所以四边形CDEF是菱形，

故

＝

三、补成正方形

例3．如图3，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°

，D为AC的中点，过C作直线与BD垂直交AB于点E．求证：

∠ADE＝∠CDB．

分析:

因△ACB为等腰直角三角形，故想到把它补成一个正方形．

如图3，作正方形ACBM，延长CE交AM于G，易证Rt△BCD≌Rt△CAG（ASA）．

于是有∠BDC＝∠CGA，CD＝AG＝AD．

又∠1＝∠2＝45°

，AE＝AE．

∴△ADE≌△AGE，

∴∠AGE＝∠ADE，

故∠ADE＝∠CDB．

四、补成梯形

例4．如图4所示，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝124°

，∠E＝80°

，求∠AFE的度数.

已知条件中有CD∥AF，我们不能用此关系直接求角，我们可想到延长CB、FA和DE、AF构成一个梯形，根据两底的平行关系进行求解.

延长CB、FA交于点M，延长DE、AF交于点N，则由已知可得四边形CMND为梯形.

　　∴∠M＝180°

－∠C＝180°

－124°

＝56°

　　∴∠BAF＝∠M＋∠ABM＝56°

＋90°

＝146°

　　∴∠CDE＝∠BAF＝146°

　　∴∠N＝180°

－∠CDE＝34°

　　∴∠AFE＝∠N＋∠FEN＝∠N＋（180°

－∠DEF）＝34°

＋（180°

－80°

）＝134°