考试技巧Word格式.docx
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理解符号所表示的数量关系和变化规律；
会进行符号间的转换；
能选择适当的程序和方法解决有符号表示的问题。
在小学阶段，主要表现在前半部分。
问题2：
符号化思想的重要作用是什么？
※符号的重要性——符号无处不在，且便于交流。
数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。
英国著名数学家罗素说过:
“什么是数学?
数学就是符号加逻辑。
”这充分表明了数学与符号的关系。
同时符号也为世界交流提供了便利，如，面对一个普通的数学公式:
C=2πr,任何具有小学文化程度的人,无论他来自地球的哪一方都知道它表示的意思。
※符号的重要性——符号简明，且易于推理。
符号化思想对数学的发展起着重要的推动作用。
系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。
比如，在《九章算术》里，古代数学家对数学题是一题一题地处理，思维停留在算术水平上。
符号化思想形成后，算术思维上升为代数思维，就可以将很多问题转化为方程的研究，按照未知量的个数或次数的不同进行分类处理。
又如，对于简单的代数式“（10＋x）2＝100＋20x＋x2”，若用古代文字表达则叙述得冗长繁杂。
简洁、准确的符号化思想避免了日常语言的含糊性与歧义性，使数学思维能清晰、准确地进行。
正像前面所说，数学发展到今天，已成为一个符号化的世界，符号就是数学存在的具体化身。
怀特海曾说：
“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。
”不难看出数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。
如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。
问题3：
小学数学教材中符号化思想体现在哪些方面？
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透，这种思想的渗透是根据不同教学阶段的具体情况进行的。
主要从以下几个方面作了有计划、有步骤的安排。
1.引入了一些数学符号
小学数学教学中大致出现的如下几类符号：
（1）个体符号
如数字：
1、2、3、4…,0；
字母：
a、b、c…，
已知量：
常量：
π
变量：
x
习惯表示：
梯形的上底a、下底b、高h
（2）表示一类数的符号
表示小数、分数、负数、百分数（“.”、“——”、“－”、“％”）
（3）数的运算符号：
＋,－,×
÷
（/、∶）
（4）关系符号:
=,≈,>
<
≠等。
（5）结合符号（体现运算等级）
（）、[]、{}
（6）表示角度的计量单位和等符号。
这些符号的引入是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、符合一定的逻辑、有步骤的引入的。
例如，初入学儿童在学习1―5的认识时,教材并没有直接呈现1到5这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们，而是通过实物、画片，在具体情境中数“出1”头象，“2”头犀牛,“3”只长颈鹿，“4”朵云……，然后呈现数,这样能使学生把物和数字符号对应起来，让学生充分认识到数学符号所表示的意义，为学生以后的数学学习奠定了基础。
这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。
2.用符号代表数
引进用字母表示数，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。
用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。
在数学语言中，像数字以及表示数字的字母，表示点的字母，运算符号，关系符号等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。
从第二学段学生开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。
从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，是实现认识上的一个飞跃。
用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。
比如，四年级下册第三部分——运算定律与简便运算，教材的第28页陈述加法交换律时，除运用日常语言外,还用了数学符号语言，即字母等式“a+b=b+a”。
在陈述加法结合律时也用了字母表达式“（a+b）+c=a+（b+c）”，另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。
显然，它比用具体的数表示更加概括、明确，比用日常语言表示更加简明、易记。
乘法分配律亦如此，（a+b）×
c=a×
c+b×
c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……
又如长方形的面积计算公式s=a×
b，平行四边形的面积公式s=ah。
通过以上各阶段的逐步过渡,学生将逐步领会用字母表示数的优越性,符号化思想也逐渐地初步形成。
3.用符号代表图形
如，在三年级（上）《数学广角》中安排比赛场次的问题,学生既可以按照书上的方法把4个国家的旗子画出来，也可以用简单的符号代替各个国家，示意性的安排比赛场次.
