离散数学下A卷和参考答案及评分标准.docx
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离散数学下A卷和参考答案及评分标准
院/系年级专业姓名学号
答题勿超装订线
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第2学期
《离散数学（下）》考试试卷（A卷）
（闭卷时间120分钟）
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
得分
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1.设I为整数集，下列系统中不是代数系统的有（）。
A.B.C.D.都不是。
2.下面的代数系统（G,*）中，（）不是群。
A.G为整数集合，*为加法；B.G为偶数集合，*为加法；
C.G为有理数集合，*为加法；D.G为有理数集合，*为乘法。
3.M2（R）=按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环,这个方阵环是（）
A.有幺元的交换环B.无幺元的非交换环
C.无幺元的交换环D.有幺元的非交换环
4.下列说法不正确的是（）
A．两个域的直接乘积是域B.有限整环是域
C．次对称群的阶是D.域只有平凡理想
5.下列整数集对于整除关系都构成偏序集，而能构成格的是（ ）
A．{l，2，3，4，6} B．{1，2，3，6，12}
C．{2，3，6} D．{l，2，3}
6．记N是自然数集，≤是小于等于关系，则是（）.
A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格
7.在布尔代数上定义的n元布尔表达式所对应的不同主析取范式总个数为（）
A．B.C.D.
8.无向图的关联矩阵中“关联”指的是（）。
A.结点与结点的关联B.边与边的关联
C.边与结点的关联D.都不是
9.设G是具有n个结点m条边，k个面的连通平面图，其中，则有（）成立。
A．B．
C．D．
10.设G是由5个结点组成的无向完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。
A．4B．5C．6D．10
得分
二、判断题（对的打√，错的打×，每小题2分，共10分）
1.若群G的每个元素都满足方程x2=e，其中e为幺元，则G为交换群。
（）
2.若群G的阶为n，d为n的一个因子，则G一定有阶为d的子群。
（）
3.如果环R满足左消去律，则R必定没有右零因子。
（）
4.设G=是无向简单图,G的极小支配集都是G的极大独立集。
（）
5.设是有10个结点的无向图，对于中任意两个不邻接的结点u和v,
均有，则是哈密尔顿图。
（）
得分
三、填空题（每小空2分，共20分）
1.设G是由12个元素构成的循环群，a是G的一个生成元素，则G有_______个非平凡子群。
G的生成元素集合是_________。
2.设是群的子群，，则的充要条件是___________________。
3.设a,b分别是群G的3阶和5阶元，且ab=ba，则ab的阶为__________。
4.整数环有__________个可逆元。
5.如果一个格中存在全上界和全下界，则这个格是________________。
6．所有模格组成的集合_________（填或）所有分配格组成的集合。
7．设是连通图，则的生成树的个数至多为____________。
8．含5个结点、3条边的不同构的无向简单图个数为________。
9．设无向图有12条边，有6个3度结点，其余结点度数均小于3，则中结点数至少为______。
得分
答题勿超装订线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
四、解答题（每小题10分，共30分）
1.给出一个含有四个四元置换的集合,其中,
在合成运算下组成的群，试求的所有正规子群，并且求关于每个正规子群的商群及各商群中的运算表。
2.设为一布尔代数，，试化简布尔表达式。
3.给定彼得森（Petersen）图如右图所示。
试求图的
支配数、点覆盖数、边覆盖数、
独立数、匹配数、点连通度、
边连通度、点色数、边色数，
以及邻接矩阵（结点与自身邻接，结点次序按字母顺序）。
答题勿超装订线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
得分
五、证明题（每小题10分，共20分）
1.设G是群，a,b是G中任意两个元素，则ab的阶与ba的阶相同。
2.设是一棵树且，证明：
中至少有个结点的度为1。
安徽大学2009—2010学年第2学期
《离散数学（下）》考试试题（A卷）参考答案及评分标准
一、单选题（每小题2分，共20分）
1.A；2.D；3.B；4.A；5.B；6.C；7.C；8.C；9.A；10.C。
二、判断题（每小题2分，共10分。
对的打√，错的打×）
1.√；2.×；3.√；4.×；5.×。
三、填空题（每小空2分，共20分）
1.4;{a,a3,a5,a7,a11};2.（或）;3.15;4.2;
5.有界格;6.;7.;8.4;9.9.
四、计算题（每小题10分，共30分）
1.解：
的正规子群有、、、、。
（5分）
的商群为，其中*运算表为：
（6分）
*
的商群为，其中*运算表为：
（7分）
*
的商群为，其中*运算表为：
（8分）
*
的商群为，其中*运算表为：
（9分）
*
的商群为，其中*运算表为：
（10分）
*
2.解：
（共10分）
＝（2分）
＝（6分）
＝（10分）
3.解:
（每空1分，共10分）
3
6
5
4
5
3
3
3
4
邻接矩阵:
最小支配集：
{b,f,e},
最小点覆盖：
{b,d,e,f,g,h},
最小边覆盖：
{（a,b）,（c,d）,（e,j）,（f,h）,（g,i）}，
最大独立集：
{b,e,h,i}，
最大匹配：
{（a,b）,（c,d）,（e,j）,（f,h）,（g,i）}，
最小点割：
{b,f,e},
最小割集：
{（a,b）,（a,f）,（a,e）}，
点正常着色：
{b,e,h,i},{a,c,j},{d,f,g}.
边正常着色：
{（a,b）,（c,d）,（e,j）,（f,h）,（g,i）},
{（b,c）,（d,e）,（a,f）,（h,j）},
{（a,e）,（f,i）,（g,j）,（c,h）},{（b,g）,（d,i）}.
五、证明题（每小题10分，共20分）
1.证：
设ab的阶等于n，即。
（2分）
于是，。
（5分）
故，得ba的阶小于等于n。
（7分）
即ba的阶小于等于ab的阶。
类似可得ab的阶小于等于ba的阶。
（9分）
于是ab的阶等于ba的阶。
（10分）
2.证：
设中有个结点，个树叶，（2分）
则中其余个结点的度数均大于等于2，（4分）
且至少有一个结点的度大于等于。
可得：
（6分）
，有。
（8分）
所以中至少有个树叶。
（10分）
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