汇总一元二次方程变形公式Word下载.docx
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3.（2016-四川自贡）已知关于X的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，则m的取值范
围是（）
A.m>
lB.m<
lC.m>
lD.m<
l
【考点】根的判别式.
【专题】探究型.
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，可知△20,从而可以求得
m的取值范用.
•.•关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，
/.A=b2-4ac=22-4x1x（-（m-2）]>
0,
解得m>
l,
故选C.
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△R・
4.（2016-新疆）一元二次方程x2-6x-5=0配方组可变形为（）
A.（x-3）2=14B.（x-3）2=4C.（x+3）2=14D.（x+3）2=4
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32,这样方程左边就为完全平方式.
x2-6x-5=0,
x2-6x=5,
x2-6x+9=5+9,
（x-3）2=14,
A.
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（aHO）:
先把二次系数变为1，即
方程两边除以a,然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半.
5.（2016-云南）一元二次方程x2-3x-2=0的两根为xi，x2,则下列结论正确的是（）
A.xj=-1,X2=2B.Xj=l,X2=-2C.xi+X2=3D.xp<
2=2
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系找出"
X1+X2二-*X*:
-2"
再结合四个选项即可得岀结论.
•・•方程x2-3x-2=o的两根为xi，X2,
X]+X2=-仆3,x1*x2=|・・・c选项正确.
故选C・
【点评】本题考査了根与系数的关系，解题的关键是找岀Xl+X2=3,X1*X2=-2.本题属于基础题,难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找岀两根之和与两根之积是关键.
的两个非负实数根为、
6.（2016-四川乐山・3分）若为实数，关于的方程
的最小值是
答案:
A
解析：
依题意，得:
a
又，得
所以，当=2时,
有最小值一15。
7.（2016-四川凉山州・4分）已知xi、X2是一元二次方程3x2=6-2x的两根,则xi-xix2+x2的值是（）
A•匚HC.Qd.[]
【分析】由XI、X2是一元二次方程3x2=6-2X的两根，结合根与系数的关系可得出X1+X2—J
X1*X2=-2,将其代入XI-X1X2+X2中即可算出结果.
・.・xi、X2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，
•・"
+妒一&
一口Xi.^-2,
/.XI-X］X2+X2=-（-2）=Q.
故选D.
8.（2016-四川凉山州・4分）已知，一元二次方程x2-8x+15=0的两根分别是00】和OO?
的半径，当。
0］和002相切时，022的长度是（）
A.2B.8C.2或8D.2<
O2O2<
8
【考点】圆与圆的位置关系：
根与系数的关系.
【分析】先解方程求出001、002的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解.
・.・G）O1、002的半径分别是方程x2-8x+15=0的两根，
解得001、002的半径分别是3和5.
•••①当两圆外切时，圆心距oiO2=3+5=8：
②当两圆内切时，圆心距602=5-2=2.
9.（2016•广东广州）立义新运算,
>
若a、b是方程
两根，则的值为（）
A、0B、1C、2
［难易］中等
［考点］新定义运算，一元二次方程
D、与m有关
［解析］
因为a,b为方程
的两根，所以
，同理
，代入上式得原式=
［参考答案］A
10.（2016•广东深圳）给岀一种运算：
对于函数y=0,规建y7=nx"
】。
例如：
若函数y=/,
则Wy7=4%30已知函数y=P,贝I］方程y'
=12的解是（）
A.xx=4,x2=—4B・％］=2,x2=—2
C.%i=x2=0D.%!
=2y/3,x2=—2\/3
答案：
B
考点：
学习新知识，应用新知识解决问题的能力。
依题意，当y=x3时，,解得：
X1=2,x2=-2
11.（2016年浙江省丽水市）下列一元二次方程没有实数根的是（）
A、x2+2x+1=0B.x2+x+2=0C.x2-1=0D.x2-2x-1=0
【分析】求岀每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作岀判断.
A、13=22-4xlxl=0,方程有两个相等实数根，此选项错误：
B、0=12-4x1x2=-7<
0,方程没有实数根，此选项正确：
C、［21=0-4xlx（-1）=4>
0,方程有两个不等的实数根，此选项错误：
D、匪（-2）2-4xlx（-1）=8>
0,方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：
12.（2016年浙江省衞州市）已知关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个不相等的实数根，
则实数k的取值范围是（）
A.k>
lB.k>
lC.k>
-ID.k>
-1
【考点】一元二次方程根的分布.
【分析】根据判别式的意义得到丽（-2）2+4k>
0,然后解不等式即可.
目关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个不相等的实数根，
亞=（-2）2+4k>
解得k>
-1.
13.（2016年浙江省台州市）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一
场，则下列方程中符合题意的是（）
A.打x（x-1）=45B.口x（x+1）=45C.x（x-1）=45D.x（x+1）=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】先列岀x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛\（x-1）场，再根据题意
列出方程为x（X-1）=45.
目有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场,回共比赛场数为*（X-1）,
回共比赛了45场，
s
Ek（x-1）=45,
故选A.
