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磁场分布测量
磁场分布测量
磁场的测量有许多方法，常用的有电磁感应法，半导体（霍耳效应）探测法和核磁共振法。
本实验使用的是电磁感应法测量磁场，它是以简单的线圈作为测量元件，利用电磁感应原理直接测量亥姆霍兹（Helmholtz）线圈产生的磁场。
值得一提的是本实验所使用的亥姆霍兹线圈在物理研究中有许多用处，如产生磁共振，消除地磁的影响等，获1997年诺贝尔物理奖的实验中，就有若干对这种线圈，因此熟悉这种线圈产生的磁场是很有意义的。
1.实验目的
（1）学习电磁感应法测磁场的原理；
（2）学习用探测线圈测量载流线圈的磁场的方法；（3）验证矢量叠加的原理；
（4）了解亥姆霍兹线圈磁场的特点。
2.实验原理
（1）电磁感应法测磁场
当导线中通有变化电流时，其周围空间必然产生变化磁场。
处在变化磁场中的闭合回路，由于通过它的磁通量发生变化，回路中将有感应电动势产生。
通过测量此感应电动势的大小就可以计算出磁场的量值。
这就是感应法测磁场的实质。
因为磁场是一矢量场，所以测量磁场的任务，就是要测出场中各点的磁感应强度的大小和方向。
为叙述简单起见，先假定有一个均匀的交变磁场，其量值随时间t按正弦规律变化
tBBmisin式中Bm为磁感应强度的峰值，其有效值记作B，ω为角频
率。
再假设置于此磁场中的探测线圈T（线圈面积为S，共有N匝）的法线n与Bm之间的夹角为θ，如图1所示，则通过T的总磁通φi为
cossintNSBNmiiBS由于磁场是交变的，因此在线圈中会出现感应电动势，其值为
coscostBNSdt
demi
（1）
如果把T的两条引线与一个交流数字电压表连接，交流数字电压表的读数U表示被测量值的有效值（rms），当其内阻远大于探测线圈的电阻时有
cosrmsBNSeU
（2）
从
（2）式可知，当N，S，ω，B一定时，角θ越小，交流数字电压表读数越大。
当=0时，交流数字电压表的示值达最大值Umax，
（2）式成为
（3）测量时，把探测线圈放在待测点，用手不断转动它的方位，直到数字电压表的示值达到最大为止。
把所得读数Umax代入（3）式就可算出该点的磁场值。
B的方向本来可以根据数字电压表的示值最大时探测线圈的法线n的方向来确定，但这样做磁场方向不容易定准，不如根据数字电压表读数为最小（实际为零）来判断磁场方向较为准确。
这是因为这时探测线
图1感应法测磁场原理图
圈的n与磁场方向垂直，而U对θ的导数在θ=π/2时最大。
值得指出的是，公式（3）是用普通的探测线圈在均匀场条件下得出来的。
如果磁场分布不均匀，情况就复杂多了。
用普通探测线圈只能测出线圈平面内磁感应强度法向分量的平均值，而不能测出非均匀磁场中各点的值，除非将探测线圈做得非常小，但这又会使NS很小而降低测量的灵敏度。
为解决这一矛盾，人们设计出一种特殊尺寸的圆柱形线圈，用它探测非均匀场时，保证平均场同探测线圈几何中心上的磁场相等。
这种线圈满足如下条件：
①线圈长度L和外径d0之比为0.72（或近似取为2/3）；②内径di不大于外径d0的1/3（本实验中取di=d0/3）；③线圈体积适当小。
这样，线圈的平均面积S为
2
0108
13dS
（4）
在上述条件下，将磁场在线圈中心附近用泰勒级数展开，可以求出通过线圈的总磁通φ和线圈中心磁感应强度B0的关系为
0NSB
（5）
这样，就可用B0和平均面积S代入（3）式，并将ω以2πf代入，可得
2
2max
2
max
02610813108fdNUdNUB
（6）
式中f为磁场变化的频率。
N和d0分别为探测线圈的匝数和外径，
Umax为感应电压最大值。
当Umax用V作单位、d0用m作单位时，
由（6）式求得的B0单位为T。
实验中所用的探测线圈外形图见图2。
当频率f和探测线圈一定时，（6）式可改写为
max0kUB
（7）
式中
2
226108
fdNk
（8）
（2）载流圆线圈和亥姆霍兹线圈的磁场
①载流圆线圈的磁场
设有一半径为R的线圈，通以电流，如图3所示。
根据毕奥-B。
它是一个非均匀磁场，其方向沿轴线方向，其量值为
2（9）
式中N0是圆线圈的匝数，R为圆线圈的平均半径，I为线圈中的电流（本实验中应以有效值代入），x为轴
线上观测点离圆线圈中心O的距离。
以上各量均采用SI单位，式中0=4π107
H/m（亨利每米）为真空磁导率。
②亥姆霍兹线圈的磁场
理论计算表明，如果有一对相同的载流圆线圈彼此平行且共轴，通以同方向电流I，当线圈间距a等于线圈半径R时，则两个载流线圈的总磁场在轴的中点附近的较大范围内是均匀的，这对线圈称为亥姆霍兹线圈，如图4（a所示。
轴上磁场分布的示意图如图4（b所示。
它在科学实验中应用较广泛，尤其是当所需均匀磁场不太强时，亥姆霍兹线圈能较容易地提供范围较大而又相当均匀的磁场。
图2圆柱形探测线圈
磁场在中点附近的均匀性证明如下：
各单个线圈在轴线上离二线圈中心O点的距离为x的一点处的磁场分别为：
2
32
2
2
0II2
32
2
2
0I2（2
2（2
axR
R
NI
BaxR
RNI
B
合成后在x=0处展开
20
220
0IIIdd!