4.变元
变元（代数）在早期的主要特征是以文字为主的演算，到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。
小学数学教科书在不同阶段,对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透,
以便让学生逐步了解变元思想。
如，在不等式中用□或（）代表变元符号x，让学生填数。
虽然这样的题目只要求学生在“空格”中填一个数，但若将□或（）换成x，则上述题目就是一元一次方程，这即是变元思想。
可以说变元思想是列方程解应用题的基础。
学生一旦理解掌握了变元思想，那么对以后学习列方程解应用题将有很大的帮助。
5.用符号列方程，解决问题（以符号来表示未知数，以顺应的思路解决问题，符号的作用是使思考问题更简单）。
用方程来解应用题，解法本身蕴含着符号化思想，它主要体现在如下几个方面:
（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算；
（2）代数翻译，把题中的自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。
（3）解代数方程。
把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的。
例如，解上面的应用题“每分钟浪费多少水?
”解决这道题时，首先就应该进行代数假设，用字母x代替每分钟浪费多少水，这就是用字母代替未知数，与已知数平等的参与运算；
其次，是进行代数翻译，把题中的自然语言表达的已知条件，译成用符号化语言表述的方程30X=1800；
最后，把字母看成已知数进行四则运算，达到求解的目的。
整个分析，解题过程,都涉及到了用字母代表数,变元思想等等,可以说是符号化思想在数学中的集中体现,对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。
新课标下的小学数学教材,把应用题的学习放在第三学段,一方面考虑到小学生的年龄思维特点,另一方面也根据符号化思想在数学教材中的渗透,把符号化思想提升到了一个新的高度。
综观小学数学教材,在符号化思想的渗透上,从最初的数学符号的引入,接着渗透了变元思想,然后到用字母符号代表数,最后过渡到列方程解应用题,有步骤,有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合,可以说新教材设计的思路相当清晰,编制的也相当的完美。
二、小学数学中渗透数与形结合思想的教学策略
（一）小学数学教学中的数与形结合思想
问题1：
什么是数与形结合思想？
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，这就是数与形结合思想。
※数学家华罗庚曾说过：
“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。
※美国数学家斯蒂恩也曾说过：
“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法”
※要看到图形，借助数看图形！
※要看到数，借助图形看数！
※把数学画出来！
※把事物量出来！
由此可见，数与形结合思想在数学学习过程中的作用：
※促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展
※沟通了数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征
它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
问题2：
小学数学教材中数与形结合思想体现在哪些方面？
对于数与形结合思想，小学阶段主要是引导学生利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。
主要在以下几个方面有所体现。
（1）数的表示
用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；
（2）计算中的形
运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。
（3）解决问题中的形
※画线段图表示数量关系。
※解决问题的直观策略
（3）统计中的图形
条形统计图直观地反映出数量的多少，折线统计图形象地表示数量发展的趋势，扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。
（4）函数的多重表示及坐标系
