参数方程高中复习资料经典题型Word格式.docx

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一般地,极坐标（ρ,θ）与（ρ,θ+2kπ）（k∈Z）表示同一个点,特别地，极点O的坐标为（0，θ）（θ∈R），和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定ρ＞０,0≤θ<

2π，那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标（ρ，θ）表示;

同时,极坐标（ρ，θ）表示的点也是惟一确定的．

［探究]1．极点的极坐标如何表示？

提示：

规定极点的极坐标是极径ρ=0，极角可取任意角．

３．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点,它的直角坐标是（x,ｙ），极坐标是（ρ,θ），则它们之间的关系为:

[探究]2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么?

与点的极坐标呢？

提示:

平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>

0，0≤θ<

2π,那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．

４．常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为r的圆

ρ=r（０≤θ<

2π）

圆心为（ｒ,0）,半径为ｒ的圆

ρ=2rcos_θ

圆心为,半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ（0≤θ＜π）

过极点，倾斜角为α的直线

（1）θ=α（ρ∈Ｒ）或θ=π＋α（ρ∈Ｒ）

（２）θ=α和θ＝π+α

过点（a,０）,与极轴垂直的直线

ρｃos_θ＝ａ

过点,与极轴平行的直线

ρsｉn_θ＝a（０＜θ＜π）

[自测·

牛刀小试]

1．极坐标方程ρ＝coｓθ化为直角坐标方程．

2．（20１3·

北京模拟）在极坐标系中，求过点（１,０）并且与极轴垂直的直线方程.

３．在极坐标系中,求点A关于直线l∶ρcosθ=1的对称点的一个极坐标.

4．在极坐标系中，若过点A（３,0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4ｃosθ于A、B两点，求AＢ的长．

5.已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，求该圆的圆心到直线ρsinθ+２ρcｏｓθ=１的距离．

伸缩变换的应用

［例1］求椭圆

+y2=1,经过伸缩变换

后的曲线方程．

若椭圆

+ｙ２=1经过伸缩变换后的曲线方程为+

＝1，求满足的伸缩的变换.

—————

——————————————

求经伸缩变换后曲线方程的方法

平面上的曲线y=ｆ（ｘ）在变换φ:

的作用下的变换方程的求法是将

代入ｙ=ｆ（ｘ）,得=f,整理之后得到y′＝h（ｘ′）,即为所求变换之后的方程.

1．在同一坐标系中,曲线C经过伸缩变换

后得到的曲线方程为ｙ′=ｌｇ（x′＋5）,求曲线C的方程．

极坐标与直角坐标的互化

[例２］已知圆Ｏ１和圆O２的极坐标方程分别为ρ=２，ρ2－2

ρｃos

=2.

（１）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

极坐标与直角坐标互化的注意点

（1）在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一.

（2）在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．

２．（2013·

佛山检测）在平面直角坐标系ｘOy中,点Ｐ的直角坐标为（1，-）.若以原点O为极点,ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系,求点P的极坐标.

3．求以点A（2,0）为圆心,且过点B的圆的极坐标方程.

极坐标系的综合问题

[例3］从极点O作直线与另一直线l:

ρcｏsθ＝4相交于点M,在OＭ上取一点P,使OM·

OP=12.

（1）求点Ｐ的轨迹方程;

（2）设R为l上的任意一点,试求｜RＰ|的最小值．

求解与极坐标有关的问题的主要方法

一是直接利用极坐标系求解,求解时可与数形结合思想结合使用;

二是转化为直角坐标系后,用直接坐标求解．

使用后一种时应注意,若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.

