公共自行车调度问题16Word格式文档下载.docx
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先求出居民区以及交通圈内11个点两两之间的距离，进而求出连通所需要的时间，将时间最为两点间的权重；
接着利用避圈法，通过Matlab编程求出最小生成树；
最后我们结合公交车行驶的方向性，找出连通区域内17个租赁点的回路，这个回路就是我们要求的最佳行车路线：
公交站→30→1→3→5→9→10→11→18→6→4→26→23→21→22→24→5→7→2→29→28→27→2→公交站，需要的时间为59.04分。
对于两辆公交车，我们将这17个点分为两组进行考虑，类比一辆公交车的分析方法以及模型求解。
我们提出了两种分组方案，并引入均衡度的概念进行比较分析，选择均衡度较小的方案。
最终确立的两条路线为：
第一组路线：
公交站→1→3→5→9→10→11→18→6→2→公交站；
花费的时间为：
24.92分钟；
第二组：
公交站→30→29→28→23→21→22→24→25→5→7→8→2→公交站；
花费时间为：
28.28分钟。
（粗体表示公交车经过但不停车）
对于第二问，我们同样分组考虑。
经过分析我们知道公交车最多只能开3趟，由此我们根据聚集程度将租赁点分为3个小组，用第一问的模型进行求解。
分组的方案我们考虑了两种，比较两个中方案能够运送的最大自行车数量，选择能运较多自行车数的方案。
对于第三问，我们引入了VRP模型，这一模型是用于解决物流配送问题，和我们要解决的用公交车对自行车调度问题很相似。
由于这属于NP难问题，我们无法求出最优解，因此要用启发式算法进行搜索求解，以行驶时间最短、搬运车数最多为目标，进行全局域范围的考虑，对公交车的可选路线进行搜索，找到最优的可行路线，得到一个近似解。
关键字：
最小生成树避圈法均衡度VRP模型启发式算法Matlab编程
1.问题的背景与重述
1.1问题背景
地铁时代的来临将给杭州公共自行车带来更突出的上下班高峰潮汐现象。
早晨大量市民骑车到地铁站，造成地铁交通圈集中大量的公共自行车，而居民住宅区无车借用情况；
傍晚从地铁站骑车回家，造成地铁站周围无车可借而居民区却因车子停满无处还车。
因此，需要对自行车管理提出更高的要求。
1.2问题重述
目前，杭州公交集团一般用拆掉作为的公交车运送自行车到各个自行车租赁点，每辆公交车可装50辆自行车。
设高峰时段公交车行驶速度为30km/h,减速停靠路边的所需时间1分钟，每送出或取回一辆自行车往返所需时间为0.3分钟（设搬运车辆从L5路东侧公交总站出发，完成搬运任务后返回公交总站，公交总站具体位置见附录表1）。
且假设每个十字路口或三岔路口公交车直行等待时间为1分钟，左拐等待绿灯的时间为1.5分钟，右拐等待绿灯时间为0.5分钟。
试解决一下问题：
1.分别针对一辆搬运车和两辆搬运车的情况找出从地铁2号地铁交通圈自行车租赁点将多余自行车送到居民区租赁点的最佳公交行车路线（图中马路都是双向道，不考虑穿马路搬车，路口和马路中间不允许公交车掉头，21号点所在的断头路可掉头）。
2.如果1号自行车租赁点积聚了200辆多余的自行车，居住区虚线框内11个租赁点都是空的，问一辆公交车应该以怎样的顺序向着这些租赁点搬运自行车？
请列出行车路线以及具体的搬运顺序与数量，并计算所需的时间（公共自行车租赁点一般要求停车桩内自行车数量不少于停车桩总数的20%，不多于停车桩总数的80%，多余车辆要移到停车桩外）。
3.天气因素、各种体育与商业活动影响着人们的出行方式，使自行车需求发生随机变化。
科学、快速的应急调度是自行车租赁管理的一个重要手段。
附录表2是某天上午7:
50个自行车点的自行车数，请提出具体的快速调度方案。
图1.1自行车租赁点分布图
2.问题分析
随着公共自行车租赁网点以及投入使用的自行车数量的不断增强，对自行车的管理提出了更高的要求。
我们要在高峰之前用公交车对各个租赁点进行自行车的调度，尽量避免借不到车或停不下车的状况。
在这个题目中，并没有提及任何的费用问题，只需要考虑时间以及路程，而在分析过程中路程可以用时间来衡量，因此这可以看成是一个单目标规划问题，我们的目标是使公交车行驶的时间最少。
在建立模型之前，我们首先要计算出自行车租赁点的两两之间的距离，并转化为时间问题，建立最小生成树模型，在结合汽车的方向性找出最佳的公交车行驶路线。
对于题中所给的租赁点，有些是有多余的自行车需要去收集，有些是缺少自行车需要去补足。
我们可以把那些有多余自行车的租赁点看成是供应点，而那些缺少自行车的租赁点看作是需求点，引入VRP模型求解。
我们引入0-1变量
来表示公交车是否有从租赁点
到租赁点
，用这个变量帮助建模，使得问题的分析变得更加简洁。