在小学数学教材中对于坐标系的认识是分阶段分步骤进行的：
由确定位置开始把学生的视角由一维引领到二维，为后边的认识坐标系，感受正、反比例的特性奠定基础。
结语：
对于我们的课堂不是没有思想的火花，而是缺少错落有致的思想之花；
对于我们的课堂不是没有思想的枝叶，而是缺少绚丽多枝的思想之树。
引领学生生发一种对数学思想的钟爱、对思维的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课堂的价值所在。
让我们一起追寻数学思想引领下的数学课堂，追求一种数学教育理想至真、至善、至纯的数学新境界，让思想的灵魂永驻我们的课堂。
案例名称：
《解决问题练习课》
讲课教师：
付春红（北京市朝阳区南湖东园小学）
指导教师：
孙佳威（北京市朝阳区教育研究中心）
评课教师：
孙佳威（北京市朝阳区教育研究中心）
【教学设计】
教学内容：
解决问题练习课（一年级上册）
教学目标：
1.通过整体部分之间关系的复习与沟通，使学生能够根据图意，正确地分析数量关系，并列出算式，在解决问题中初步感悟应用题的结构。
2.通过引导学生由实物图向线段图过渡，使他们初步感悟应用题的结构，逐步提高学生解决问题的能力。
3.通过对比分析，使学生初步感悟辨证看问题的意识。
教学重点：
初步感悟应用题的结构。
教学难点：
理解线段图表示的含义，正确分析数量关系。
教学过程：
一、复习巩固整体与部分之间的关系。
直接出示图
（1）仔细观察，你看到了什么？
（2）1朵黄花、3朵红花之间有什么关系？
（3）你能根据它们之间的关系列出算式吗？
小结：
由图中我们可以看出，把1和3这两部分合并起来是4，从4这个整体里去掉1这部分就是3那部分，去掉3这部分就是1那部分。
二、应用整体部分之间的关系解决问题。
1．出示大括号和“？
”
（1）谁能看图完整的说说图意？
（2）这道题告诉了我们什么？
让我们求什么？
（3）求一共有多少朵，怎么想？
（4）怎样列式？
（5）在这个算式中1/3/4表示什么意思？
1+3=4，这个算式表示什么意思？
2．移动问号位置求一部分
（1）这题你知道了什么？
让我们求什么问题？
（2）求右边有几朵红花怎么想？
（3）你会列试计算吗？
（4）1/3/4表示什么意思？
这个算式表示什么意思？
3.移动问号位置求另一部分
（1）这个题你又知道了什么？
求什么？
（2）求这个问题你会列个算式吗？
（3）你干吗要用减法计算？
4.对比
（1）横比：
都是小花的事，这边怎么能列出4个算式，而这边的每幅图都只能
却列出了一个算式呢？
看来，问号很重要，有了问号就有了明确的问题。
指第一副图：
解决“一共有多少朵花”这个问题，至少需要几个和它有关系的数量？
指第二副图：
解决“有几朵黄花这个问题”，至少需要几个和它有关系的数量？
指第三幅图：
这个呢？
看来要解决一个问题，至少需要2个和它有关系的数量，知道了2个有关系的数量就可以解决一个和它有关系的问题。
三、利用线段图渗透应用题结构。
1．出示苹果图：
（1）仔细观察，你看到了什么？
（2）还是这个图，我们还可以把它变一变。
解释：
左边的这3个红苹果黄花还可以用这样一条线段表示。
这条线段表示什么？
右边的这5个黄苹果可以用一条线段表示。
这条线段上，一共的6个苹果在哪呢？
（3）追问：
谁来指指，2个红苹果、4个黄苹果、一共的6个苹果都在这条线断的哪呢？
（标大括号和2个）（标大括号和5个）（标大括号和8个）
（4）你能看着图说一说2、4、6之间的关系吗？
2．仔细观察，看看有什么变化？
你能说说这幅图的意思吗？
求一共有多少个苹果你应该怎么想？
怎样列式？
3．这个图呢？
求有几个红苹果你怎么想？
4．变图，要求同上。
在前面的学习中，我们可以看出，3个数量之间的关系可以用实物图表示，也可以用这样的线断图来表示。
5．仔细观察：
这3幅图有什么相同的地方？
（都给出了2个信息或者数量，都要求一个问题）
都是给出了2个信息，让我们求一个问题，那它们有什么不同的地方？
要求的问题不同，我们知道的信息就不同，知道的信息不同，解决的问题也就不相同了。
（对着图去说）
总结：
在这节课中，我们进一步巩固了一步问题的结构，知道了2个有关系的信息，就能求出一个和它有关系的问题，要求出一个问题，就要至少找到2个和它有关系的信息。
【课堂实录】
【案例评析】
解决问题教学是小学阶段数学教学的一项重要内容，解决问题是一个教学活动，也是学生的一个数学学习过程。
学生在解决问题的过程中需要通过一定的方式和手段帮助他们明确问题的结构特点，信息所表达的意思，这样他们才能够清晰的描述数量关系，正确的解决问题。
可以说学生解决问题的过程是对他们数学能力的检验，更是对教师教学过程优劣的拷问。
