高二数学第一单元教案排列与组合文档格式.docx
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2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数;
在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子?
3.题2的变形
4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
小结：
要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步?
分类时用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1.（口答）一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法?
2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法?
3.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项?
4.从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通;
从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法?
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法?
作业：
排列
【复习基本原理】
1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+mn
种不同的方法.
2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m1m2m3mn
3.两个原理的区别：
【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票?
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数?
请一一列出.
【基本概念】
1.什么叫排列?
从n个不同元素中，任取m（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
2.什么叫不同的排列?
元素和顺序至少有一个不同.
3.什么叫相同的排列?
元素和顺序都相同的排列.
4.什么叫一个排列?
【例题与练习】
1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?
2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列;
②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1.定义：
从n个不同元素中，任取m（）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2.排列数公式：
=n（n-1）（n-2）（n-m+1）
计算：
=;
【课后检测】
1.写出：
①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列;
②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
2.计算：
①②③④排列
一、复习：
（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
1.排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题;
2.排列数的定义，排列数的计算公式
或（其中mnm,nZ）
3.全排列、阶乘的意义;
规定0!
=1
4.分类、分步思想在排列问题中的应用.
二、新授：
例1：
⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法?
问题可以看作：
7个元素的全排列=5040
⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法?
根据分步计数原理：
7654321=7!
=5040
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?
余下的6个元素的全排列=720
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
第一步甲、乙站在两端有种;
第二步余下的5名同学进行全排列有种则共有=240种排列方法
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一（直接法）：
第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法;
第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法所以一共有=2400种排列方法.
解法二：
（排除法）若甲站在排头有种方法;
若乙站在排尾有种方法;
若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法.所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有-+=2400种.
小结一：
对于在与不在的问题，常常使用直接法或排除法，对某些特殊元素可以优先考虑.
例2：
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
先将甲、乙两位同学捆绑在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法;
再将甲、乙两个同学松绑进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=1440
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
方法同上，一共有=720种.
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
解法一：
将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法;
将剩下的4个元素进行全排列有种方法;
最后将甲、乙两个同学松绑进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=960种方法.
将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法.
解法三：
将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学松绑，所以这样的排法一共有=960种方法.
小结二：
对于相邻问题，常用捆绑法（先捆后松）.
例3：
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
（排除法）解法二：
（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为空吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法.
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个空，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个空有种方法，所以一共有=1440种.
小结三：
对于不相邻问题，常用插空法（特殊元素后考虑）.
三、小结：
1.对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）;
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）;
2.基本的解题方法：
⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）;
⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为捆绑法
⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为插空法
⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基.
四、作业：
《课课练》之排列课时13
课题：
排列的简单应用
（2）
目的：
使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解.
过程：
1.排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式;
2.常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置优限法;
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）捆绑法;
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）插空法.
3.分类、分布思想的应用.
示例一：
从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法?
（从特殊位置考虑）解法二：
（从特殊元素考虑）若选：
若不选：
则共有+=136080
（间接法）136080
示例二：
⑴八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法?
略解：
甲、乙排在前排;
丙排在后排;
其余进行全排列.
所以一共有=5760种方法.
⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中a,b两种商品必须排在一起，而c,d两种商品不排在一起,则不同的排法共有多少种?
（捆绑法和插空法的综合应用）a,b捆在一起与e进行排列有;
此时留下三个空，将c,d两种商品排进去一共有;
最后将a,b松绑有.所以一共有=24种方法.
⑶6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种?
（分类）若第一个为老师则有;
若第一个为学生则有
所以一共有2=72种方法.
示例三：
⑴由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数?
⑵由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数?
分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有种方法;
另一类是首位不为1，有种方法.所以一共有个数比13000大.
（排除法）比13000小的正整数有个，所以比13000大的正整数有=114个.
示例四：
用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列.
⑴第114个数是多少?
⑵3796是第几个数?
⑴因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应该是3，十位数字是1即31开头的四位数有个;
同理，以36、37、38开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是39,而3968排在第6个位置上，所以3968是第114个数.
⑵由上可知37开头的数的前面有60+12+12=84个，而3796在37开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数.
示例五：
用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴能被25整除的数有多少个?
⑵十位数字比个位数字大的有多少个?
⑴能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有+=21个.
注：
能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况.
⑵用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有个.因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是等可能的，所以十位数字比个位数字大的有个.
能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性.
3+X之排列练习
组合⑴
组合、组合数的概念
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式.
