向量与坐标知识点总结文档格式.docx

向量与坐标知识点总结文档格式.docx

《向量与坐标知识点总结文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量与坐标知识点总结文档格式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

A（X1,Y1）B（X2,Y2），则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2） 

　　简单地讲：

向量的加减就是向量对应分量的加减。

类似于物理的正交分解。

向量加法的运算律：

交换律：

a+b=b+a；

结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）。

减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

OA-OB=BA.即“共同起点，指向被

向量的减法

减”

a=（x,y）b=（x'

y'

）则a-b=（x-x'

y-y'

）.

如图：

c=a-b 

以b的结束为起点，a的结束为终点。

a+（-b）=a-b

1.3向量的数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。

当λ>

0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<

0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：

按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>

1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>

0）或反方向（λ<

0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣<

0）或×

×

反方向（λ<

0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律

（λa）·

b=λ（a·

b）=（a·

λb）。

向量对于数的分配律（第一分配律）：

（λ+μ）a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：

λ（a+b）=λa+λb.

数乘向量的消去律：

①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：

向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。

1.4向量的线性关系与向量的分解

如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数c1,c2,...,cn∈F，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，那么其中有限多个向量v1,v2,...,vn称为线性相关的.

反之，称这组向量为线性无关的。

更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。

分解定理

平面向量分解定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。

定比分点公式

定比分点公式（向量P1P=λ·

向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个任意实数λ且λ不等于-1，使向量P1P=λ·

向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1），P2（x2,y2），P（x,y），则有

OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）；

（定比分点向量公式）

x=（x1+λx2）/（1+λ）,

y=（y1+λy2）/（1+λ）。

（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三向量共面的充要条件是他们线性相关

空间任何四个向量总是线性相关

空间四个以上向量总是线性相关

1.5标架与坐标

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。

含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。

在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。

空间向量的八个卦限的符号

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ

x

+

-

y

z

空间的一个定点O，连同三个不共面的有序向量e1，e2，e3的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O；

e1，e2，e3}。

如果e1，e2，e3都是单位向量，那么{O；

e1，e2，e3}就叫做笛卡儿标架。

两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。

在一般情况下，{O；

e1，e2，e3}叫做仿射标架。

标架一般是完全决定空间坐标系来用的，所以空间坐标系也可以用标架{O；

e1，e2，e3}来表示，这时候点O就可以叫做坐标原点，而向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。

当空间取定标架{O；

e1，e2，e3}后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的一个坐标系。

此时，向量或点关于标架{O；

e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由这标架所确定的坐标系的坐标。

标架是空间坐标系的向量化。

笛卡尔坐标系（Cartesian）-系统用X、Y和Z表示坐标值。

柱坐标系（Cylindrical）-系统用半径、theta（q）和Z表示坐标值。

球坐标系（Spherical）-系统用半径、theta（q）和phi（f）表示坐标值。

1.6向量在轴上的射影

设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为A’和B’，那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量，记做射影向量lAB

射影lAB=|AB|COSθ，θ=∠（l，AB）

1.7两向量的数量积

定义：

已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·

b。

若a、b不共线，则a·

b=|a|·

|b|·

cos〈a，b〉（依定义有：

cos〈a,b〉=a·

b 

/|a|·

|b|）；

若a、b共线，则a·

b=±

∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：

a·

b=x·

x'

+y·

y'

。

向量的数量积的运算律

b=b·

a（交换律）

b）（关于数乘法的结合律）

（a+b）·

c=a·

c+b·

c（分配律）

向量的数量积的性质

a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·

b=0。

|a·

b|≤|a|·

|b|。

（该公式证明如下：

b|=|a|·

|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·

|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：

（a·

b）·

c≠a·

（b·

c）；

例如：

b）²

≠a²

·

b²

2．向量的数量积不满足消去律，即：

由a·

b=a·

c（a≠0），推不出b=c。

3．|a·

b|与|a|·

|b|不等价

4．由|a|=|b|，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

1.8两向量的向量积

两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

（外积、叉积）是一个向量，记作a×

b（这里“×

”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·

”不同，也可记做“∧”）。

若a、b不共线，则a×

b的模是：

∣a×

b∣=|a|·

sin〈a，b〉；

a×

b的方向是：

垂直于a和b，且a、b和a×

b按这个次序构成右手系。

若a、b垂直，则∣a×

b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×

b=0，则a、b平行。

向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：

运用三阶行列式

设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量

A=（x1,y1,z1）B=（x2,y2,z2）则A*B=

abc

x1y1z1

x2y2z2

向量的向量积性质：

b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a=0。

a平行b〈=〉a×

b=0

向量的向量积运算律

b=－b×

a

（λa）×

b=λ（a×

b）=a×

（λb）

（b+c）=a×

b+a×

c.

（a+b）×

c=a×

c+b×

上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。

在演算中应注意不能交换“×

”号两侧向量的次序。

如：

（2b）=b×

（2a）和c×

（a+b）=a×

c都是错误的！

向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

1.9三向量的混合积

给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×

b，再和向量c作数量积（a×

c，

向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a,b,c）或（abc），即（abc）=（a,b,c）=（a×

c

混合积具有下列性质：

1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；

当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即（abc）=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；

当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2．上性质的推论：

三向量a、b、c共面的充要条件是（abc）=0

3．（abc）=（bca）=（cab）=-（bac）=-（cba）=-（acb）

例题

正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？

设AE=a﹙向量﹚,AG=a'

AD=c,AB=c'

CH=b,CK=b'

有aa'

=bb'

=cc'

=0,a2=a'

2,b2=b'

2,c2=c'

2,a'

b=ab'

a'

c'

=-ac,a'

c=ac'

bc=b'

.b'

c=-bc'

﹙*﹚EH=-a+c+c'

+bLB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'

-b﹚/2,GK=-a'

+c'

+c+b'

从﹙*﹚：

﹙-a-c+c'

-b﹚·

﹙-a'

﹚=……=0.∴LB⊥GK

1.10三向量的双重向量积

由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

二重向量叉乘化简公式及证明

向量积和数量积的关系式

给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系：

证明：

由混合积的性质可知

（即把c×

d看成一个新的向量e，利用性质（a×

e=a·

（b×

e））

再根据二重向量积的性质可知

该公式可用于证明三维的柯西不等式

令公式中a=c、b=d，则：

设

，那么：

即

等号成立的条件是

，即a、b共线（

或b=0）

第2章轨迹与方程