14.（2016-山东烟台）若x「X2是一元二次方程x2-2x-*0的两个根，则x"
-x】+X2的值为（）
A.-1B.0C.2D.3
【分析】由根与系数的关系得出"
X1+X2=2,X1*X2=-r,将代数式X!
2-x1+x2变形为X!
2-2x2-
1+X1+1+X2,套入数据即可得岀结论.
匪1，X2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，
X12-X1+X2=X12-2X1-1+Xi+1+X2=1+Xi+X2=1+2=3.故选D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:
设方程的里一个根为b,根据一元二次方程根与系数的关系可得-2+b二-3,解得b=-l,故答案选B.
一元二次方程根与系数的关系.
16.（2016-山东枣庄）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则
一次函数的图象可能是
点：
根的判别式：
一次函数的性质.
27.（2016.山东省青岛市,3分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表:
X
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
-13.75
-8.04
・2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据，估计方程（X+8）2-826=0的一个正数解X的大致范围为（）
A.20.5<
x<
20.6B.20.6<
20.7C.20.7<
20.8D.20.8<
【考点】估算一元二次方程的近似解.
【分析】根据表格中的数据，可以知道（x+8）2-826的值，从而可以判断当（x+8）2-826=0时，x的所在的范围，本题得以解决.
由表格可知，
当x=20.7时，（x+8）2-826=-2.31,
当x=20.8时，（x+8）2-826=3.44,
故（x+8）2-826=0时,20・7VxV20・8,
18.（2016.山东省泰安市，3分）一元二次方程（x+l）2-2（x-1）2=7的根的情况是（）
A.无实数根B.有一正根一负根
C.有两个正根D.有两个负根
【分析】直接去括号，进而合并同类项，求岀方程的根即可.
0（x+1）2-2（x-1）2=7,
（Dx2+2x+1-2（x2-2x+l）=7,
整理得：
-x2+6x-8=0.
则x2-6x+8=0,
<
x-4）（x-2）=0»
解得：
xi=4,X2=2,
故方程有两个正根.。
C.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确利用完全平方公式讣算是解题关键.
19・（2016.山东省泰安市，3分）当x满足时，方程x2-2x-5=0
的根是（
B.0-1
D.1+0
A.1±
O
【分析】先求岀不等式组的解，再求出方程的解，根据范用即可确龙x的值.
解得：
2<
6,
回方程X?
・2x-5=0,0X=1+Q.
02<
6,0X=1-C.故选D.
【点评】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握不等式组以及一20.（2016.L1I东省威海市，3分）已知xi，X2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2,Xi>
x2=r则L的值是（）
【分析】根据根与系数的关系和已知X1+X2和X1・X2的值，可求a、b的值，再代入求值即可.
0X1，X2是关于X的方程x2+ax-2b=0的两实数根，0xi+x2=-a=-2»
xieX2=-2b=l>
解得a=2,b=-j
0ba=（-S2=”
21.（2016*浙江省舟山）一元二次方程2x2-3x+l=0根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】先求出回的值，再根据囹>
00方程有两个不相等的实数根：
N0Q方程有两个相等的实数：
0V0O方程没有实数根，进行判断即可.
Sa=2,b=-3,c=l,
[!
E=b2-4ac=（-3）2-4x2xl=l>
回该方程有两个不相等的实数根，
22.（2016*辽宁沈阳）一元二次方程x2-4x=12的根是（）
A.xi=2»
X2=-6B.xi=-2,X2=6C.xi=-2,X2=-6D.xi=2,X2=6
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【专题】计算题；
一次方程（组）及应用.
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.
方程整理得：
x2-4x-12=0,
分解因式得：
（x+2）（x-6）=0,
xi=-2,X2=6,
故选B
【点评】此题考査了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
23.（2016*呼和浩特）已知G2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则（m-1）2+（n-1）2的
最小值是（）
A.6B.3C.-3D.0
【考点】根与系数的关系；
二次函数的最值.
【分析】根拯已知条件得到m,n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a,mn=2,于是得到4（a-[j）2-3,当a=2时，（m-1）?
+（n-1）2有最小值,代入即可得到结论.
Vm2-2am+2=0,n2-2an+2=0>
Am,n是关于x的方程x?
-2ax+2=0的两个根，
Am+n=2a»
mn=2,
（m-1）2+（n-1）2=m2-2m+l+n2-2n+l=（m+n）2-2mn-2（m+n）+2=4a2-4-4a+2=4
（a-口）2-3,
Va>
2,
•••当a=2时，（m-1）2+（n-1）2有最小值，
（m-1）2+（n-1）2的最小值=4（a-打）2+3=4（2-Q）2-3=6,
24.（2016兰州,5,4分）一元二次方不的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根
（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根
【答案】B
【解析】根据题目，△=「1=0,判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B.
【考点】一元二次方程根的判别式
25.（2016福州，12,3分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax?
-4x+c=0—泄有实数根的
是（）
A.a>
0B.a=0C.c>
0D.c=0
【分析】根据方程有实数根可得ac<
4,且aHO,对每个选项逐一判断即可.
