第六章 特殊平行四边形Word下载.docx
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简单说明理由
(师生共同分析完成、生板书)
五.
课后小结:
由学生谈谈(略)
六.
作业(略)
课题:
6.1矩形
(1)
教学目标:
1、经历矩形的概念、性质的发现过程;
2、掌握矩形饿概念;
3、掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”;
4、掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”;
5、探索矩形的对称性。
教学重点和难点:
教学重点:
矩形的性质
教学难点:
矩形的对称性的推理过程。
教学过程:
一、“合作学习”
如图,用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形。
思考:
(1)能摆成多少个不同的平行四边形?
它们有什么共同的特点?
(2)在这些平行四边形中,有没有面积最大的一个平行四边形?
说出你的理由?
(3)这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点?
量一量它的两条对角线的长度,你有什么发现?
教师在学生回答的基础上,引入新课题-----6.1矩形
(1)
二、讲解新课
1、矩形的概念
在上面“合作学习”和小学的知识基础上,引导学生归纳出矩形的概念:
有一角是直角的平行四边形是矩形
让学生举出三个日常生活中的矩形的实例。
2、矩形的性质
根据上面的定义提问:
(1)矩形是不是平行四边形?
(2)平行四边形是不是矩形?
(3)平行四边形的性质矩形有没有也具备?
(4)矩形有没有与平行四边形不同的性质?
教师在学生回答的基础上,引导学生得出:
矩形不但具备一般平行四边形的所有性质,还具备一般平行四边形没有的特殊性质:
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等。
教师根据矩形的性质2,画出图形,写出已知、求证,让学生独立完成性质2的证明。
已知:
如图,AC和BD是矩形ABCD的对角线;
求证:
AC=BD。
教师让学生独立完成证明过程,
让一位学生板演,教师是学生完成证明过程后,
进行点评指正。
3、讲解范例
例1、已知:
如图,在矩形ABCD中对角线AC、BD
相交于点O,∠AOD=120°
,AB=4cm。
(1)判断△AOB的形状;
(2)求对角线的长。
教师做启发性提问:
(1)矩形的对角线有什么性质?
(2)平行四边形的对角线有什么性质?
(3)有
(1)与
(2)可以知道,矩形的对角线被点O分成了四部分,OA、OB、OC、OD它们的大小关系是怎样的?
(4)从∠AOD=120°
,可以知道∠AOB是多少度?
由此可以看出△AOB是什么形状?
(5)从△AOB的形状可以知道对角线AC、BD与AB有什么关系?
教师在学生回答后让学生独立完成解题过程,让一位学生板演,教师最后进行点评指正。
4、矩形的对称性
教师根据例1,再通过作图的方式,说明矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴。
三、课堂练习
学生独立完成课本第134页的“课内练习”1、2两题的解题过程,让一位学生板演第1题的证明过程,教师巡视指导,最后进行点评指正。
四、课堂小结
1、矩形不但具备一般平行四边形的所有性质,还具备一般平行四边形没有的特殊性质是:
2、矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴。
五、布置作业
见作业本
教学后记:
6.1矩形
(2)
1、经历矩形的判定定理的发现过程;
2、掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”;
3、掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”。
矩形的判定
判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明。
一、复习引入
1、复习提问:
矩形的对边有什么性质?
角呢?
对角线呢?
(学生口答)
2、提问:
要判断一个四边形是矩形目前我们有什么方法?
在学生的回答后,引入新课—6.2矩形
(2)
1、“合作学习”
提问:
(1)命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么?
是真命题还是假命题?
要判定一个四边形四边形矩形只要说明几个角是直角?
(2)工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形,一种方法是量一量这个四边形的对角线是否相等。
你知道这是为什么吗?
学生讨论回答,在学生回答后引导学生得出:
要判断一个四边形是不是矩形,除了利用矩形的定义外,还有以下两个定理:
定理1、有三个角是直角的四边形是矩形;
定理2、对角线相等的四边形是矩形。
2、矩形判断定理的证明
(1)证明定理1
①定理的条件是什么?
结论是什么?
②在没有这个判定定理以前,我们要证明一个四边形是矩形,只能根据什么方法来证明?
③因此证明这个定理应该先证明什么?