本节课是一节简单的解决问题的训练课，教师力求通过一定的方式帮助学生初步认识简单问题的结构、理解整体与部分之间的关系，从而为他们解决问题能力的发展奠定一定的基础。
本节课的特点在以下几个方面有所体现：
1.具体
抽象，注重提升学生的思维水平。
在前期的学习中，学生对于整体和部分的关系大都是通过具体的实物或者模型来理解和认识的，他们的思维水平只是停留在具体的形象的支撑上，比如：
左边有3朵红花，右边有2朵黄花，一共有5朵花，学生不管是分析的整体和部分的关系还是分析条件和问题的关系，都要借助具体的实物的支撑。
随着学习的深入和数域的扩展，这样的思维方式将开始受到局限，所以本节课教师开始有意识的引导学生从具体逐步过渡到抽象。
这由教学的2个明显的层次可以看出来：
第一层利用直观实物图的形式让学生来理解三个数量间的含义，而在第二层中让学生在半直观图中来认识简单问题的结构并分析数量之间的关系，接下来的训练课，教师将逐步过渡到纯粹的线段图。
这样的一个过程，学生的数学视角将逐步由具体直观走向抽象，学生思维的水平也就会越来越高。
2．物
图
式，注重渗透数学思想。
本节课的设计，教师非常注重数学思想的渗透。
这从教学环节的精心设计中可以看出来。
在开始的环节中教师始终引导学生根据实物图来说数量关系，然后引导学生把实物图和线段图进行沟通，建立联系，这样学生眼中的数学就不仅仅是花、苹果之类的实物了，而是把具体的形象转化为了长长短短的线段，学生在越来越抽象的过程中把握的是数量关系的实质。
当我们最终引导学生用算式来表达半直观的线段图表达的数量关系后，其实也就是向学生传递了符号化思想，用简单的符号来代表烦杂的语言和关系，正是符号化思想的精华与内涵所在。
而在这个过程中，学生会不断的沟通物——图——式的关系，进行区别、建立联系，数与形也就印在了孩子们的头脑中，学生将会尝试着用简洁的线段图的方式来表达复杂的数学语言和数量关系，数形结合思想也就悄然植根于孩子们的头脑中了
3.图
语言，注重把握应用题结构。
授课过程中教师始终借助“实物图和实物与线段相结合的图”来进行引导：
知道了什么？
使得学生在眼、脑、耳、口的并用中，把所见、所想、所听、所说融会贯通，逐步加深对“2个有关系的条件，才能解决一个和它们有关系的问题”的认识，而在这个过程中学生逐步加深了对简单问题的结构的认识，从而更加清晰地把握住了条件和问题之间的关系。
我们都知道抓住“问题的结构”有利于数量关系的理解，问题结构越清晰，数量关系就越透彻。
一节好课是什么样子的？
我想，其实很简单，那就是：
让孩子知识更丰厚、让孩子能力更强大、让孩子思维更缜密、让孩子思想更深邃。
【参与人员】
范存丽：
北京教育科学研究院基础教育教学研究中心
孙佳威：
北京市朝阳区教育研究中心小学数学
付春红：
小学高级教师，北京市数学骨干教师
【话题】
1．“数的认识”教学中如何渗透符号化思想
在数的认识的教学中，我们首先要结合认数教学使学生体会到一个数字代表的是一类实物的数量，随着年级的增高，要让学生逐步体会到数字本身就是一个符号，它除了代表一个具体数量外，还可以代表更加丰富的信息，与此同时逐步通过各种实践活动使学生体会到数字代表符号的简洁性与通用性。
2．“式与方程”教学中如何渗透符号化思想
小学数学教科书在不同阶段,通过“式与方程”内容的教学来渗透符号化思想。
低年级的教学中通过“（）+5>
13”这样的问题，让学生感受“（）”里可以填很多数，这些数可以有规律的进行排列等，让学生体会变元思想，与此同时激发学生对于符号表示数的兴趣。
这样的渗透对于高年级学习用符号表示数和列方程解应用题有很大的帮助。
列程来解应用题,解法本身就蕴含着符号化思想,它主要体现在如下几个方面:
（1）代数假设,用字母代替未知数,与已知数平等地参与运算；
（2）代数翻译,把题中的自然语言表述的已知条件,译成用符号化语言表述的方程。
把字母看成已知数,并进行四则运算,进而达到求解的目的。
在这些知识传递的过程中，教师要通过一定的方式和手段使学生充分感受到字母的魅力所在。
3．“解决问题”教学中如何渗透数与形结合思想
数与形结合思想的渗透对于学生的数学学习有着非常重要的作用，但是培养学生“把数学画出来的”兴趣和习惯比较困难。
针对一线教师的一些想法和关注点，结合几个代表性的案例，针对小学阶段渗透数与形结合思想的步骤与方法进行了梳理：
（1）引导学生用图画表达数学信息。
（2）引导学生用简单的符号表示数学信息。
（3）创设辨析的情景引领学生感悟画图的价值。
（4）引导学生感受不同的画图方式都可以表达数量关系。
（5）鼓励学生画个性化的图来表达数量关系。
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