区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内B．（－∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞，a）和（c，＋∞）内
【答案】 A
【解析】∵f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a），∴f（a）＝（a－b）（a－c），
f（b）＝（b－c）（b－a），f（c）＝（c－a）（c－b），∵a0，f（b）<0，f（c）>0，
∴f（x）的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内．
（3）（2017银川一中模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）
A.B.C.D.
【答案】B
（4）（2017兰州模拟）已知函数没有零点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设，则原函数可化为
解题技巧与方法总结
确定函数零点所在区间的方法
1．解方程法：
当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
2．利用函数零点的存在性定理：
首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
3．数形结合法：
通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式训练】
（1）（2017嘉兴模拟）设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为（x0，y0），若x0∈（n，n＋1），n∈N，则x0
所在的区间是________．
【答案】 （1,2）
【解析】 设f（x）＝x3－x－2，则x0是函数f（x）的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象，如图所示．
因为f
（1）＝1－－1＝－1<0，f
（2）＝8－0＝7>0，所以f
（1）f
（2）<0，所以x0∈（1,2）．
（2）（2017哈尔滨模拟）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函
数的零点为，则下列不等式中成立的是（）
A.B.C.D.
【答案】A
（3）（2017兰州模拟）已知，是方程的两个解，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
知识链接：
知识点1 函数的零点
1．函数零点的定义；
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
2．三个等价关系；
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
3．函数零点的判定（零点存在性定理）；
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，
函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0
的根．
题型二 确定函数零点的个数
典例2.
（1）（2016济南模拟）已知函数f（x）＝cosx－logx，则f（x）在其定义域上零点的个数为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【解析】令f（x）＝0，得cosx＝logx，画出函数y＝cosx和y＝logx的图象，
如图所示：
显然函数在有1个交点，在有2个交点，
∵cos3π＝－1，log3π＝－lg3π>－1，函数y＝logx在（0，＋∞）上递减，
∴两个函数在有2个交点，共5个交点，故选C.
（2）（2017石家庄一中高一期末）已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当x≤0时，y=f[f（x）]﹣1=x+1+1﹣1=0，解得x=﹣1，当0＜x≤1时，y=f[f（x）]﹣1=log2x+1﹣1=0，解得x=1，当x＞1时，y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，解得x=4，综上所述函数的零点的个数为3个，故选：
C
（3）（2017衡水金卷）设定义在区间[﹣k，k]上的函数是奇函数，且，若[x]表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k﹣6的零点，则[x0]=（ ）
A．1B．1或2C．2D．3
【答案】C
（4）（2017武汉模拟）已知符号函数sgn（x）＝则函数f（x）＝sgn（lnx）－lnx的零点个数为________．
【答案】3
【解析】sgn（lnx）＝故函数f（x）＝sgn（lnx）－lnx的零点有3个，分别为；e,1，.
解题技巧与方法总结
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：
令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．数形结合法：
转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练】
（1）（2017甘肃天水一中高一期末）函数的零点的个数为（）
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
两个函数的图像有两个交点，即函数有两个零点，应选答案C。
（2）（2017三明高三检测）函数f（x）＝的零点个数是________．
【答案】 2
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－（正根舍去），所以在（－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′（x）＝2＋>0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．又因为f
（2）＝－2＋ln2<0，
f（3）＝ln3>0，f
（2）·f（3）<0，所以f（x）在（2,3）内有一个零点．综上，函数f（x）的零点个数为2.
（3）（2017石家庄一中模拟）已知函数的周期为,当时,如果
，则函数的所有零点之和为（）
A.B.C.D.
【答案】A
（4）（2017届四川双流中学高三月考）记表示不超过的最大整数，如，.设函数，若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为（）
A．B．
C.D．
【答案】B
知识链接：
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
与x轴的交点
（x1,0），（x2,0）
（x1,0）
无交点
零点个数
2
1
0
必会结论
（1）若函数f（x）在[a，b]上单调，且f（x）的图象是连续不断的一条曲线，则f（a）·f（b）<0⇒函数f（x）在[a，b]上只有一个零点．
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
必知联系
（1）研究方程f（x）＝g（x）的解，实质就是研究G（x）＝f（x）－g（x）的零点．
（2）转化思想：
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
（3）f（a）·f（b）<0是f（x）在区间（a，b）上有零点的充分不必要条件．
题型三 函数零点的应用
典例3.
（1）（2017兰州模拟）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】不妨设,则,
所以,因此,选D.
（2）（2017银川模拟）若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
（3）（2017银川一中高考模拟）已知函数的周期为,当时,
如果，则函数的所有零点之和为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由已知,在同一坐标系中分别画出函数的图象和的图象,如下图所示,
当时,为增函数,且,当时,
两个函数的图象没有交点,根据它们的图象都是关于直线
对称,结合图象知有8个交点,利用对称性,这8个交点的横坐标之和为,即所有零点之和为8.选A.
（4）（2017衡水金卷）已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）
A.B.C.D.
【答案】C
解题技巧与方法总结
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
1．直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
2．分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
3．数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式训练】
（1）（2017兰州模拟）定义；，，若有四个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意可知当时，，当时，
，作出函数和的图象如下：
其中红色线为的图象，由图可知当时，直线和函数有4个不同的公共点，
故方程有四个不同的实数解，故选D.
（2）（2017镇江市高三一模）已知函数与函数的图象共有（）个公共点：
，，…，，则．
【答案】2
（3）（2017衡水金卷）设是定义在上的偶函数，且时，当
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