勾股定理竞赛培训题含答案Word格式文档下载.docx
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3、如图〔，△ABC中，CDLAB于D,且BD:
ADCD=23:
4,
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S“BC=10cm2,如图2,动点M从点B岀发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A岀发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停
止•设点M运动的时间为t（秒），
1若△DMN的边与BC平行，求t的值；
2
若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？
若能，求岀t的值；
若不能，请说明理由.
4、已知，△ABC中，AC=BC/ACB=90°
D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF丄DE交直线BC于F点.G为EF的中点，延长CG交AB于点H.
（1）若E在边AC上.
1试说明DE=DF
2试说明CG=GH
（2）若AE=3,CH=5.求边AC的长.
20
5、如图①，在矩形ABCDKAB=5,AD=3,AELBD垂足是E.点F是点E关于AB的对称
点，连结AF,BF
⑵若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）•当点F分别平移到线段AB,AD上时，直接写岀相应的m的值.
⑶如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角a（0°
<
aV180°
），记旋转中的△ABF^^ABF，在旋转过程中，设AF'
所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q是否存在这样的P,Q两点，使厶DPQ为等腰三角形？
若存在，求岀此时DQ勺长；
若不存在，请说明理由.
参考答案
1、【分析】
（1）①根据旋转的特性画岀图象；
②由/ACD/BCE匀与/DCB互余可得岀/ACD=/BCE由厶ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得岀AC=BCDC=EC结合全等三角形的判定定
理SAS即可得岀厶ADC^^BEC,从而得岀AD=BE再由/BCE=ZADC=135，/CED=45即可得
岀/AEB=90°
即证岀AD丄BE③依照题意画岀图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面
积和可用AE,BE去表示CM
（2）根据题意画岀图形，比照
（1）③的结论，套入数据即可得岀结论.
【解答】解：
（1）①依照题意补全图2,如下图
（一）所示.
②证明：
J/ACD^DCB=ACB=90，/BCE^DCB=DCE=90,•••/ACD=/BCE•/△ABC和厶CDE都是等腰直角三角形，二AC=BCDC=EC
[AC=BC
Zaci>
Zbce
在厶ADC和厶BEC中，有
DC^EC
•••△ADC^ABEC（SAS,•AD=BE/BEC=/ADC
•••点A,D,E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，
•••/CDE=/CED=45，/ADC=180-/CDE=135，
•••/AEB=/BEC-/CED=135-45°
=90°
二AD丄BE.
③依照题意画岀图形，如图
（二）所示.
闫丄4
即2AC?
BC+龙BE7CM戈AE（CM+BE,：
AC2-AE?
BE=CIM（AE—BE）
•/△CDE为等腰直角三角形，•DE=2CM•AE-BE=2CM
（2）依照题意画岀图形（三）
由勾股定理得：
BP^=3.
结合
（1）③的结论可知：
EP'
DP百亠_竺1
AM===1.
故点A到BP的距离为1.
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以
及勾股定理，解题的关键：
（1）①结合题意画岀图形；
②找岀△ADC^ABEC;
③利用分割法求组合图形的面积；
（2）利用类比法借助
（1）③的算式求岀结论•本题属于中档题，
（1）①②
难度不大；
③难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段AC当成
已知量；
（2）利用类比的方法套入
（1）③的算式即可•解决该题型题目时，画岀图形，注意数形结合是关键.
2、.解：
（1）①120°
2分，②AD=BE4分
■/AACB和adce均为等髓肓角三蒔務，
ACA-CB・CD=CE^ZACB=ZDCE=^,J.
MDCE为够fit肓角三*翻*
-ZCDE=ZCED=45*-
VSA■EHE在同一冒纸上，
AZ.WC-I3S6.
■'
-ZBEC=1站：
・
/-ZAEB=ZBEC-ZCED=90i.
（3）如下图所示
由
（2）知厶BE3AAPC,•••BE=AP=5,/BEC=ZAPC=150•••/APD=30°
AP=5,CP=4,DP=8,/APD=30，/EPC=60°
•••/BED=/BEC-ZPEC=90，/DPC=120
又•••/DPE=ZDPCVZEPC=120°
+60°
=180°
即卩DP、E在同一条直线上
•DE=DP+PE=8+4=12BE=5,
BD=JQ矿+加=屁+竽=13
•BD的长为13
3、【考点】三角形综合题.
【分析】
（1）设BD=2x,AD=3x,CD=4x,根据勾股定理求岀AC根据等腰三角形的判定定理解答;
（2）根据三角形的面积公式求岀三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可；
（3）分DE=DMED=EMMD=M三种情况，根据等腰三角形的性质解答.
（1）设BD=2x,AD=3x,CD=4x,
•AB=ACABC是等腰三角形；
I1J
（2）Smbc=x5xx4x=10cm，解得，x=1cm,贝UBD=2crr）AD=3crgCD=4crr）AC=5crg
1当MN/BC时,AM=AN即5-t=t,•t=2.5,当DN//BC时,AD=ANJ
则t=3,故若△DMN勺边与BC平行时，t值为2.5或3.