3.模型假设
1.车辆的行驶按照交通规则，靠右行驶；
2.假设公交车在路上均不能倒车，只有在21、23号租赁点所在的断头路可以倒车；
3.自行车不可以通过人力搬移过街道；
4.符号说明
：
表示
与
号租赁点是否连通；
从
到
公交车的行驶时间
G：
赋有权值的关于租赁点的图
A：
均衡度
5.模型的建立与求解
5.1问题一模型：
在问题一中，我们考虑编号为1,2,3,5,6,7,9，10,11,18,21,22,23,24,28，29,30的租赁点。
在所要建立的以公交车行驶时间最少为目标的模型中，我们结合公交车行驶的方向性，找出任意两个租赁点的可行最短路径，从而求出从一个点到另一个点花费的时间。
但是由于28号点与29号点在街道的同一侧，且相邻，经过一个点必然会经过另一个点，因此在求解中我们可以将他们两个看为一点；
又因为在行驶中公交车不能掉头，要经过7号则必须经过8号点，因此在求解中我们需要多考虑8号点的情况。
求得结果列表如下（单位：
分；
相据较远或者的两点我们认为需要的时间很长，这里假设为30分）：
表5-1两点间行驶时间
我们可以把它看成一个赋有权值的图G，先要求出图G的最小生成树，使树上各边的总权和达到最小。
然后基于最早生成树生成一个可行的最短行车路径。
对上述17个租赁点重新编号，依次为1-17，用集合R表示。
我们用0-1变量
来表示公交车是否从租赁点i到租赁点j,即
目标函数为寻找一条从起始点开始到各个节点生成的最优树，要求各条线路的权值和最小，即
s.t
（模型1）
求解最小生成树的方法有破圈法、避圈法、Dijkstra算法等。
这里我们用避圈法求解，避圈法是指将图G中的边按照权数大小逐条考察，按不构成圈的原则加入到T（树）中，直到
为止，即T的边数=G的顶点数-1为止。
避圈法的算法
是：
1.把G的边按权的大小整理成
，令
.
2.若
含圈，则转3，否则转4.
3．令
，若
则转2；
否则停止，G不存在最小生成树。
4.令
，
。
5.若
，结束，
是最小生成树；
否则转3.
根据避圈法的算法，编写Matlab程序求得结果，得到最小生成树，结果列表如下：
表5-2求最小生成树结果
注：
图中打√处表示两个租赁点连通。
结合公交车行方向，给每个租赁点所在的方向做标注，画出简易方向图：
图5-1公交车行驶方向图
将Matlab求解得出的结果和公交车行驶的方向结合，采用哈密顿回路法的思想找出最佳行驶路线。
最终得到公交车行驶的最佳路线：
图5-2一辆公交车最佳路线
公交站→30→1→3→5→9→10→11→18→6→4→26→23→21→22→24→5→7→2→29→28→27→2→公交站
（粗体表示只经过这一点但不停留）。
这种行走方式所需要的时间是：
59.04分。
以上是一辆公交车的最佳路线分析，当用两辆公交车时，我们把自行车租赁点分为两组讨论。
第一种方案是：
1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,18分为一组，21,22,23,24,29,30分为一组。
即把地图分割为上下两部分来讨论，一辆公交车负责上半块区域，另一辆负责下半块区域。
模型的建立与一辆公交车的情况一样，用同样的方法分别对两块区域进行求解，结果为：
表5-3第一种分组方式上半区域连通情况表5-4下半区域连通情况
我们根据连通情况找出上下两块区域的连通回路。
公交站→1→3→5→7→5→9→10→11→18→6→2→公交站
32.4分。
第二组路线：
公交站→30→29→28→27→23→21→22→24→25→2→公交站
花费的时间为22.5分。
（其中粗体表示经过租赁点但是不停车）
我们引入了均衡度概念，定义均衡度为：
代表公交车行驶时间较长情况，
代表公交车行驶时间较短情况。
因此，这种分组情况的均衡度为：
均衡度较大的原因是第一组点的公交路线中有重复现象，5号点所在的路线走了两趟。
我们期望的是均衡度尽量小，因此在上面分组的基础上进行调整，将下半区域的7、8号点分到上半块区域中考虑，新的分组为：
1,2,3,5,6,9,10,11,18为一组，7,8，21,22,23,24,29,30为一组。
用以同上的模型求解，连通的结果为：
表5-5改进后第一组连通情况表5-6第二组连通情况
根据连通情况分别找出两组的连通回路。
28.28分钟；
这种方案的均衡度为：
相比第一种方案，第二种均衡度明显比较小，因此我们可以认为它是比较合理的。
两辆公交车的行车方案选择第二种。
图5-3两辆公交车最佳路线
5.2问题二模型
题目中已知居民区内11个租赁点都是空的，每个租赁点要求停车桩内的自行车不少于停车桩总数的20%，不超过总数的80%。
