数字信号处理第1章 时域离散信号和时域离散系统Word文档格式.docx

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1，则称为发散序列。

其波形如图1.2.4所示。

5.正弦序列

x（n）=sin（ωn）

式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。

如果正弦序列是由模拟信号Xa（t）采样得到，那么

xa（t）=sin（Ωt）

xa（t）|t=nT=sin（ΩnT）

因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为

ω=ΩT（1.2.10）

（1.2.10）式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。

由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：

6.复指数序列

x（n）=e（σ+jω0）n

式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：

x（n）=ejω0n

x（n）=cos（ω0n）+jsin（ω0n）

由于n取整数，下面等式成立：

ej（ω0+2πM）n=ejω0n,M=0,±

1,±

2…

7.周期序列

如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：

x（n）=x（n+N）,-唴n<

唴（1.2.12）

则称序列x（n）为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。

例如：

上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：

上式表明是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图1.2.5所示。

下面讨论一般正弦序列的周期性。

设x（n）=Asin（ω0n+φ）

那么

x（n+N）=Asin（ω0（n+N）+φ）=Asin（ω0n+ω0N+φ）

如果

x（n+N）=x（n）

则要求N=（2π/ω0）k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。

具体正弦序列有三种情况：

（1）当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。

例如sin（π/8）n，ω0=π/8，2π/ω0=16,该正弦序列周期为16。

（2）2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。

例如sin（4/5）πn，ω0=（4/5）π，2π/ω0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。

（3）2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。

例如，ω0=1/4,sin（ω0n）即不是周期序列。

对于复指数序列ejω0n的周期性也有同样的分析结果。

以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即

这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。

x（n）的波形如图1.2.6所示，可以用（1.2.13）式表示成：

x（n）=-2δ（n+2）+0.5δ（n+1）+2δ（n）+δ（n-1）+1.5δ（n-2）-δ（n-4）+2δ（n-5）+δ（n-6）

1.2.2序列的运算

在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。

1.乘法和加法

序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。

2.移位、翻转及尺度变换

设序列x（n）用图1.2.8（a）表示，其移位序列x（n-n0）（当n0=2时）用图1.2.8（b）表示；

当n0>

0时称为x（n）的延时序列；

当n0<

0时，称为x（n）的超前序列。

x（-n）则是x（n）的翻转序列，用图1.2.8（c）表示。

x（mn）是x（n）序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。

当m=2时，其波形如图1.2.8（d）所示。

1.3时域离散系统

设时域离散系统的输入为x（n），经过规定的运算，系统输出序列用y（n）表示。

设运算关系用T［·

］表示，输出与输入之间关系用下式表示：

y（n）=T［x（n）］（1.3.1）

其框图如图1.3.1所示。

1.3.1线性系统

满足叠加原理的系统称为线性系统。

设x1（n）和x2（n）分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1（n）和y2（n）表示，即

y1（n）=T［x1（n）］，y2（n）=T［x2（n）］

那么线性系统一定满足下面两个公式：

T［x1（n）+x2（n）］=y1（n）+y2（n）（1.3.2）

T［ax1（n）］=ayy1（n）（1.3.3）

满足（1.3.2）式称为线性系统的可加性；

满足（1.3.3）式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。

将以上两个公式结合起来，可表示成：

y（n）=T［ax1（n）+bx2（n）］=ay1（n）+by2（n）（1.3.4）

上式中，a和b均是常数。

例1.3.1证明y（n）=ax（n）+b（a和b是常数），所代表的系统是非线性系统。

证明:

y1（n）=T［x1（n）］=ax1（n）+b

y2（n）=T［x2（n）］=ax2（n）+b

y（n）=T［x1（n）+x2（n）］=ax1（n）+ax2（n）+b

y（n）≠y1（n）+y2（n）

因此，该系统不是线性系统。

用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。

1.3.2时不变系统

如果系统对输入信号的运算关系T［·

］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：

y（n）=T［x（n）］

y（n-n0）=T［x（n-n0）］（1.3.5）

例1.3.2检查y（n）=ax（n）+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。

解y（n）=ax（n）+b

y（n-n0）=ax（n-n0）+b

y（n-n0）=T［x（n-n0）］

因此该系统是时不变系统。

例1.3.3检查y（n）=nx（n）所代表的系统是否是时不变系统。

解y（n）=nx（n）

y（n-n0）=（n-n0）x（n-n0）

T［x（n-n0）］=nx（n-n0）

y（n-n0）≠T［x（n-n0）］

因此该系统不是时不变系统。

同样方法可以证明

所代表的系统不是时不变系统。

1.3.3线性时不变系统输入与输出之间的关系

设系统的输入x（n）=δ（n），系统输出y（n）的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h（n）表示。