４.（20１3·

西安五校联考）在极坐标系（ρ,θ）（0≤θ<

２π）中,求曲线ρ=２ｓinθ与ρcos　θ=－1的交点的极坐标．

5．（2０12·

安徽高考改编）在极坐标系中，求圆ρ=４sinθ的圆心到直线θ=

（ρ∈R）的距离．

1个互化——极坐标与直角坐标的互化

（１）互化的三个前提条件

①极点与原点重合;

②极轴与x轴正方向重合；

③取相同的单位长度．

（2）若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．

5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲

易误警示——极坐标系中的解题误区

[典例]（2012·

湖南高考改编）在极坐标系中,曲线C1:

ρ（cosθ＋ｓin　θ）＝１与曲线C２：

ρ＝a（ａ>

０）的一个交点在极轴上,求a的值.

（１）因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程.

（2）因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化,导致计算加大，多走弯路．

（3）解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况.

已知两曲线的极坐标方程Ｃ1：

ρ＝2（0≤θ≤π）,C２:

ρ=4coｓθ,求两曲线交点的直角坐标．

1.已知直线的极坐标方程ρsｉｎ

=,求极点到直线的距离．

2.在极坐标系中，已知圆ρ=2cｏｓ　θ与直线３ρcｏsθ+4ρsinθ+a＝0相切，求实数a的值.

3.（20１2·

江西高考改编）曲线C的直角坐标方程为x2＋ｙ2-2ｘ=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.

４．已知圆M的极坐标方程为ρ2-４

ρcos

+6=０，求ρ的最大值.

5．（2０1２·

江苏高考）在极坐标系中,已知圆C经过点Ｐ

，圆心为直线ρｓｉn

＝-

与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

1.设直线l1的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l1的方程为ρsinθ-3ρｃｏsθ+４＝0,若直线l1与ｌ２间的距离为

，求实数ａ的值．

２.（20１1·

江西高考改编）若曲线的极坐标方程为ρ=２ｓinθ+4ｃosθ,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,求该曲线的直角坐标方程.

3.极坐标系中,A为曲线ρ2+2ρｃosθ-3=0上的动点，B为直线ρcｏsθ+ρsiｎθ-7=０上的动点，求ＡB的最小值．

4．在极坐标系中，圆C的圆心C,半径r=6.

（1）写出圆C的极坐标方程;

（２）若Q点在圆C上运动,P在ＯQ的延长线上，且OＱ∶QP=3∶２,求动点Ｐ的轨迹方程.

考什么

１.了解参数方程，了解参数的意义．

2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

本节考查的重点是参数方程和直角坐标方程的互化，热点是参数方程、极坐标方程的综合性问题,难度较小，主要考查转化和化归的思想方法，如2０1２年新课标T２3等.

１．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线Ｃ上任意一点P的坐标ｘ,y都可以表示为某个变量t的函数:

反过来,对于ｔ的每个允许值，由函数式所确定的点P（x，ｙ）都在曲线C上,那么方程

叫做这条曲线C的参数方程,变量t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

[探究]　１.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗?

不唯一,平面直角坐标系中，对于同一曲线来说,由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．

2.直线的参数方程

经过点M（x0,ｙ0），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为（ｔ为参数）.

3．圆的参数方程

圆心为（a,ｂ），半径为r的圆的参数方程为

（θ为参数）.

4.椭圆的参数方程

椭圆+＝1（a＞b>

0）的参数方程为

[探究]　２.椭圆＋＝1（a>

b>

0）的参数

方程

（φ为参数）中，参数φ的几何意义是什么?

如图,取椭圆

+

＝１（a>

b＞0）上任一点M作ｘ轴垂线，交以原点为圆心，a为半径的圆于点A，φ就是点M所对应的圆的半径ＯA的旋转角（或点M的

离心角）即Ox绕Ｏ逆时针转到与ＯA重合时的最小正角，φ∈[0,2π）.

［自测·

1．若直线ｌ的参数方程为（t为参数）,求直线l倾斜角的余弦值.

．

2．已知点P（3,m）在以点F为焦点的抛物线

（t为参数）上，求|PＦ｜.

3．（２01２·

中山模拟）将参数方程（α为参数）化成普通方程.