21ddxxBxx
B
BBBBxx
对于这样的泰勒展开式，由于对称性可以证明所有奇次阶微分在x=0处均为零。
而对偶次阶，当a=R时
0dd0
2
2xxB，所以
404
04
401251441dd!
41RxBxxB
BBx
可知在轴线中心区磁场是很均匀的，例如在x=±R/3处，方括号中第二项为1.4%。
3.实验仪器
非均匀磁场测量仪器包括主体载流圆线圈、探测线圈以及给圆线圈供电的信号发生器、串进圆线圈供5所示。
①载流圆线圈：
两个完全相同的圆线圈I和II平行共轴地竖直装在仪器底板上，其间距可调可测，R=11.0cm。
每个线圈匝数N0=500匝。
I和II线圈的接线端分别在线圈下方支撑柱上，以红黑代表电流方向，线圈可单独通电，也可串联接通。
当间距等于R且串联同向通电时组成亥姆霍兹线圈。
圆线圈底板上另用支柱架设了有机玻璃板，其上用小孔定位了测量点的坐标，当探测线圈插入到测量孔位时，其中心轴线正好位于载流圆线圈轴线所处的水平面内。
图3载流圆线圈轴线上的磁场分布图4亥姆霍兹线圈轴线上的磁场
I
①
④
②
③
⑤
⑥
图5实验仪器①载流圆线圈②探测线圈③信号发生器④四位半数字万用表⑤采样电阻⑥双刀双掷开关②探测线圈：
见图2，线圈匝数约为5000匝（确切参数标在探测线圈上），外径d0=1.20cm，内径di=0.40cm，长度cm80.03
2
dL，圆底座上刻度分度为2°，在垂直于线圈法线的方向上刻有一个小箭头，
以便测出磁场的方向。
实验时载流圆线圈供电选正弦信号，频率范围
300~500Hz，电流5~10mA（调信号发生器的峰峰值以改变电流）。
数字万用表选交流200mV档并配合双刀双掷开关用以兼测采样电阻上的电压与探测线圈的输出。
4.实验任务
（1）分别测量两个单个圆线圈通电流时沿轴线方
向的磁场分布，并测出轴外M点的磁感应强度的大小和方向。
按矢量叠加原理算出合磁场。
自拟实验线路，通以5~10mA左右的相同电流，采样电阻Rs值标在电阻盒上。
各测量点间隔为1cm。
将两个圆线圈Ⅰ和Ⅱ串接起来，仍通以相同的电流，测量沿轴线上各点的磁场分布，并测出轴外M点的磁场大小和方向。
将此结果与上面分别测得的单个线圈通电时的磁场叠加后的结果加以比较，验证磁感应强度的大小和方向是否符合矢量叠加原理。
（2）测量亥姆霍兹线圈轴线附近的磁场分布情况。
除已测得的轴上各点的磁场外，再在轴线中点附近两侧各测若干点（4－8点）的磁感应强度大小和方向。
将所有数据进行比较，可粗略地了解亥姆霍兹线圈轴线附近一定区域内磁场的均匀情况。
（3）线圈Ⅰ单独通电时，测量线圈平面内中心O点和边缘Q点的磁感应强度的大小和方向。
（4）圆线圈Ⅰ和Ⅱ通以反相电流，或改变圆线圈Ⅰ和Ⅱ的间距，测量轴线上几个点的磁感应强度大小和方向。
5.数据表格与数据处理先记录下列参数：
圆线圈编号，圆线圈匝数N0R＝。
探测线圈编号，探测线圈匝数N=，外径d0＝cm。
采样电阻Rs，Rs上电压大小RsI＝
（1）测量圆线圈轴线上各点磁场及验证矢量叠加原理的数据表格参考如下：
①表格中指磁场方向与圆线圈轴线方向的夹角，记录角时应标明磁场相对于轴线的正方向。
测量磁场方向时，M点必须测，其他点只要测3－4个有代表性的点即可。
②对单个圆线圈轴上各点的磁场分布，应画出B-x曲线。
并比较实验值与由（9）式算得的理论值二者
之间是否一致。
③从轴外点M的测量数据出发，验证矢量叠加原理。
报告中要有该点处B的矢量合成图和B的大小、方向计算过程。
（2）测量亥姆霍兹线圈磁场情况。
数据表格自拟。
根据这些测量结果，对其磁场均匀情况作一简单的说明。
（3）记下圆线圈平面内Q点的磁感应强度的大小和方向，比较O、Q两点中哪一点的B值大，并定性说明其理由。
（4）圆线圈Ⅰ和Ⅱ通以反相电流，或改变圆线圈Ⅰ和Ⅱ的间距，记录实验数据并计算结果，并与理论分析结果相比较。
6.思考题
（1）电磁感应法测磁场的原理是什么？
本实验测磁感应强度的计算公式是什么？
（2）用探测线圈测磁场时，探测线圈输出电压的极大值可确定磁场的，输出为极小值时探测线圈的方位可用来判断磁场的。
（3）亥姆霍兹线圈是怎么组成的？
其基本条件是什么？
它的磁场特点是什么？
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