中考数学二轮专题复习专题10全等三角形相似三角形.docx

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中考数学二轮专题复习专题10全等三角形相似三角形

全等三角形、相似三角形

【近3年临沂市中考试题】

1.（2016•临沂T25）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．

（1）请判断：

FG与CE的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请作出判断并给予证明；

（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请直接写出你的判断．

2．（2015•临沂T18）

如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则_________

3.（2015•临沂T25）25（本小题满分11分）

如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（1）请判断：

AF与BE的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第

（1）问中的结论是否仍然成立?

请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第

（1）问中的结论都能成立吗？

请直接写出你的判断.

4.（2014临沂T25）

D

A

问题情境：

如图1，四边形ABCD是正方形，M是

E

BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分.

探究展示：

（1）证明：

；

M

C

B

（2）是否成立？

图1

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

拓展延伸：

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，

其他条件不变，如图2，探究展示

（1）、

（2）中的结

论是否成立？

请分别作出判断，不需要证明.

【知识点】

全等图形的性质：

全等多边形的对应边、对应角分别相等。

全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

1.一般三角形全等的判定

（1）边边边公理：

三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。

（2）边角公理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）。

（3）角边角公理：

两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“ASA”）。

（4）角角边定理：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“AAS”）。

2.直角三角形全等的判定

（1）利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．

（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）．

相似三角形的性质

1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似三角形的判定方法有：

1.平行与三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。

直角三角形相似判定定理

1．斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

【规律方法】

证明两三角形全等或相似基本方法步骤：

1．.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；

2．证明三角形全等首先找边，然后再看三角形满足怎样的条件，还需要证明什么条件；

3．从题目中分析每个条件能导出什么新的条件，或者能组合成什么有帮助的条件。

4．从问题倒着思考，考虑回答这个问题需要什么条件，而这个条件是否在题目中出现，或者是否可以重新推理出来、或者是否运用到什么定理、推论、公理、规律等。

5.当求两线段之比时，通常构造相似三角形得出对应边之比；

6.当出现如右图形时，要考虑三角形相似和三角形全等；

7．当出现“中点+中点”时，要联想到三角形中位线.

【中考集锦】

一、选择题

1.（2013贵州安顺，5,3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是：

（）

A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC

2.（2013河北，11，,3分）如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF=NM=2，ME=3，则AN=

A．3　　　　　B．4　　　C．5　　　D．6

3.（2013湖南湘潭，8，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连结AD、AE.如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为

A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD

4.（2013山东东营，10，3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）

5.（2013西宁市，6，3分）使两个直角三角形全等的条件是（）

A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等

C．一条边对应相等D．两条边对应相等

6.（2013贵州贵阳，8，3分）如右图，M是Rt△ABC的斜边BC上异

于B、C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，

这样的直线共有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

7.（2013浙江台州,10,3分）已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,现有两个判断：

①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2则△A1B1C1≌△A2B2C2

②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2

对于上述的连个判断,下列说法正确的是（）

A.①正确②错误B..①错误②正确C..①,②都错误D..①,②都正确

8.（2013重庆A卷，9，3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，

连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长

为（）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

9.（2013哈尔滨，9，3分）如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（　　）．

A．　　B．　　C．　　D．

10．（2013广西桂林，12，3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（）

A．y=2x+1B．y=x－2x2C．y=2x－x2D．y=2x

二、填空题

1.（2013湖南娄底，12，3分）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是

______________.（添加一个条件即可）

第1题第2题

2.（2013天津，14，3分）如图，已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段.

3.（2013黑龙江绥化，3，3分）如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD。

4.（2013黑龙江农垦牡丹江，13，3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件使△ABC∽△ACD.（只填一个即可）

5.（2013浙江台州,8,4分）如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且,则的值为（）

A.1∶B.1∶2C.1∶3D.1∶4

第4题第5题

6.（2013宁夏回族自治区宁，14，3分）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC＝4，下面四个结论：

①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1∶4；其中正确的有＿＿＿.（只填序号）

7．（2013浙江宁波，18，3分）如图，等腰直角三角形ABC顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D,E.当∽时，点E的坐标为

8.（2011山西，11，2分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2㎝，则AC的长为（）

9.（2011贵州遵义，10，3分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝900）,放置边长分别3,4,的三个正方形，则x的值为（）

10.（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在∆ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP＋BP＝______．

三、解答题

1.（2013吉林，20，7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°.延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE.

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）若AC=3cm,则BE=cm..

2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

3．（2011陕西，18，6分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：

△ADF≌△BAE．

4．（2011山东烟台，24，10分）

已知：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．

（1）求证：

AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：

BE＝AE＋CD．

5.（2013贵州铜仁，24，12分）如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18.

（1）求证：

△PAB∽△PCA；

（2）求证：

AP是⊙O的切线.

【特别提醒】

（1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在写比例式时出错，导致解题错误信息；

（2）在定理的实际应用中，常常忽视“夹角相等”这个重条件，错误认为有两边对应比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似。

（3）两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。

答案：

1、【答案】B

【考点解剖】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形常见判定方法是解题的关键。

【解题思路】已知AE=CF，可知AF=CE；又∠AFD=∠CEB，即知道一组对应边相等，一组对应角相等，因此添加的条件可以是任意一组对应角，或是加一组对应边且保证已知的对应角是夹角。

2、【答案】B.

【考点解剖】本题考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质，找出与所求线段有关的相似三角形是解答本题的关键．

【解题思路】由菱形对角线平分一组对角可得到∠FAN=∠EAM，由“两角对应相等的两个三角形相似”可得Rt△FAN∽Rt△EAM，由“相似三角形对应边成比例”列出含有AN的比例式，解之即可.