一、复习、引入：
1.复习排列的有关内容：
定义特点相同排列公式
排列
以上由学生口答.
2.提出问题：
示例1：
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法?
示例2：
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法?
引导观察：
示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序排列，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的.
引出课题：
组合问题.
1.组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
1.不同元素2.只取不排无序性3.相同组合：
元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览;
（组合）
⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记.（排列）
2.组合数的概念：
从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.
例如：
示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：
甲乙，甲丙，乙丙.即有种组合.
又如：
从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：
AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：
在讲解时一定要让学生去分析：
要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算呢?
3.组合数公式的推导
⑴提问：
从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢?
启发：
由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：
组合排列
由此可知：
每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：
①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个;
②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法.由分步计数原理得：
=，所以：
.
⑵推广：
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：
①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;
②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：
=⑶组合数的公式：
或⑷巩固练习：
1.计算：
⑴⑵2.求证：
3.设求的值.
由题意可得：
即：
24
∵x=2或3或4
当x=2时原式值为7;
当x=3时原式值为7;
当x=2时原式值为11.
所求值为4或7或11.
4.例题讲评
例1.6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分
法?
例2.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种?
（直接法）小组构成有三种情形：
3男，2男1女，1男2女，分别有，，，所以一共有++=100种方法.
（间接法）5.学生练习：
（课本99练习）
定义特点相同组合公式
组合
此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理.
课堂作业：
教学与测试75课
课外作业：
课课练课时7和8
组合⑵
组合的简单应用及组合数的两个性质
深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式;
掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题.
一、复习回顾：
1.复习排列和组合的有关内容：
强调：
排列次序性;
组合无序性.
2.练习一：
练习1：
求证：
.（本式也可变形为：
）
练习2：
①和;
②与;
③答案：
①120，120②20，20③792
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础.）
3.练习二：
⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?
答案：
⑴（组合问题）⑵（排列问题）
1.组合数的性质1：
理解：
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素.因
为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：
.在这里，我们主要体现：
取法与剩法是一一对应的思想.
证明：
∵又注：
1我们规定2等式特点：
等式两边下标同，上标之和等于下标.
3此性质作用：
当时，计算可变为计算，能够使运算简化.
===2019.
4或2.示例一：
（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法?
⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法?
⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法?
⑴⑵⑶引导学生发现：
.为什么呢?
我们可以这样解释：
从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：
一类含有1个黑球，一类不含有黑球.因此根据分类计数原理，上述等式成立.
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：
一类含有元素，一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m-1个元素与组成的，共有个;
不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个.根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质.在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，含与不含其元素的分类思想.
3.组合数的性质2：
=+.
1公式特征：
下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数.
2此性质的作用：
恒等变形，简化运算.在今后学习二项式定理时，我们会看到它的主要应用.
4.示例二：
⑴计算：
⑵求证：
=++⑶解方程：
⑷解方程：
⑸计算：
和推广：
5.组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：
⑴（讲解）⑵（练习）⑶6.处理《教学与测试》76课例题
1.组合数的两个性质;
2.从特殊到一般的归纳思想.
课堂作业：
《教学与测试》76课
课本习题10.3;
课课练课时9
组合⑶
组合、组合数的综合应用⑴
进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力.
一、知识复习：
依然强调：
2.排列数、组合数的公式及有关性质
性质1：
性质2：
=+常用的等式：
3.练习：
处理《教学与测试》76课例题
二、例题评讲：
例1.100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查.
⑴都不是次品的取法有多少种?
⑵至少有1件次品的取法有多少种?
⑶不都是次品的取法有多少种?
⑴;
例2.从编号为1，2，3，，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法?
分为三类：
1奇4偶有;
3奇2偶有;
5奇1偶有所以一共有++.
例3.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作;
有4名青年能胜任德语翻
译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法?
我们可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有;
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有;
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有.
所以一共有++=42种方法.
例4.甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表?
分为两类：
一类为甲不值周一，也不值周六，有;
另一类为甲不值周一，但值周六，有.所以一共有+=42种方法.
例5.6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法?
第一步从6本不同的书中任取2本捆绑在一起看成一个元素有种方法;
第二步将5个不同元素（书）分给5个人有种方法.根据分步计数原理，一共有=1800种方法.
变题1：
6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法?
变题2：
5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法?
变题3：
5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法?
1.;
2.;
3..
1.组合的定义，组合数的公式及其两个性质;
2.组合的应用：
分清是否要排序.
《3+X》组合基础训练
《课课练》课时10组合四
组合⑷
组合
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