中考专题复习第八讲一元二次方程及应用含详细参考答案文档格式.docx

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0）有两个根分别为X1、X2

则X1+X2=X1X2=

五、一元二次方程的应用：

解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行

常见题型

1、增长率问题：

连续两率增长或降低的百分数a（1+X）2=b

2、利润问题：

总利润=×

或总利润=—

3、几何图形的面积、体积问题：

按面积、体积的计算公式列方程

因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】

【重点考点例析】

考点一：

一元二次方程的解

例1（2018•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=．

【思路分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=-2，然后利用整体代入的方法进行计算．

【解答】解：

∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，

∴4+2m+2n=0，

∴n+m=-2，

故答案为：

-2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

考点二：

一元二次方程的解法

例2（2018•齐齐哈尔）解方程：

2（x-3）=3x（x-3）．

【思路分析】移项后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．

2（x-3）=3x（x-3），

移项得：

2（x-3）-3x（x-3）=0，

整理得：

（x-3）（2-3x）=0，

x-3=0或2-3x=0，

解得：

x1=3或x2=

．

【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x-3，这样会漏根．

考点三：

根的判别式的运用

例3（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

【思路分析】

（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．

（1）a≠0，

△=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，

∵a2＞0，

∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴△=b2-4a=0，

若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程无实数根．

考点四：

根与系数的关系

例4（2018•孝感）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）．

（1）试证明：

无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值．

（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．

（1）证明：

原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．

∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，

∴无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）∵原方程的两根为x1、x2，

∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．

又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，

∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，

∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，

∴25-18+3p2+3p=3p2+1，

∴3p=-6，

∴p=-2．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：

（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；

（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．

考点五：

一元二次方程的应用

例5（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）

…

34.8

32

29.6

28

售价x（元/千克）

22.6

24

25.2

26

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；

（2）根据总利润=每千克利润×

销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，

，解得：

，

∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80．

当x=23.5时，y=-2x+80=33．

答：

当天该水果的销售量为33千克．

（2）根据题意得：

（x-20）（-2x+80）=150，

x1=35，x2=25．

∵20≤x≤32，

∴x=25．

如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：

（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；

（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

【聚焦山东中考】

1．（2018•临沂）一元二次方程

配方后可化为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（　　）

A．无实数根

B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3

D．有两个正根，且有一根大于3

3．（2018•菏泽）关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥0B．k≤0

C．k＜0且k≠-1D．k≤0且k≠-1

4．（2018•潍坊）已知关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根x1，x2．若

，则m的值是（　　）

A．2B．-1

C．2或-1D．不存在

5．（2018•聊城）已知关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，则k的值是．

6．（2018•威海）关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．

7．（2018•德州）若x1，x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=．

8.（2018•莱芜）已知x1，x2是方程2x2-3x-1=0的两根，则x12+x22=．

9．（2018•烟台）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m的取值范围是．

10．（2018•东营）关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．

（1）求sinA的值；

（2）若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．

11．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；

每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：

台）和销售单价x（单位：

万元）成一次函数关系．

（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2018•盐城）已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（　　）

A．-2B．2

C．-4D．4

2．（2018•宜宾）一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）

A．-2B．1

C．2D．0

3.（2018•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是（　　）

A．3B．1

C．-1D．-3

4．（2018•凉山州）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根，则m+n的值是（　　）

A．1B．2

C．-1D．-2

5．（2018•铜仁市）关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为（　　）

A．x1=-1，x2=3

B．x1=1，x2=-3

C．x1=1，x2=3

D．x1=-1，x2=-3

6．（2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．12B．9

C．13D．12或9

7．（2018•嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：

画Rt△ABC，使∠ACB=90°

，BC=

，AC=b，再在斜边AB上截取BD=

．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长B．AD的长

C．BC的长D．CD的长

8．（2018•泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）

A．x1≠x2B．x1+x2＞0

C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0

9．（2018•包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6B．5

C．4D．3

10．（2018•湘潭）若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥1B．m≤1

C．m＞1D．m＜1

11.（2018•福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

12.（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k=0的根的情况是（　　）

A．有两不相等实数根

B．有两相等实数根

C．无实数根

D．不能确定

13.（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）

A．2%B．4.4%

C．20%D．44%

14.（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）

A．8%B．9%

C．10%D．11%

二、填空题

15．（2018•扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值

16．（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．

17．（2018•淮安）一元二次方程x2-x=0的根是．

18．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为．

19．（2018•南京）设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=，x2=．

20．（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为．

21．（2018•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：

a※b=a2-ab，例如，5※3=52-5×

3=10．若（x+1）※（x-2）=6，则x的值为．

22．（2018•吉林）若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为．

23．（2018•岳阳）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

三、解答题

24.（2018•成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

25.（2018•玉林）已知关于x的一元二次方程：

x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）给k取一个负整数值，解这个方程．

26．（2018•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．

假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

27．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：

2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．

（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？

（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：

2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：

从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．

28．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2-（2m-2）x+（m2-2m）=0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．

29.（2018•天门）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1-x2）2+m2=21，求m的值．

第八讲一元二次方程及应用参考答案

1.【思路分析】根据配方法即可求出答案．

故选：

B．

【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．

2.【思路分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．

（x+1）（x-3）=2x-5

x2-2x-3=2x-5，

则x2-4x+2=0，

（x-2）2=2，

x1=2+

＞3，x2=2-

，

故有两个正根，且有一根大于3．

D．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．

3.【思路分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

根据题意得k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）≥0，

解得k≤0且k≠-1．

4.【思路分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出

，结合

，即可求出m的值．

∵关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根x1、x2，

∴

m＞-1且m≠0．

∵x1、x2是方程

的两个实数根，

∵

∴m=2或-1，

∵m＞-1，

∴m=2．

【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：

（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；

（2）牢记两根之和等于

、两根之积等于

5.【思路分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值．

∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，

k=

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

6.【思路分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．

∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，

∴△=4-8（m-5）≥0，且m-5≠0，

解得m≤5.5，且m≠5，

则m的最大整数解是m=4．

m=4．

【点评】考查了根的判别式，总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7.【思路分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

由根与系数的关系可知：

x1+x2=-1，x1x2=-2

∴x1+x2+x1x2=-3

-3

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

8.【思路分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．

∵x1、x2是方程2x2-3x-1=0的两根，

。

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．

9.【思路分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．

依题意得：

解得3＜m≤5．

故答案是：

3＜m≤5．

【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．

10.【思路分析】

（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=

；

（2）利用判别式的意义得到100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．

分两种情况：

当∠A是顶角时：

如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；

当∠A是底角时：

如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．

（1）根据题意得△=25sin2A-16=0，

∴sin2A=

∴sinA=±

∵∠A为锐角，

∴sinA=

（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，

则△≥0，

∴100-4（k2-4k+29）≥0，

∴-（k-2）2≥0，

∴（k-2）2≤0，

又∵（k-2）2≥0，

∴k=2，

把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，

解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．

如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，

∵sinA=

∴AD=3，BD=4∴DC=2，

∴BC=2

∴△ABC的周长为10+2

如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，

AB=5，

∴A 

D=D