换句话说，单位取样响应即是系统对于δ（n）的零状态响应。

用公式表示为

h（n）=T［δ（n）］（1.3.6）

h（n）和模拟系统中的h（t）单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。

设系统的输入用x（n）表示，按照（1.2.13）式表示成单位采样序列移位加权和为

式中的符号“*”代表卷积运算，（1.3.7）式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。

只要知道系统的单位取样响应，按照（1.3.7）式，对于任意输入x（n）都可以求出系统的输出。

下面介绍卷积运算的求解过程。

步骤：

按照（1.3.7）式：

①将x（n）和h（n）用x（m）和h（m）表示，并将h（m）进行翻转，形成h（-m）；

②将h（-m）移位n，得到h（n-m）。

当n>

0时，序列右移；

n<

0时，序列左移；

③将x（m）和h（n-m）相同m的序列值对应相乘后，再相加。

按照以上三个步骤可得到卷积结果y（n）。

例1.3.4设x（n）=R4（n），h（n）=R4（n），求y（n）=x（n）*h（n）。

解按照（1.3.7）式，

上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4（m）的非零值区间为：

0≤m≤3，R4（n-m）的非零值区间为：

0≤n-m≤3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：

0≤m≤3

n-3≤m≤n

因此，

卷积过程以及y（n）波形如图1.3.2所示，y（n）用公式表示为

n+10≤n≤3

y（n）=7-n4≤n≤6

0其它

卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。

设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。

线性卷积服从交换律、结合律和分配律。

它们分别用公式表示如下：

x（n）*h（n）=h（n）*x（n）（1.3.8）

x（n）*［h1（n）*h2（n）］=（x（n）*h1（n））*h2（n）（1.3.9）

x（n）*［h1（n）+h2（n）］=x（n）*h1（n）+x（n）*h2（n）（1.3.10）

以上三个性质请自己证明。

（1.3.8）式表示卷积服从交换律。

（1.3.9）和（1.3.10）式分别表示其结合律和分配律。

再考查（1.2.13）式，它也是一个线性卷积公式，它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身，表示如下：

如果序列与一个移位的单位取样序列δ（n-n0）进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0（n0是整常数），如下式表示：

上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到

y（n）=x（n-n0）

x（n-n0）=x（n）*δ（n-n0）（1.3.12）

例1.3.5在图1.3.4中，h1（n）系统与h2（n）系统级联，设

x（n）=u（n）

h1（n）=δ（n）-δ（n-4）

h2（n）=anu（n），|a|<

1

求系统的输出y（n）。

解先求第一级的输出m（n），再求y（n）。

m（n）=x（n）*h1（n）

=u（n）*［δ（n）-δ（n-4）］

=u（n）*δ（n）-u（n）*δ（n-4）

=u（n）-u（n-4）

=R4（n）

y（n）=m（n）*h2（n）

=R4（n）*anu（n）

=anu（n）*［δ（n）+δ（n-1）+δ（n-2）+δ（n-3）］

=anu（n）+an-1u（n-1）+an-2u（n-2）+an-3u（n-3）

还可以将y（n）用下式表示

y（n）=δ（n）+（1+a）δ（n-1）+（1+a+a2）δ（n-2）+

u（n-3）

1.3.4系统的因果性和稳定性

如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。

如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。

因此系统的因果性是指系统的可实现性。

线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：

h（n）=0，n<

0（1.3.13）

所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。

系统稳定的充要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为

因为输入序列x（n）有界，即

|x（n）|<

B,-唴n<

唴，B为任意常数

如果系统的单位取样响应h（n）满足（1.3.14）式，那么输出y（n）一定也是有界的，即

|y（n）|<

唴

例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h（n）=anu（n），式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。

