勾股定理典型例题归类总结Word文档下载推荐.docx
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1.如图,正方形ABCD中,E为BC边的中点,F点CD边上一点,且DF=3CF,求证:
∠AEF=90°
ﻫ
题型四:
利用勾股定理求线段长度——
例1. 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.
1.如图,将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点B在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°
角,求三角板的最大边AB的长.
2.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°
D为AC的中点,DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,(1)求证:
BE=CF;
(2)若AE=3,CF=1,求EF的长.
3.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°
D为AB边上的一点.若AD=1,BD=3,求CD的长.ﻫ
题型五:
利用勾股定理逆定理判断垂直——
例1.有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?
1.如图,每个小正方形的边长都是1,△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判断△ABC的形状,并说明理由.(1)求证:
∠ABD=90°
;
(2)求
的值
2.下列各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是(
)
A、9,12,15B、7,24,25C、
D、
,
3.在△ABC中,下列说法①∠B=∠C-∠A;
②
;
③∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5;
④a:
b:
c=5:
4:
3;
⑤
:
:
=1:
2:
3,其中能判断△ABC为直角三角形的条件有(
A、2个B、3个 C、4个 D、5个
4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形?
并判断哪一个是直角?
(1)a=26,b=10,c=24;
(2)a=5,b=7,c=9;
(3)a=2,
A、2个B、3个C、4个D、5个
5.已知△ABC的三边长为a、b、c,且满足
则此时三角形一定是(
)
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、锐角三角形
6.在△ABC中,若a=
b=2n,c=
则△ABC是( )
A、锐角三角形B、钝角三角形 C、等腰三角形D、直角三角形
7.如图,正方形网格中的△ABC是(
)ﻫ
A、直角三角形 B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形
8.已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列说法中,错误的是(
A、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°
B、如果∠C=90°
那么
C、如果(a+b)(a-b)=
,那么∠A=90°
D、如果∠A=30°
,那么AC=2BC
9.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a+b=3,ab=1,
,求
的值,试判断△ABC的形状,并说明理由
10.观察下列各式:
……,根据其中规律,写出下一个式子为_____________
11.已知,m>n,m、n为正整数,以
2mn,
为边的三角形是___三角形.
12.一个直角三角形的三边分别为n+1,n-1,8,其中n+1是最大边,当n为多少时,三角形为直角三角形?
题型六:
旋转问题:
例题6. 如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=
PC=4,求△ABC的边长.
跟踪练习
1.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°
,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°
,试探究
间的关系,并说明理由.
题型七:
关于翻折问题
例题7.如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.
1.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°
,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长.
(一)折叠直角三角形
1.如图,在△ABC中,∠A=90°
点D为AB上一点,沿CD折叠△ABC,点A恰好落在BC边上的
处,AB=4,AC=3,求BD的长。
2.如图,Rt△ABC中,∠B=90°
AB=3,AC=5.将△ABC折叠使C与A重合,折痕为DE,求BE的长.
(二)折叠长方形
1.如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形沿折痕AF折叠,点D恰好落在BC上的点E处,求CF的长。
2.如图,长方形ABCD中,AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠,使点D与点B重合,点C与C'重合.
(1)求DE的长;
(2)求折痕EF的长.
3.(2013•常德)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边CD落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处.若AB=3,AD=4,则ED的长为( )
4. 如图,长方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点.
(1)求证:
FB=FE
(2)求证:
CA′∥BD
(3)求△DBF的面积
7.如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC的中点,连结AG、CF.(1)求证:
AG∥CF;
的值.
题型八:
关于勾股定理在实际中的应用:
例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;
如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
例2.一辆装满货物高为1.8米,宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道,它能顺利通过吗?
1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处,以每小时26km的速度向北偏东60°
方向移动,距风暴中心200km的范围内为受影响区域。
试问A城是否受这次风暴的影响?
如果受影响,请求出遭受风暴影响的时间;
如果没有受影响,请说明理由。
2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
3.有一个边长为50dm的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长?
(结果保留整数)
4.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
题型九:
关于最短性问题
例1、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
(π取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)
例2.
1.如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?
2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?
3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm,6cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?
蚂蚁要爬行的最短路程是多少?
4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗?
3
?
A
题型十:
勾股定理与特殊角
(一)直接运用30°
或45°
的直角三角形
1.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠B =30°
AD是△ABC的角平分线,若AC=
,求AD的长。
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
AD是△ABC的角平分线,CD⊥AB于D,∠A= 30°
CD=2,求AB的长。
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=60°
,∠,C= 45°
,AC=2,求BD的长。
(二)作垂线构造30°
或45°
(1)将105°
转化为45°
和60°
1.如图,在△ABC中,∠B=45°
,∠A=105°
AC=2,求BC的长。
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°
,∠ADB=∠ABC=105°
⑴若AD=2,求AB的长;
⑵若AB+CD=
+2,求AB的长。
B
D
C
(2)将75°
转化为30°
和45°
3.如图,在△ABC中,∠B=45°
∠BAC=75°
,AB=
,求BC的长。
题型十一:
运用勾股定理列方程
(一)直接用勾股定理列方程
1.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB交CB于D,CD=3,BD=5,求AD的长。
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,且∠CAD=2∠BAD,若BD=3,CD=8,求AB的长。
(二)巧用“连环勾”列方程
1.如图,在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=
求
.
2. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°
CD⊥AB于D,AC=3,BC=4,求AD的长。
3.如图,△ABC中,∠ACB=90°
CD⊥AB于D,AD=1,BD=4,求AC的长
4.如图,△ABC中,∠ACB=90°
CD⊥AB于D,CD=3,BD=4,求AD的长
题型十二:
勾股定理与分类讨论
(一)锐角与钝角不明时需分类讨论
1. 在△ABC中,AB=AC=5,
,求BC的长
2.在△ABC中,AB=15,AC=13,AD为△ABC的高,且AD=12,求△ABC的面积。
(二)腰和底不明时需分类讨论
3.如图1,△ABC中,∠ACB=90°
AC=6,BC=8,点D为射线AC上一点,且△ABD是等腰三角形,求△ABD的周长.
(三)直角边和斜边不明时需分类讨论
1.已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为_____________
2.在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=4,BC=2,以AB为边向外作等腰直角三角形ABD,求CD的长
3.如图,D(2,1),以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在x轴上,这样的等腰三角形能画多少个?
写
出落在x轴上的顶点坐标.
题型十三:
或
问题的证明
1.如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°
D为AB的中点,M、N分别为AC、BC上一点,且DM⊥DN.
(1)求证:
CM+CN=
BD
(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上,探究CM、CN、BD之间的数量关系式。
2.已知∠BCD=α,∠BAD=β,CB=CD.
(1)如图1,若α=β=90°
,求证:
AB+AD=
AC;
(2)如图2,若α=β=90°
AB-AD=
(3)如图3,若α=120°
β=60°
,求证:
AB=AD=
(4)如图3,若α=β=120°
AB-AD=
AC;
题型十四:
1.如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°
M、N分别为AC、BD的中点,连MN、ON.求证:
MN=
ON.
2.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
D为BC的中点,AE=CF,连DE、EF.
(1)如图1,若E、F分别在AB、AC上,求证:
EF=
DE;
(2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上,则
(1)中的结论是否仍成立?
请说明理由.
3.如图,△ABD中,O为AB的中点,C为DO延长线上一点,∠ACO=135°
∠ODB=45°
探究OD、OC、AC之间相等的数量关系.
4.如图,△ABD是等腰直角△,∠BAD=90°
,BC∥AD,BC=2AB,CE平分∠BCD,交AB于E,交BD于H.求证:
(1)DC=
DA;
(2)BE=
DH
题型十五:
勾股定理(逆定理)与网格画图
1.如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为.
2.如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形,使它的三边长分别是3,2
,且三角形的三个顶点都在格点上.
3.如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形,且正方形的四个顶点在格点上.
4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3个.
5.如图,在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4个三角形中,与众不同的是__________中的三角形,图4中最长边上的高为_____________
6.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画图:
(1)画一条线段MN,使MN=
(2)画△ABC,三边长分别为3,
2
。
7.如图,在5×
5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.ﻫ
(1)图1中以AB为腰的等腰三角形有___________个,画出其中的一个,并直接写出其底边长.
(2)图2中,以AB为底边的等腰三角形有___________个,画出其中的一个,并直接写出其底边上的高.
题型十六:
利用勾股定理逆定理证垂直
1.如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,且AB=10,BD=6,AD=8,AC=7,其求CD的长.
2.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=2,
CD=5,AD=4,求
.ﻫ
3.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=5,AC=13,AD=6,求BC的长.
4.已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=α,点P为△ABC内一点,将CP绕点C顺时针旋转α得到CD,连AD.
(1)如图1,当α=60°
PA= 10,PB=6,PC=8时,求∠BPC的度数
(2)如图2,当α=90°
PA=3,PB=1,PC=2时,求∠BPC的度数
题型十七:
勾股定理综合纯几何问题
1.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°
D是AB的中点,∠EDF= 90°
DE交射线AC于E,DF交射线CB于F.ﻫ
(1)如图1,当AC=BC时,
之间的数量关系为__________(直接写出结果);
(2)如图2,当AC≠BC时,试确定
之间的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当AC≠BC时,
(2)中结论是否仍成立?
2.已知△OMN为等腰直角△,∠MON=90°
,点B为NM延长线上一点,OC⊥OB,且OC=OB.ﻫ
(1)如图1,连CN,求证:
CN=BM;
(2)如图2,作∠BOC的平分线交MN于A,求证:
(3)如图3,在
(2)的条件下,过A作AE⊥ON于E,过B作BF⊥OM于F,EA、BF的延长线交于P,请探究
之间的数量关系式.
题型十八:
勾股定理综合
(二)与代数结合
1.已知点A的坐标为(1,-3),∠OAB=90°
,OA=OB.ﻫ
(1)如图1,求点B的坐标;
(2)如图2,AD⊥y轴于D,M为OB的中点,求DM的长;
2.已知点A、B分别在x轴、y轴上,OA=OB,点C为AB的中点,AB=12
(1)如图1,求点C的坐标
(2)如图2,E、F分别为OA上的动点,且∠ECF=45°
(3)在图2中,若点E的坐标为(3,0),求CF的长