1、优化方案高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用新人教A版必修43二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用, )1问题导航(1)倍角公式对任意角都成立吗?(2)能否由S2,C2推出T2?(3)已知角的某个三角函数值,能唯一确定角2的三角函数值吗?2例题导读 P124例1,例2.通过此两例学习,学会正用倍角公式求值 试一试:教材P125练习1T2、T3你会吗? P125例3.解答本例应注意,在三角形的背景下研究问题,会 带来一些隐含条件,如0A,ABC等 试一试:教材P125练习1T4你会吗? P125例4.通过此例学习,学会利用二倍角公式解决平面图形 的面积最值
2、问题 试一试:教材P129习题33 B组T5你会吗? 1二倍角公式名称简记符号公式适用范围二倍角的正弦公式S2sin 22sin_cos_R二倍角的余弦公式C2cos 2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切公式T2tan 2k,其中kZ2.倍角公式的变形(1)因为sin2cos21,所以公式C2可以变形为cos 212sin22cos21;或cos2,sin2.其中公式称为升幂公式,称为降幂公式(2)常用的两个变形:(sin cos )2sin22sin cos cos21sin 2,(sin cos )2sin22sin cos cos21sin 2.1判断正误(正确的打“”
3、,错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角,使得sin 22sin 成立()(3)对于任意的角,cos 22cos 都不成立()解析:(1)错误二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求k(kZ)且k(kZ),故此说法错误(2)正确当k(kZ)时,sin 22sin .(3)错误当cos 时,cos 22cos .答案:(1)(2)(3)2.的值为()A BC. D解析:选B.原式.3._解析:原式tan 30.答案:4若sin ,则cos4sin4_.解析:cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin
4、212sin212.答案:对倍角公式的三点说明(1)前提:所含各三角函数有意义(2)联系:公式S2,C2,T2是在公式S,C,T中,分别令时,得到的一组公式,即倍角公式是和角公式的特例(3)倍角公式中的“倍角”的相对性:对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6是3的2倍,3是的2倍这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的化简求值求下列各式的值:(1)coscos;(2)cos2;(3)tan.(链接教材P128习题33 A组T1)解(1)原式.(2)原式cos.(3)原式222.方法归纳解答本类题的关键是抓住公式的特征,如角的关系、次数的关系等分析题设和结论中所具有的与公式相似
5、的结构特征,并联想相应的公式,从而找到解题的切入点,正确运用公式,同时活用、逆用公式,把所给角的三角函数值转化为可求值的特殊角的三角函数值(1)计算:_.(2)求下列各式的值:coscos;2cos21;.(3)求sin 6sin 42sin 66sin 78的值解:(1)原式.故填.(2)原式cossin2cossinsin.原式coscos.原式tan 300tan(36060)tan 60.(3)原式sin 6cos 48cos 24cos 12.给值求值(1)已知,sin ,则sin 2_,cos 2_,tan 2_.(2)已知sinsin,且,求tan 4的值(链接教材P124例1,
6、例2)解(1)因为,sin ,所以cos ,所以sin 22sin cos 2,cos 212sin212,tan 2.故填,.(2)因为sinsincos,则已知条件可化为sincos,即sin,所以sin,所以cos 2.因为,所以2(,2),从而sin 2,所以tan 22,故tan 4.把本例(1)中的条件“sin ”改为“sin cos ”,求sin 2,cos 2,tan 2的值解:因为sin cos ,所以(sin cos )2,即12sin cos ,sin 22sin cos .因为(,),所以cos 0,所以sin cos ,所以cos 2cos2sin2(cos sin
7、)(cos sin ),所以tan 2.方法归纳(1)从角的关系寻找突破口这类三角函数求值问题常有两种解题途径:一是对题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论(2)另外,注意几种诱导公式的应用,如:sin 2xcoscos2cos2112sin2;cos 2xsinsin2sincos;cos 2xsinsin2sincos.2(1)已知sin,则cos的值等于()A. B. C D(2)已知cos ,sin ,是第三象限角,.求sin 2的值;求cos(2)的值解:(1)选C.
8、因为cossinsin,所以cos2cos2121.(2)因为是第三象限角,cos ,所以sin ,所以sin 22sin cos 2.因为,sin ,所以cos ,cos 22cos2121,所以cos(2)cos 2cos sin 2sin .二倍角公式在实际中的应用焊接工王师傅遇到了一个难题:如图所示,有一块扇形钢板,半径为1米,圆心角,施工要求按图中所画的那样,在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC,要求使裁下的钢板面积最大试问王师傅如何确定A的位置,才能使裁下的钢板符合要求?最大面积为多少?(链接教材P125例4)解连接OA,设AOP,过A作AHOP,垂足为H,在RtAOH中,
9、OHcos ,AHsin ,所以BHsin ,所以OBOHBHcos sin ,设平行四边形ABOC的面积为S,则SOBAHsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin.由于0,所以20)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.4分因为f(x)的最小正周期为,且0,从而有,故1.6分(2)由(1)知,f(x)2sin.若0x,则2x.7分当2x,即0x时,f(x)是递增的;9分当2x,即x时,f(x)是递减的.11分综上可知,
10、f(x)在区间上是递增的,在区间上是递减的.12分规范与警示(1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式,不仅要熟练正用,还要逆用,变形应用如本例中两个关键步骤:即处由(sin 2xcos 2x)到2sin的变化在处,对2x的范围进行判断(2)在判定函数单调性和求单调区间时,应在给定区间内求解,如本例中.1sincos的值等于()A B.C D解析:选B.sincossinsinsin2.2如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为()A. BC. D解析:选D.由题设易知,等腰三角形的腰长是底边长的2倍,如图所示,在ABC中,ABAC,D为BC边的中点,设BAD,因为AB4BD,所以sin ,故cos BACcos 212sin212.3已知是第二象限的角,tan(2),则tan _.解析:由tan(2),得tan 2,所以.因为是第二象限的角,所以tan 0,所以tan .答案:4锐角三角形ABC中,若B2A,则的取值范围是_解析:因为
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1