•••一元二次方程有实数根，
.•・△=（■4）2-4ac=16-4ac>
0t且a*0,
/.ac<
4,且a#0：
A、若a>
0,当a=i、c=5时，ac=5>
4,此选项错误：
B、a=0不符合一元二次方程的左义，此选项错误；
C、若c>
0,当沪1、c=5时，ac=5>
4,此选项错误；
D、若c=0,则ac=0<
4,此选项正确：
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△>
0Q方程有两个不相等的实数根；
（2）A=0o方程有两个相等的实数根；
（3）AV0o方程没有实数根.
26.（2016大连，7,3分）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为X,则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）
A.100（1+x）B.100（1+x）2C.100（1+x2）D.100（l+2x）
【专题】增长率问题.
【分析】设岀四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x）,五月份的产量是100（1+x）2,据此列方程即可.
若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是：
100（l+x）2,
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列岀一元二次方程.原来的数量为
a,平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到ax（l±
x）,再经过第二次调整就是ax（l±
x）（l±
x）=a（l±
x）2.增长用下降用
二、填空题
1.（2016・湖北鄂州）方程+—3二0的根是
【考点】解一元二次方程.
【分析】先移项，写成/二3,把问题转化为求3的平方根.
移项得玄二3,
开方得xfD，xf-
答案为：
“=□，x:
【点评】用直接开平方法求一元二次方程的解，要注意仔细观察方程的特点.
2.（2016•湖北十堰）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是10%•
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】设平均每次降价的百分率为x,那么第一次降价后的售价是原来的（l-x）,那么第二次降价后的售价是原来的（l-x）\根据题意列方程解答即可.
设平均每次降价的百分率为X,根据题意列方程得
100X（l-x）:
=81,
解得X1=0.1=10%,xfI.9（不符合题意,舍去）.
答：
这两次的百分率是10%.
故答案为:
10%.
【点评】本题考査一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,
变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a（l±
x）：
=b.
3.（2016•湖北咸宁）关于x的一元二次方程Y+bx+2二0有两个不相等的实数根，写出一个满
足条件的实数b的值：
b二.
【考点】一元二次方程，根的判别式.
【分析】要使一元二次方程f+bx+2二0有两个不相等的实数根，只需△=b=-4ac>
0即可.
△二$4X1X2二b:
-8
•••一元二次方程x：
+bx+2二0有两个不相等的实数根，
・\b=-8>
0Ab>
2V2.
故满足条件的实数b的值只需大于2返即可.
故答案为：
b二3（答案不唯一，满足b=>
8,即b>
2V2即可）
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式.根的判别式，即厶=b=-4ac.要熟练掌握一元二次方程ax：
+bx+c二0（aHO）的根的情况：
①△>
（）时，方程ax'
+bx+c二0（aHO）有两个不相等的实数根：
②厶=0时，方程a€+bx+c二0（aHO）有两个相等的实数根：
③厶<
0时，方程ax=+bx+c二0（aHO）无实数根。
4.（2016-新疆）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果.设该厂加工干
果重量的月平均增长率为X,根据题意可列方程为10（1+x）2刃3.
【分析】十一月份加工量=九月份加工量X（1+月平均增长率）2,耙相关数值代入即可.
设该厂加工干果重量的月平均增长率为X,
根据题意，可列方程为：
10（l+x）2=23,
10（l+x）2=13.
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为a（l±
x）2=b.
5.（2016-云南）如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为-1或2.
【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可.
•••关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
即4a2-4（a+2）=0,解得a=-l.或2.
-2或2.
【点评】本题考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键.
6.（2016-四川达州・3分）设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=_2016_.
【分析】先利用一元二次方程根的左义得到m2=-2m+2018,则m2+3m+n可化简为2018+m+n,
再根据根与系数的关系得到m+n=-2,然后利用整体代入的方法计算.
Tm为一元二次方程x2+2x-2018=0的实数根，
.\m2+2m-2018=0,即m2=-2m+201&
m2+3m+n=-2m+2018+3m+n=2018+m+n.
Tm,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，
m+n=-2,
Am2+3m+n=2018・2=2016・
7.（2016湖北襄阳，12,3分）关于x的一元二次方程x2・2x+m-"
0有两个
相等的实数根，则m的值为2.
【分析】由于关于X的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0,据此列岀关于m的方程，解答即可.
回关于x的一元二次方程x?
-2x+m-2=0有两个相等的实数根，
0I3=b2-4ac=0,
即：
22-4（m-1）=0,
m=2,
故答案为2.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式囹的关系：
（1）0>
0o方程有两个不相等的实数根；
（2）囹=00方程有两个相等的实数根；
（3）0<
0o方程没有实数根.
8.（2016吉林长春，10,3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=O有两个相等的实数根，则m
的值是1.
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0,据此
列出关于m的方程，解答即可.
•.•关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，
/.△=0,
/.22-4m=0,
m=l,
2.
【点评】本题主要考查了根的判別式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=（）,此题难度不大.
9.（2016江苏淮安，24,3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则
k=9.
【分析】根据判别式的意义得到△=62-4“xk=0,
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