2当点M在BD上,即0WtV2时，△MDE为钝角三角形，但DMkDE,
当t=2时，点M运动到点D,不构成三角形，
当点M在DA上,即2Vt<
5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能.
如果DE=DM则t-2=2.5,•t=4.5,如果ED=EM则点M运动到点A,
•t=5,如果MD=ME=b2,贝U（t—2）2—（t—3.5）2=22,•t='
综上所述，符合要求的t值为4.5或5或’
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用，掌
握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
4、【考点】全等三角形的判定与性质；
直角三角形斜边上的中线；
勾股定理.
（1）①连接CD推岀CD=AD/CDF=/ADE/A=/DCB证厶ADE^^CDF即可；
②连接DG根据直角三角形斜边上中线求岀CG=EG=GF=DG推岀/GCD/GDC推岀/GDH/GHD推岀DG=Gh即可；
（2）求岀EF=5,根据勾股定理求岀EC,即可得岀答案.
（1）①连接CD
AHD3
•••/ACB=90°
D为AB的中点,AC=BC二CD=AD=BD又丁AC=BC二CD丄AB,
•••/EDA+/EDC=90,/DCF=/DAE=45,•/DF丄DE,
•••/EDF=/EDC/CDF=90,ADE=/CDF在厶人。
£
和厶CDF中
rZA=ZDCFAD—CD
•••△ADE^ACDIF
②连接DG•••/ACB=90,G为EF的中点，•CG=EG=FG
•••/EDF=90°
G为EF的中点,•DG=EG=FG•-CG=DG
•/GCD=/CDG又JCD!
AB,•/CDH=90,•/GHD/GCD=90,/HDG/GDC=90,
•••/GHDNHDG二GH=GD「.CG=GH
（2）如图，当E在线段AC上时，
•/CG=GH=EG=（3F/.CH=EF=5•••△ADE^ACDF•AE=CF=3
•••在Rt△ECF中，由勾股定理得:
•AC=AE+EC=3+4=7如图，当E在线段CA延长线时,
AC=EC-AE=4-3=1，综合上述AC=7或1.
5、解：
⑴在Rt△ABD中,AB=5,ACk-，由勾股定理,
251.1^丿別门~25
=-.TSaabd=戈BD-AEk戈AB-AD•AEk=4.
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理，得BE=3.
（第27题图解①）
（2）设平移中的三角形为△AB'
F'
如解图①所示•由对称点性质可知，/1=Z2.
由平移性质可知，AB//AB'
/4=Z5=Z1,B'
=BF=3.
1当点F'
落在AB上时，TAB//AB'
a/3=/4,二/3=/1=/2,
BB'
=B，F'
=3，即m=3；
2当点F'
落在AD上时，TAB//AB'
./6=/2.
•••/1=/2,/5=/1,./5=/6.又易知AB'
丄AD
•••△B'
D为等腰三角形，.B'
D=B'
=3,
25161616
•BB'
=BD-B'
D=「一3=二，即卩m=.m=3或匚（对一个得2分）
⑶存在•理由如下：
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如解■图②所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ易知/2=2/Q.
（第27题图解②）
t/1=/3+/Q,/1=/2,./3=/Q•AQ=A'
B=5,
•F'
Q=F'
A'
+A'
Q=4+5=9.
在Rt△BF'
Q中，由勾股定理，得BQ==—「=3门
（第27题图解③）•••DQ=BQ-BD=3
②如解图③所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ易知/2=ZP.
•••/1=Z2,二/1=Z巳二BAIIPD则此时点A落在BC边上.
•••/3=Z2,二/3=Z1,二BQ=AQ,「.F'
—AQ=4-BQ
在Rt△BQF中，由勾股定理，得BF'
2+F'
Q=BQ,
252525125
即32+（4—BQ2=BQ,解得BQ=I.•DQ=BD-BQ=二一^=>
③如解图④所示，点Q落在BD上，且PD=DQ易知/3=Z4.
（第27题图解④）J/2+/3+/4=180°
/3=24，•/4=90°
一-/2.
•••/1=/2,•/4=90°
—二/1.•/AQB=/4=90°
—二/1,
•/A'
BQ=180°
—/AQB-/1=90°
—】/1,•/A'
QB=/ABQ
•-A'
Q=AB=5,「.F'
Q=A'
Q-A'
=5—4=1.
在Rt△BFQ中，由勾股定理，得BQ=
25
二DC^BD—BC^
④如解图⑤所示，点Q落在BD上，且PQ=PD易知/2=23.
（第27题图解⑤）J/1=22,23=24,22=23，
2510
•••/1=24,二BC=BA=5,二DC=BD—BC=—5=-
DQ的长度分别为3/
综上所述，存在4组符合条件的点P,Q使厶DPQ为等腰三角形，其中
251252510
—T玄行—质或乜
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