再证明什么?
教师在学生回答后,让学生自己独立的完成证明。
(2)证明定理2
教师对照右边的图形,写出已知、求证如下。
在平行四边形ABCD在中,AC=BD;
平行四边形ABCD是矩形
①条件是什么?
②要证明一个四边形是矩形,根据矩形的定义,只需证明什么?
③要证明有一个角是直角,根据相邻的两个角互补,只需要证明什么?
于是就归结为证明怎样的两个三角形全等?
④如果选择要证明全等的两个三角形是△ABC和△DCB,它们已经满足哪些条件?
这些条件能证明它们全等吗?
根据是什么?
在学生回答后让学生口述证明过程,教师在指正的基础上同步板书,证明过程略。
例2、一张四边形的纸板ABCD的形状如图
(1),它的两条对角线互相垂直。
如果要从这张纸板中剪出一个矩形,并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上,可以怎么剪?
教师引导学生利用三角形的中位线定理,分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,任何再利用三角形的中位线定理进行证明,证明过程略。
学生独立完成课本第136页的“课内练习”1、2两题的解题过程,第1小题让学生口答,再让一位学生板演第2题的证明过程,教师巡视指导,最后进行点评指正。
针对判定一个四边形是矩形的判定方法进行小结,特别指出要利用判定定理2进行判定时要具备两个条件:
(1)这个四边形是平行四边形;
(2)对角线要相等。
这两个条件缺一不可。
第6章特殊平行四边形与梯形
目录
6.1矩形
(2)8
6.1矩形(3)11
6.2菱形
(1)13
6.2菱形
(2)15
6.3正方形18
6.4梯形
(1)20
6.4梯形
(2)23
6.1矩形
(2)
【设计理念】
根据新课程标准要求学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。
学生是学习活动的主体,教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。
结合八年级学生的实际情况,本节课教学过程的教学设计分以下几面:
1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间,让学生经历知识发生、发展的全过程,并能学以致用。
2、根据本节课的特点,适当、适量设置例题、习题。
使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。
3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。
4、学生积极参与到课堂教学中来,动手动口动脑相结合,使他们“听”有所思,“学”有所获.
【教材分析】
1.在教材中的地位与作用
生活中随处可见矩形,矩形的应用非常广泛。
矩形第二课时的一节也是后续几何知识学习的基础。
学生探索得出矩形判定的方法,为以后进一步研究其他图形奠定基础,与矩形相关的问题也是考查的热点。
2.对教材的处理
本节课主要是探索矩形判定的条件,应用矩形的判定定理解决相关问题。
利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。
转变学生的学习方式,使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程,亲身体验数学思想方法及数学观念,培养学生能力,促进学生发展。
在选题时,
遵循学生的认识规律,
照顾学生的接受能力,
配置由浅入深,
由易到难的练习题。
教学中,通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中,获得解决问题的经验,进行富有个性的学习。
3.教学目标
知识与技能:
通过探索与交流,逐渐得出矩形的判定定理,使学生亲身经历知识的发生过程,并会运用定理解决相关问题。
通过开放式命题,尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
过程与方法:
通过动手实践、合作探索、小组交流,培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。
情感态度与价值观:
在良好的师生关系下,创设轻松的学习氛围,使学生在数学活动中获得成功的体验,增强自信心,在合作学习中增强集体责任感。
4.教学重点与难点
重点:
探索矩形判定定理的过程及应用
难点:
矩形判定定理的应用
【教学方法与教学手段】
1.教学方法
探究发现、合作学习的方法
2.教学手段
采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习,提高学习效率。
【教学过程】
环节一:
创设情境、导入新课
通过上节课对矩形的学习,谁能回答以下问题
1、判定四边形是矩形的方法是什么?
(用定义)
(1)是不是平行四边形,
(2)再看它有无直角。
2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质?
(通过对矩形定义及性质的回顾,引出判定矩形除了定义外,还有哪些方法,导入新课。
)
环节二:
尝试发现,探索新知
活动一:
1、先请同学仅用手中量角器量一下图形(甲)(乙)中的四边形的角(有几个直角)。
甲乙
2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形,并说明理由。
(此问题的解决以动手实践,合作交流的形式进行,学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义,得出矩形的判定定理一。
教师以合作者的身份深入学生中,了解学生的探究进程并适当给予点拨。
最后教师进行适当板书进行推证、讲解。
在此过程中,全体同学可互相补充、互相评价,培养学生的语言表达能力、推理能力。
活动二:
教师提问:
矩形的对角线相等,相反对角线相等的四边形是什么图形?
