中考专题复习第八讲一元二次方程及应用含详细参考答案文档格式.docx
《中考专题复习第八讲一元二次方程及应用含详细参考答案文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考专题复习第八讲一元二次方程及应用含详细参考答案文档格式.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![中考专题复习第八讲一元二次方程及应用含详细参考答案文档格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-12/12/e4bb471f-d726-42de-81aa-d56e7a4c17ec/e4bb471f-d726-42de-81aa-d56e7a4c17ec1.gif)
0)有两个根分别为X1、X2
则X1+X2=X1X2=
五、一元二次方程的应用:
解法步骤同一元一次方程一样,仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、增长率问题:
连续两率增长或降低的百分数a(1+X)2=b
2、利润问题:
总利润=×
或总利润=—
3、几何图形的面积、体积问题:
按面积、体积的计算公式列方程
因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一:
一元二次方程的解
例1(2018•苏州)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=.
【思路分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=-2,然后利用整体代入的方法进行计算.
【解答】解:
∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,
∴4+2m+2n=0,
∴n+m=-2,
故答案为:
-2.
【点评】本题考查了一元二次方程的解(根):
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
考点二:
一元二次方程的解法
例2(2018•齐齐哈尔)解方程:
2(x-3)=3x(x-3).
【思路分析】移项后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.
2(x-3)=3x(x-3),
移项得:
2(x-3)-3x(x-3)=0,
整理得:
(x-3)(2-3x)=0,
x-3=0或2-3x=0,
解得:
x1=3或x2=
.
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程,解题的关键是先移项,然后提取公因式,避免两边同除以x-3,这样会漏根.
考点三:
根的判别式的运用
例3(2018•北京)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.
(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
【思路分析】
(1)计算判别式的值得到△=a2+4,则可判断△>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况;
(2)利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4a=0,设b=2,a=1,方程变形为x2+2x+1=0,然后解方程即可.
(1)a≠0,
△=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4,
∵a2>0,
∴△>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴△=b2-4a=0,
若b=2,a=1,则方程变形为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
当△<0时,方程无实数根.
考点四:
根与系数的关系
例4(2018•孝感)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1).
(1)试证明:
无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22-x1x2=3p2+1,求p的值.
(1)将原方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(2p+1)2≥0,由此即可证出:
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p,结合x12+x22-x1x2=3p2+1,即可求出p值.
(1)证明:
原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.
∵△=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,
∴无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)∵原方程的两根为x1、x2,
∴x1+x2=5,x1x2=6-p2-p.
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1,
∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1,
∴52-3(6-p2-p)=3p2+1,
∴25-18+3p2+3p=3p2+1,
∴3p=-6,
∴p=-2.
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:
(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;
(2)根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1,求出p值.
考点五:
一元二次方程的应用
例5(2018•遵义)在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克)
…
34.8
32
29.6
28
售价x(元/千克)
22.6
24
25.2
26
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?
(1)根据表格内的数据,利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式,再代入x=23.5即可求出结论;
(2)根据总利润=每千克利润×
销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b,
,解得:
,
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80.
当x=23.5时,y=-2x+80=33.
答:
当天该水果的销售量为33千克.
(2)根据题意得:
(x-20)(-2x+80)=150,
x1=35,x2=25.
∵20≤x≤32,
∴x=25.
如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:
(1)根据表格内的数据,利用待定系数法求出一次函数关系式;
(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.
【聚焦山东中考】
1.(2018•临沂)一元二次方程
配方后可化为( )
A.
B.
C.
D.
2.(2018•泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是( )
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
3.(2018•菏泽)关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥0B.k≤0
C.k<0且k≠-1D.k≤0且k≠-1
4.(2018•潍坊)已知关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根x1,x2.若
,则m的值是( )
A.2B.-1
C.2或-1D.不存在
5.(2018•聊城)已知关于x的方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根,则k的值是.
6.(2018•威海)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是.
7.(2018•德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2=.
8.(2018•莱芜)已知x1,x2是方程2x2-3x-1=0的两根,则x12+x22=.
9.(2018•烟台)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2-x1-x2>2,则m的取值范围是.
10.(2018•东营)关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.
(1)求sinA的值;
(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长.
11.(2018•德州)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;
每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:
台)和销售单价x(单位:
万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2018•盐城)已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1,则k的值为( )
A.-2B.2
C.-4D.4
2.(2018•宜宾)一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A.-2B.1
C.2D.0
3.(2018•贵港)已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是( )
A.3B.1
C.-1D.-3
4.(2018•凉山州)若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,则m+n的值是( )
A.1B.2
C.-1D.-2
5.(2018•铜仁市)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为( )
A.x1=-1,x2=3
B.x1=1,x2=-3
C.x1=1,x2=3
D.x1=-1,x2=-3
6.(2018•安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12B.9
C.13D.12或9
7.(2018•嘉兴)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:
画Rt△ABC,使∠ACB=90°
,BC=
,AC=b,再在斜边AB上截取BD=
.则该方程的一个正根是( )
A.AC的长B.AD的长
C.BC的长D.CD的长
8.(2018•泰州)已知x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是( )
A.x1≠x2B.x1+x2>0
C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
9.(2018•包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A.6B.5
C.4D.3
10.(2018•湘潭)若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1B.m≤1
C.m>1D.m<1
11.(2018•福建)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是( )
A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
12.(2018•娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( )
A.有两不相等实数根
B.有两相等实数根
C.无实数根
D.不能确定
13.(2018•宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A.2%B.4.4%
C.20%D.44%
14.(2018•眉山)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( )
A.8%B.9%
C.10%D.11%
二、填空题
15.(2018•扬州)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值
16.(2018•荆门)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为.