解由于n<

0时，h（n）=0，所以系统是因果系统。

因此系统稳定的条件是|a|<

1；

否则，|a|≥1时，系统不稳定。

系统稳定时，h（n）的模值随n加大而减小，此时序列h（n）称为收敛序列。

如果系统不稳定，h（n）的模值随n加大而增大，则称为发散序列。

例1.3.7设系统的单位取样响应h（n）=u（n），求对于

任意输入序列x（n）的输出y（n），并检验系统的因果性和稳定性。

解h（n）=u（n）

y（n）=x（n）*h（n）=

因为当n-k<

0时，u（n-k）=0；

n-k≥0时，u（n-k）=1，因此，求和限为k≤n，所以

上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。

下面分析该系统的稳定性：

1.4时域离散系统的输入输出描述法——

线性常系数差分方程

描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。

对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。

对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。

对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程，本节主要介绍这类差分方程及其解法。

差分方程均指线性常系数差分方程，本书中不另说明。

1.4.1线性常系数差分方程

一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：

式中，x（n）和y（n）分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y（n-i）和x（n-i）项只有一次幂，也没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。

差分方程的阶数是用方程y（n-i）项中i的取值最大与最小之差确定的。

在（1.4.2）式中，y（n-i）项i最大的取值为N，i的最小取值为零，因此称为N阶的差分方程。

1.4.2线性常系数差分方程的求解

已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。

求解差分方程的基本方法有以下三种：

（1）经典解法。

（2）递推解法。

（3）变换域方法。

（1.4.1）式表明，已知输入序列和N个初始条件，则可以求出n时刻的输出；

如果将该公式中的n用n+1代替，可以求出n+1时刻的输出，因此（1.4.1）式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程。

例1.4.1设系统用差分方程y（n）=ay（n-1）+x（n）描述，输入序列x（n）=δ（n），求输出序列y（n）。

解该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。

（1）设初始条件y（-1）=0

y（n）=ay（n-1）+x（n）

n=0时，y（0）=ay（-1）+δ（0）=1

n=1时，y

（1）=ay（0）+δ

（1）=a

n=2时，y

（2）=ay

（1）+δ

（2）=a2

…

n=n时，y（n）=an

y（n）=anu（n）

（2）设初始条件y（-1）=1

n=0时，y（0）=ay（-1）+δ（0）=1+a

n=1时，y

（1）=ay（0）+δ

（1）=（1+a）a

n=2时，y

（2）=ay

（1）+δ

（2）=（1+a）a2

n=n时，y（n）=（1+a）an

y（n）=（1+a）anu（n）

例1.4.2设差分方程为y（n）=ay（n-1）+x（n），式中x（n）=δ（n）,y（n）=0,n>

0，求输出序列y（n）。

解n=1时，n=0时，n=-1时，…n=-n时，

y（n-1）=a-1（y（n）-δ（n））

y（0）=a-1（y

（1）-δ

（1））=0

y（-1）=a-1（y（0）-δ（0））=-a-1

y（-2）=a-1（y（-1）-δ（-1））=-a-2

y（n-1）=-an-1

将n-1用n代替，得到

y（n）=-anu（-n-1）

1.5模拟信号数字处理方法

在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；

处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。

其原理框图如图1.5.1所示。

图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。

本节主要介绍采样定理和采样恢复。

1.5.1采样定理及A/D变换器

对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。

设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为τ<

<

T，在电子开关输出端得到其采样信号。

上式中δ（t）是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：

我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照（1.5.2）式，推导如下：

设

式中，Ωs=2π/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，

上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的。

在图1.5.3中，设xa（t）是带限信号，最高截止频率为Ωc，其频谱Xa（jΩ）如图1.5.3（a）所示。

（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。

（2）设连续信号xa（t）属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc（fs≥2fc），那么让采样信号x^a（t）通过一个增益为T，截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa（t）。

否则Ωs<

2Ωc（fs<

2fc）会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

将模拟信号转换成数字信号由A/DC（Analog/DigitalConverter）完成，A/DC的原理框图如图1.5.5所示。

通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看作时域离散信号（序列）。

设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。

因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。

模拟信号xa（t）=sin（2πft+π/8）），式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa（t）中，得到采样数据.