在学生回答是或不是的情况下,让学生下例步骤进行探索。
1、画任意两条长度相等的相交线段,并把它们的四个顶点顺次连结,看是不是矩形?
2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段,并把它们的四个顶点顺次连结,看是不是矩形?
3、画两条长度相等并且互相平分的线段,并把它们的四个顶点顺次连结,看是不是矩形?
4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形,并说明理由。
最后通过教师演示动画,师生进行适当交流、归纳、讲解,得出矩形的判定定理二。
(此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行,通过此种互动过程,让全体学生参与其中,获得不同程度的收获,体验成功的喜悦)
活动三:
矩形的判定定理二的证明。
在平行四边形ABCD中,AC=BD,
平行四边形ABCD是矩形。
对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流。
(1)条件与结论各是什么?
(引出条件与结论的关系)
(2)使一个平行四边形是矩形,已学过什么方法?
(引出矩形的定义证明)
(3)要证明一个角是直角,根据平行四边形相邻两个角互补,只需证明什么?
(引出证明两个三角形全等)
(4)如何选择要证明两个三角形全等,它们的条件是否满足?
最后由学生说出整个证明的过程,教师进行适当的点评与板书。
当判定定理一、定理二得出后,让学生总结矩形的三种判定方法(定义,定理一与定理二),并对题设进行比较、区分,使学生进一步明确定理应用的条件。
环节三:
应用辨析,巩固定理
为了帮助学生巩固定理,应用如下:
应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形,你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题?
(这一题是由引入判定定理二改编而成的,主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题。
应用二、例题讲解
一张四边形纸板ABCD形状如图,它的对角线互相垂直。
若要从这张纸板中剪出一个矩形,并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上,可怎么剪?
对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明“依次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验,使学生联想到连结四边形ABCD的两条对角线,然然后运用中位线定理,这样就解决了这个问题。
应用三、
练习一、判断题:
1、内角都相等的四边形是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
4、一组邻角相等的平行四边形是矩形。
5、对角互补的平行四边形是矩形。
练习二:
如图AC,BD是矩形ABCD的两条结角线,AE=CG=BF=DH。
四边形EFGH是矩形。
(练习一,二是课内练习,主要为加强学生对所学定理的理解和掌握,
使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件,辨析判定定理的题设,以便更好地应用定理。
这两个问题的解决分别应用所学定理,使学生能够学习致用。
这两道题的解决方法是先采用独立完成形式,有困难的学生可以求助老师或同学,学生互助完成,派学生代表板书讲解。
环节四:
反思小结,体验收获
今天你学到了什么?
谈谈你的收获。
(再现知识,教师点评,对学生在课堂上的积极合作,大胆思考给与肯定,提出希望。
6.1矩形(3)
【教学目标】
1.进一步掌握矩形的性质及判定的应用
2.理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明
3.会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.
【教学重点、难点】
Ø
重点:
本节教学的重点是进一步掌握矩形的性质及判定的应用.
难点:
定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点.
一.复习旧知:
1.矩形的定义.(请下游同学回答)
2.矩形的两个性质定理.(请中下游同学回答)
3.矩形的两个判定定理.(请中下游同学回答)
4.师生一起回答:
有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.
5.师生共同回忆:
”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
二.新课讲授:
1.下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程.
启发引导如下:
1.帮助学生根据题意,画出图形.
2.根据图形,写出已知和求证.(上游生回答).
3.回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题.(上游生回答).
4.如何在图中画出2倍的CD.(中游生回答).
5.延长CD到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等.(中游生回答).
6.现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法.(上游生回答).
已知:
如图,在RT⊿ABC中,∠ACB=RT∠,CD是斜边AB上的中线,
求证:
CD=
ABEA
证明:
延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE.
CD是斜边AB上的中线.
AD=DBD
又
CD=DE
四边形AEBC是平行四边形.