17.(2018•淮安)一元二次方程x2-x=0的根是.
18.(2018•黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为.
19.(2018•南京)设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=,x2=.
20.(2018•内江)已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为.
21.(2018•十堰)对于实数a,b,定义运算“※”如下:
a※b=a2-ab,例如,5※3=52-5×
3=10.若(x+1)※(x-2)=6,则x的值为.
22.(2018•吉林)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为.
23.(2018•岳阳)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.
三、解答题
24.(2018•成都)若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
25.(2018•玉林)已知关于x的一元二次方程:
x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)给k取一个负整数值,解这个方程.
26.(2018•沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
27.(2018•重庆)在美丽乡村建设中,某县政府投入专项资金,用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设.该县政府计划:
2018年前5个月,新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个,且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍.
(1)按计划,2018年前5个月至少要修建多少个沼气池?
(2)到2018年5月底,该县按原计划刚好完成了任务,共花费资金78万元,且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值.据核算,前5个月,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1:
2.为加大美丽乡村建设的力度,政府计划加大投入,今年后7个月,在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%,全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设.经测算:
从今年6月起,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%,5a%,新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.
28.(2018•南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-2)x+(m2-2m)=0.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x12+x22=10,求m的值.
29.(2018•天门)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
第八讲一元二次方程及应用参考答案
1.【思路分析】根据配方法即可求出答案.
故选:
B.
【点评】本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型.
2.【思路分析】直接整理原方程,进而解方程得出x的值.
(x+1)(x-3)=2x-5
x2-2x-3=2x-5,
则x2-4x+2=0,
(x-2)2=2,
x1=2+
>3,x2=2-
,
故有两个正根,且有一根大于3.
D.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法,正确解方程是解题关键.
3.【思路分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=(-2)2-4(k+1)≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
根据题意得k+1≠0且△=(-2)2-4(k+1)≥0,
解得k≤0且k≠-1.
4.【思路分析】先由二次项系数非零及根的判别式△>0,得出关于m的不等式组,解之得出m的取值范围,再根据根与系数的关系可得出
,结合
,即可求出m的值.
∵关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根x1、x2,
∴
m>-1且m≠0.
∵x1、x2是方程
的两个实数根,
∵
∴m=2或-1,
∵m>-1,
∴m=2.
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式,解题的关键是:
(1)根据二次项系数非零及根的判别式△>0,找出关于m的不等式组;
(2)牢记两根之和等于
、两根之积等于
5.【思路分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0,即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程,解之即可得出k的值.
∵关于x的方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根,
k=
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,牢记“当△=0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.
6.【思路分析】若一元二次方程有实根,则根的判别式△=b2-4ac≥0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
∵关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,
∴△=4-8(m-5)≥0,且m-5≠0,
解得m≤5.5,且m≠5,
则m的最大整数解是m=4.
m=4.
【点评】考查了根的判别式,总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
7.【思路分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
由根与系数的关系可知:
x1+x2=-1,x1x2=-2
∴x1+x2+x1x2=-3
-3
【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
8.【思路分析】找出一元二次方程的系数a,b及c的值,利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积,然后利用完全平方公式变形后,将求出的两根之和与两根之积代入,即可求出所求式子的值.
∵x1、x2是方程2x2-3x-1=0的两根,
。
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系,对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键.
9.【思路分析】根据根的判别式△>0、根与系数的关系列出关于m的不等式组,通过解该不等式组,求得m的取值范围.
依题意得:
解得3<m≤5.
故答案是:
3<m≤5.
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用,解此题的关键是得出关于m的不等式,注意:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)①当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,②当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,③当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实数根.
10.【思路分析】
(1)利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0,解得sinA=
;
(2)利用判别式的意义得到100-4(k2-4k+29)≥0,则-(k-2)2≥0,所以k=2,把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5,则△ABC是等腰三角形,且腰长为5.
分两种情况:
当∠A是顶角时:
如图,过点B作BD⊥AC于点D,利用三角形函数求出AD=3,BD=4,再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长;
当∠A是底角时:
如图,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=5,利用三角函数求出AD得到AC的长,从而得到△ABC的周长.
(1)根据题意得△=25sin2A-16=0,
∴sin2A=
∴sinA=±
∵∠A为锐角,
∴sinA=
(2)由题意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,
则△≥0,
∴100-4(k2-4k+29)≥0,
∴-(k-2)2≥0,
∴(k-2)2≤0,
又∵(k-2)2≥0,
∴k=2,
把k=2代入方程,得y2-10y+25=0,
解得y1=y2=5,∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5.
如图,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=AC=5,
∵sinA=
∴AD=3,BD=4∴DC=2,
∴BC=2
∴△ABC的周长为10+2
如图,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,
AB=5,
∴A
D=D