七年级数学角的综合应用Word文档格式.docx

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知识梳理

一、角的定义及角的表示方法

（1）角的定义

①静态定义：

由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。

两条射线的公共端点是这个角的，两条射线叫做角的边。

②动态定义：

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

（2）角的表示方法

★

（1）角的两个特征：

①角有两条射线，②角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可。

（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短。

二、平角、周角及角的度量与换算

（1）平角和周角

如图，射线OA绕点O旋转，当终边OB和始边OA成一条直线时，所成的角叫做，继续旋转，当它又和始边OA重合时，所成的角叫做。

【注】平角、周角都是比较特殊的角，平角的两条边成一条直线，周角的两边重合成一条射线，但平角和直线是两种不同的几何图形，同样周角与射线也是两种不同的几何图形，所以要注意它们之间的区别。

（2）角的度量与换算

（1）角度制度量单位有：

。

如：

1°

、1′、1″。

（2）1度角的定义：

把一个周角360等分，每一份就是1度的角。

（3）1度＝分，1分＝秒，即1°

＝，1′＝。

（4）1周角＝，1平角。

三、角的大小比较和角的分类

（1）比较角的大小的方法

①度量法：

先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系。

②叠合法（尺规作图）：

两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小。

（2）角的分类

小于平角的角可按大小分成三类：

当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；

大于零度角小于直角的角叫锐角；

大于直角而小于平角的角叫钝角。

角的平分线

四、角的平分线

（1）定义：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

（2）角平分线的表示

如图，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠COB＝

∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB

【例题精讲一】角的简单计算

例1、1、如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°

，OF平分∠AOE，∠COF＝34°

，求∠AOC的度数。

2、如图，∠AOD＝90°

，∠AOB：

∠BOC＝1：

3，OD平分∠BOC，求∠AOC的度数。

3、如图，∠AOB是平角，OD平分∠AOC，OE平分∠BOD，且∠BOC＝4∠AOD，求∠COE的度数。

【课堂练习】

1、如图，已知∠AOB是∠AOC的余角，∠AOD是∠AOC的补角，且∠BOC＝

∠BOD， 

求∠AOC和∠BOD的度数。

2、如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：

5两部分，∠DBE＝24°

，求∠ABC的度数。

3、如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝90°

，∠BOC＝32°

，求∠AOD的度数。

【例题精讲二】角的单位换算、时钟问题、余角和补角

例2、1、计算

①把3.38°

化为度、分、秒的形式；

②把

化成度的形式；

③

④

2、有一座时钟现在显示10时整，那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；

再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

3、若一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的

，求这个角的度数。

1、①112.36°

②将

④

2、某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°

，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°

，那么此人外出多少分钟？

3、已知一个角的余角是这个角的补角的

，求这个角的补角的度数。

【例题精讲三】角的综合应用

例3、1、已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，

∠AOC=120°

，∠DOE=80°

。

（1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；

（2）点F在射线OB上。

①若射线OF绕点O逆时针旋转n°

（0＜n＜180且n≠60），∠FOA=3∠AOD，请判断∠FOE和∠EOC的数量关系并说明理由；

②若射线OF绕点O顺时针旋转n°

（0＜n＜180），∠FOA=2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOA=∠AOC时，则n=____________________

2、已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC＝α（0≤α＜180°

）

（1）若∠AOB＝60°

，∠COD＝40°

，

①当α＝0°

时，如图1，则∠POQ＝____________．

②当α＝80°

时，如图2，求∠POQ的度数．

③当α＝130°

时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数．

（2）若∠AOB＝m°

，∠COD＝n°

，m＞n，则∠POQ＝____________．

3、如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转．当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；

当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，……，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：

第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；

第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；

第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，……

例如：

当α＝30°

时，OA1、OA2、OA3、OA4的位置如图2所示，其中OA1恰好落在ON上，∠A3OA4＝4α＝120°

；

当α＝20°

时，OA1、OA2、O3、OA4的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON＋∠NOA4＝4α＝80°

，而OA5恰好与OA2重合；

解决如下问题：

（1）若α＝30°

，直接写出∠A3OA2的度数是___________

（2）如图，若α＜30°

，且∠A2OA4＝35°

，求对应的α值

（3）如图，若α＜30°

，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，直接写出α的值是___________度

1、如果两个角的差的绝对值等于900，就称这两个角互为垂角，例如：

∠1=1200，∠2=300，｜∠1—∠2｜=900，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于00且小于1800的角）.

（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC=900，∠EOD=900，直接指出图中所有互为余角的角，所有互为垂角的角；

（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的

，求这个角的度数；

（3）如图2，O为直线AB上一点，若∠AOC=900,∠BOD=300，且射线OC绕点O以90/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以60/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts（0＜t＜30）.试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角？

2、如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；

当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：

第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．

当α＝200°

时，如图2所示，OA0旋转到ON后弹回，则∠A1ON＝20°

时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图3所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°

．

解决如下问题：

（1）若α＝35°

，在图4中画出OA2，OA3，并求∠A3OA2的度数；

（2）若α＜30°

，且∠A2OA4＝20°

，则对应的α值是　　；

（3）若α＜30°

，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值．

1、如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD=20°

，∠AOB=140°

，求∠DOE的度数。

2、如图，∠BOC在∠AOB的外部，∠AOC与∠BOC互为补角，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC

（1）若∠AOB＝100°

，则∠DOE的度数为__________

（2）若∠AOB＝n°

（3）若∠BOD∶∠BOC＝3∶4，求∠DOE的度数

3、

（1）一个角的补角比它的余角的2倍大20°

（2）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，如果∠COD＝65°

，求∠AOE的度数.

4、如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°

/s，射线ON从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°

/s.两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒.（0<

t<

12,本题出现的角均为小于平角的角）

（1）图中一定有个直角；

当t=2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；

（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，试求出t的值；

（3）当射线OM在∠COB内部时，且

是定值的值，求t的取值范围，并求出这个定值