试一试：
教材P125练习1T4你会吗？
P125例4.通过此例学习，学会利用二倍角公式解决平面图形
的面积最值问题．
试一试：
教材P129习题3－3B组T5你会吗？
1．二倍角公式
名称
简记符号
公式
适用范围
二倍角的正弦公式
S2α
sin2α＝2sin_αcos_α
α∈R
二倍角的余弦公式
C2α
cos2α＝cos2α－sin2α
＝1－2sin2α
＝2cos2α－1
二倍角的正切公式
T2α
tan2α＝
α≠＋kπ，α≠
＋，
其中k∈Z
2.倍角公式的变形
（1）因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为
cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；①
或cos2α＝，sin2α＝.②
其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．
（2）常用的两个变形：
（sinα＋cosα）2＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝1＋sin2α，
（sinα－cosα）2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－sin2α.
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．（ ）
（2）存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．（ ）
（3）对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．（ ）
解析：
（1）错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ（k∈Z）且α≠＋kπ（k∈Z），故此说法错误．
（2）正确．当α＝kπ（k∈Z）时，sin2α＝2sinα.
（3）错误．当cosα＝时，cos2α＝2cosα.
答案：
（1）×
（2）√ （3）×
2.的值为（ ）
A．－B．
C.D．－
解析：
选B.原式＝
＝＝＝.
3.＝________．
解析：
原式＝×＝tan30°＝.
答案：
4．若sinα＝，则cos4α－sin4α＝________.
解析：
cos4α－sin4α＝（cos2α＋sin2α）（cos2α－sin2α）
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
答案：
对倍角公式的三点说明
（1）前提：
所含各三角函数有意义．
（2）联系：
公式S2α，C2α，T2α是在公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．
（3）倍角公式中的“倍角”的相对性：
对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
化简求值
求下列各式的值：
（1）coscos；
（2）－cos2；
（3）tan－.
（链接教材P128习题3－3A组T1）
[解]
（1）原式＝
＝＝
＝＝.
（2）原式＝＝－
＝－cos＝－.
（3）原式＝＝－2·
＝－2×＝＝－2.
方法归纳
解答本类题的关键是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等．分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想相应的公式，从而找到解题的切入点，正确运用公式，同时活用、逆用公式，把所给角的三角函数值转化为可求值的特殊角的三角函数值．
（1）计算：
＝________.
（2）求下列各式的值：
①coscosπ；
②2cos2－1；
③.
（3）求sin6°sin42°sin66°sin78°的值．
解：
（1）原式＝
＝＝.故填.
（2）①原式＝cossin＝×2cossin
＝sin
＝.
②原式＝cos＝cos＝.
③原式＝tan300°＝tan（360°－60°）
＝－tan60°
＝－.
（3）原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝.
给值求值
（1）已知α∈，sinα＝，则sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________.
（2）已知sinsin＝，且α∈，求tan4α的值．
（链接教材P124例1，例2）
[解]
（1）因为α∈，sinα＝，
所以cosα＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，tan2α＝＝－.故填－，，－.
（2）因为sin＝sin＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，所以sin＝，
所以cos2α＝.因为α∈，所以2α∈（π，2π），
从而sin2α＝－＝－，
所以tan2α＝＝－2，
故tan4α＝＝－＝.
把本例
（1）中的条件“sinα＝”改为“sinα＋cosα＝”，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
解：
因为sinα＋cosα＝，
所以（sinα＋cosα）2＝，
即1＋2sinαcosα＝，sin2α＝2sinαcosα＝－.
因为α∈（，π），所以cosα<0，所以sinα－cosα>0，
所以sinα－cosα＝＝＝，
所以cos2α＝cos2α－sin2α＝（cosα＋sinα）（cosα－sinα）
＝×＝－，
所以tan2α＝＝.
方法归纳
（1）从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：
一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
（2）另外，注意几种诱导公式的应用，如：
①sin2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos2x＝sin＝sin
＝2sincos；
③cos2x＝sin＝sin
＝2sincos.
2．
（1）已知sin＝，则cos的值等于（ ）
A. B.
C．－D．－
（2）已知cosα＝－，sinβ＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin2α的值；②求cos（2α＋β）的值．
解：
（1）选C.因为cos
＝sin
＝sin＝，
所以cos
＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
（2）①因为α是第三象限角，cosα＝－，
所以sinα＝－＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.
②因为β∈，sinβ＝，
所以cosβ＝－＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos（2α＋β）＝cos2αcosβ－sin2αsinβ
＝×－×＝－.
二倍角公式在实际中的应用
焊接工王师傅遇到了一个难题：
如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？
最大面积为多少？
（链接教材P125例4）
[解] 连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，OH＝cosα，AH＝sinα，所以BH＝＝sinα，所以OB＝OH－BH＝cosα－sinα，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝·sinα＝sinαcosα－sin2α＝sin2α－（1－cos2α）＝sin2α＋cos2α－＝－
＝sin－.
由于0<α<，所以<2α＋<π，
当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝，
所以当A是的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．
方法归纳
解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和（差）角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．
3．如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，由B点到E点的方向前进30m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10m到D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
解：
因为∠ACD＝θ＋∠BAC，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30m.
又因为∠ADE＝2θ＋∠CAD，所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10m.
在Rt△ADE中，AE＝AD·sin4θ＝10sin4θ，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ，
所以10sin4θ＝30sin2θ，
即20sin2θcos2θ＝30sin2θ，所以cos2θ＝.
又因为2θ∈（0，），所以2θ＝，所以θ＝.
所以AE＝30sin＝15（m）．
所以θ＝，建筑物AE的高为15m.
规范解答
关于三角函数性质的综合问题
（本题满分12分）已知函数f（x）＝4cosωx·sin（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
[解]
（1）f（x）＝4cosωx·sin
＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx
＝（sin2ωx＋cos2ωx）＋
＝2sin＋.4分
因为f（x）的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.6分
（2）由
（1）知，f（x）＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.7分
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f（x）是递增的；9分
当<2x＋≤，即综上可知，f（x）在区间上是递增的，在区间上是递减的.12分
[规范与警示]
（1）对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式，不仅要熟练正用，还要逆用，变形应用．如本例中两个关键步骤：
即处由（sin2ωx＋cos2ωx）＋到2sin＋的变化．在处，对2x＋的范围进行判断．
（2）在判定函数单调性和求单调区间时，应在给定区间内求解，如本例中.
1．sincos的值等于（ ）
A．－＋ B.－
C．－－D．＋
解析：
选B.sincos＝sinsin＝sin2＝＝＝－.
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.B．
C.D．
解析：
选D.
由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，设∠BAD＝θ，
因为AB＝4BD，所以sinθ＝，
故cos∠BAC＝cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
3．已知α是第二象限的角，tan（π＋2α）＝－，则tanα＝________.
解析：
由tan（π＋2α）＝－，得tan2α＝－，
所以＝－.
因为α是第二象限的角，所以tanα<0，所以tanα＝－.
答案：
－
4．锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围是________．
解析：
因为
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