∠ACB=RT∠,BC
四边形AEBC是矩形(矩形的定义).
CE=AB(矩形的对角线相等),
AB
三.巩固练习
1.课本”课内练习”(请三位中游生上黑板来演示)
2.(机动)见书本作业题(A)组.
四.小结:
1.通过这节课的学习,你有什么收获?
(请各个层次的同学回答).
2.还有什么困惑需要我们共同解决?
五.作业:
见作业本
6.2菱形
(1)
1.经历菱形的概念、性质的发现过程
2.掌握菱形的概念
3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”
4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”
5.探索菱形的对称性
菱形的性质.
菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点.
一.引入:
用多媒体显示下面的图形
观察以下由火柴棒摆成的图形
议一议:
(1)三个图形都是平行四边形吗?
(2)与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?
目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:
(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形
(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异
二.新课:
把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.
菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.
定理1:
菱形的四条边都相等
这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.
定理2:
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O。
AC⊥
BD,AC平分∠
BAD和∠
BCD,BD平分∠
ABC和∠
ADC
分析:
由菱形的定义得△ABD是什么三角形?
BO与OD有什么关系?
根据什么?
由此可得AO与BD有何关系?
∠BAD有何关系?
证明:
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的定义)
BO=OD(平行四边形的对角线互相平分)
∴AC⊥BD,AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一的性质)
同理,AC平分∠
∴对角线AC和BD分别平分一组对角
由定理2可以得出菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。
另外,还可以从折叠来说明轴对称性。
同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。
菱形还具有平行四边形的所有共性,比如:
菱形是中心对称图形,对称中心为两条对角线的交点。
三.应用
例1.在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交与点O,∠BAC=30°
BD=6
求菱形的边长和对角线AC的长.
分析:
本题是菱形的性质定理2的应用,由∠BAC=30°
,
得出△ABD为等边三角形,就抓住了问题解决的关
键。
解:
∴AB=AD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)
又∵∠BAC=30°
∴∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=BD=6
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理得AO2+BO2=AB2
∴AO=
AC=2AO=
四.巩固:
教科书第141页课那练习1、2
五.小结:
1、通过本节课的学习,你有什么收获?
还有哪些困惑?
2、本节课的主要内容是:
一个定义(菱形的定义),二条定理(菱形的性质定理),二个结论(菱形是轴对称图形,又是中心对称图形)。
六.作业:
(略)
6.2菱形
(2)
1.经历菱形的判定定理的发现过程。
2.掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。
3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。
4.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系,向学生渗透集合思想.
菱形的判定定理.
菱形判定方法的综合应用.课本“合作学习”既需要一定的空间想象力,又要有较强的逻辑思维能力.
【教学方法】
启发诱导、讨论、讲授相结合
(一)、复习引入
1、提问
菱形的定义和性质。
定义:
一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。
性质:
除具备一般平行四边形的性质外,还具备四条边相等,
对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角
判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定?
定义,此外还有两种判定方法,今天我们就要学习菱形的判定。
(板书课题)
(二)、创设情境,引入新课
1、合作学习:
学生拿出准备好的长方形纸片,按图6-15(P142)的方法对折两次,并沿(3)中的斜线剪开,展开剪下的部分,猜想这个图形是哪一种四边形?
一定是菱形吗?
剪出的图形四条边都相等,根据这个条件首先证它是平行四边形,再证一组邻边相等,依定义即知为菱形.
结论:
菱形判定定理1:
四边都相等的四边形是菱形(板书)
(三)、交流互动,探求新知
1、已知:
如图,在
ABCD中,BD⊥AC,O为垂足。
ABCD是菱形
启发:
在已知是平行四边形的情况下,要证明是菱形,只要证明一组邻边相等。
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO(平行四边形的对角线互相平分)。
∵BD⊥AC,
∴AD=CD
∴
ABCD是菱形(菱形的定义)。
菱形判定定理2:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2、猜想:
对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形?
通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。
对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
3、例2:
如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线与AD,BC分别交于点E,F,求证:
四边形AFCE是菱形。
1
已知对角线互相垂直,还需什么条件就能说明四边形是菱形?
——说明是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC(矩形的定义)
∴∠1=∠2
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)。
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。
(四)、应用