4．求参数方程

（t为参数）表示的曲线．

5.求椭圆

＋

=1的参数方程．

参数方程与普通方程的互化

[例１]将下列参数方程化为普通方程．

（１）　

（2）

将参数方程化为普通方程的方法

（1）将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有：

代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参,如sin2θ＋ｃoｓ2θ=1等．

（2）将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解．

1．将下列参数方程化为普通方程.

（1）

（t为参数）;

（２）

（t为参数）.

[例2]（20１2·

湖南高考）在直角坐标系xＯｙ中,已知曲线C1:

（t为参数）与曲线C2:

（θ为参数，a＞0）有一个公共点在ｘ轴上,求ａ的值．

与参数方程有关的问题,求解时,一般是将参数方程化为普通方程,转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题.

2．（２０11·

广东高考改编）已知两曲线参数方程分别为

（0≤θ＜π）和

（t∈R）,求它们的交点坐标．

3.（２013·

扬州模拟）已知P（x，ｙ）是椭圆＋y２＝1上的点,求M＝x＋2ｙ的取值范围.

极坐标方程和参数方程的综合

[例３]（201２·

辽宁高考）在直角坐标系ｘＯy中，圆C1:

x2＋y2＝4,圆C2:

（ｘ-2）２＋ｙ２＝4．

（1）在以Ｏ为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C１,C2的极坐标方程，并求出圆Ｃ1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；

（2）求圆C１与C2的公共弦的参数方程．

求参数方程与极坐标问题的转化方法

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ,θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同.

4．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C１:

（θ为参数）和曲线C2：

ρ＝1上，求｜ＡB|的最小值.

4种方法——化参数方程为普通方程的方法

消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：

①代入消元法;

②加减消元法;

③乘除消元法;

④三角恒等式消元法．

数学思想——参数方程中的转化思想

在对坐标系与参数方程的考查中,最能体现坐标法的解题优势,灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程,然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法,对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想.

［典例]（２012·

浙江高考改编）在平面直角坐标系ｘOy中，曲线C1和Ｃ2的参数方程分别为

（t为参数）和

（θ为参数），求曲线C1与C2的交点坐标．

（1）本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型,解题方法是将参数方程转化为普通方程,关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围．

（2）对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的.

（2012·

朝阳模拟）在平面直角坐标系中,已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：

（s为参数）和C:

（t为参数）,若l与C相交于A、B两点，求|AB|的长．

1．直线

（t为参数）被圆

（θ为参数，求θ∈[0,２π））所截得的弦长．

２．（2０12·

福州模拟）已知点P（x,y）在曲线

=1，且

a2＋b2≤3，求x＋y的最小值．

3.已知曲线C的参数方程为α∈[0,2π）,曲线D的极坐标方程为ρｓｉn

=-.

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程;

（2）曲线C与曲线D有无公共点？

试说明理由．

4．（201２·

福建高考）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ｌ上两点M，Ｎ的极坐标分别为（2,0），

，圆C的参数方程为

（θ为参数）．

（１）设P为线段MN的中点，求直线OＰ的平面直角坐标方程;

（2）判断直线l与圆C的位置关系.

5．（2012·

新课标全国卷）已知曲线C1的参数方程是

（φ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线Ｃ2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCＤ的顶点都在C2上,且A，Ｂ,Ｃ，D依逆时针次序排列,点A的极坐标为

.

（1）求点A,B，Ｃ，D的直角坐标;

（２）设P为C1上任意一点,求|PA｜２+｜PＢ|2+|PＣ|２+｜PD｜２的取值范围.

1.（2０１2·

南京模拟）已知圆的极坐标方程为

ρ2+４ρcｏs

-５＝0.

（1）将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（2）若点P（x,y）在该圆上,求x＋y的最大值和最小值.

2.（2０13·

厦门模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）.以直角坐标系原点Ｏ为极点,ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos

＝2.

（1）求直线ｌ的直角坐标方程;

（２）点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.