从附录表1中提取出居民区11个租赁点的关于停车桩个数的数据，并用Excel表计算出每一个停车点的可停自行车数范围（取整数），整理后得到如下表格：
表5-7居民区租赁点停车状况
租赁点编号
停车桩数
最少自行车数
最多自行车数
5
21
16
6
7
17
4
13
9
10
11
18
22
23
24
在这11个停车点，最多一共可接受173辆自行车，最少54辆，也就是说，从1号租赁点最多搬运173辆，最少搬运54辆自行车到居民区内，在这个范围内的车数都是合理的。
我们用贪心的思想，尽可能多得往居民区搬车，但是要考虑到公交车容量限制，每趟最多搬运50辆自行车。
为了尽量让公交车少跑，我们采用三次搬运的方案。
我们将居民区的11个租赁点依据其分布特点分为三组，21、22、23、24这个点相距很近，而且一共可接收的最多自行车数为64辆，因此公交车可装满50辆车；
接着分其余的点，由图明显可知5,6,7聚集在一起，9,10,11,18聚集在一起，如果按照这样的分法，5,6,7号最多共接收45辆车，9,10,11,18最多共接收50辆车，因此从1号点一共可以运出50+45+50=145辆。
如果将9归到5、6、7那一组，那么公交车分别运送50辆、48辆车，一共运送50+48+50=148辆。
因此，将9归到5、6、7这一组比较合理。
接下来我们就针对这三组分别找出最佳的路径，求法同上。
（a）第一组（1，21,22,23,24）：
表5-8第一组点两点间需要时间表5-9第一组连通情况
求得的结果结合方向性，找出连通的回路，即为公交车行驶路线。
（图中红线表示）；
（b）第二组（1,5,6,7,9）：
表5-10第二组点两点间花费时间表5-11第二组连通情况
（图中蓝线表示）；
（c）第三组（1,10,11,18）：
表5-12第三组点两点间花费时间表5-13第三组连通情况
（图中绿线表示）。
图5-4三趟公交路线
因此，公交车分三趟搬运。
第一次从1号点运50辆自行车到21、22、23、24这四个点，均匀分配自行车数，其中两个点12辆，另两人点13辆，花费时间为33.96分钟；
第二次从1号点运50辆自行车到5,6,7,9这四个点，均匀分配自行车数，如5、6、9分别得到13辆，得到11辆车，花费时间为47.04分钟；
第三次从1号点运48辆自行车，10、11、18分别获得16辆车，花费时间为38.08分。
一共所需的时间为119.08分钟。
5.3问题三模型
这一问题实质是线路最优化的车辆配送问题,即VRP问题。
典型的VRP模型定义如下：
假设已知客户网络中客户数量，客户所在的位置、客户需求和配送车辆的最大负荷，要求在满足约束的前提下为给定的中心仓库设计车辆路径，是运输成本最小
传统的电子商务配送模型是分区域配送模式的单一配送中心（DC）-多需求点（DS）的路径优化模型，而且不考虑沿途补货的情况。
而针对区域广泛、客户众多且分散、业务量大且频繁的电子商务物流配送业务，需要多个配送区域进行联合、沿途多次补货，从而得到电子商务配送的跨区域VRP模型。
这个思路很想我们要考虑的用公交车进行自行车的调度问题，问题中多余自行车的租赁点可看成电子商务问题中的DC，而缺少自行车的租赁点看成需求点DS。
将附录表2中的数据进行处理，结合自行车在租赁点的数量要求，我们得到了如下的自行车需求调度表：
表5-14自行车需求调度表
红色表示该租赁点有人值守，其余点无人值守。
我们先考虑需要调度的租赁点，自行车数量满足要求的租赁点暂不考虑。
红色代表自行车有多余
黄色代表自行车有需求
绿色代表符合要求
图5-4自行车需求调度图
6.模型的评价
我们将求最佳公交行驶路线转化为求花费时间最少的路线问题，这样可以进行定量的分析。
将时间作为权重，引入最小生成树模型，分析租赁点之间的连通情况，再结合公交车行驶的方向性，比较容易找出公交车的行驶路线。
我们定义了时间均衡度概念，定量地刻画了时间的均衡性，在多辆公交车配送的问题中，引入均衡度更能说明合理性。
在第三问中我们引入了VRP模型，将有多余自行车的点类比为供应点，缺少自行车的点类比为需求点，并用启发式算法，能够求出比较理想的配送方案以及行车路线。
我们的不足在于模型做地不够全面、完善。
如在第二题模型中，租赁点的分类方式缺少合理性分析以及证明、第三问的模型没有建完全等。
7.参考文献
【1】陈光亭裘哲勇.数学建模.北京：
高等教育出版社
【2】肖华勇.实用数学建模与软件应用.西安：
西北工业大学出版社2008.11
【3】刘向李延晖电子商务配送的跨区域VRP模型及其启发式算法第46卷第S1期，2006
【4】刘登涛等公共自行车交通系统调度算法计算机系统应用第20卷第九期，2011
8.附录
1.地铁站与公共自行车停靠点坐标
表1地铁站与公共自行车停靠点坐标
自行车站序号
坐标x（m）
坐标y（m）
停车桩个数
备注
1
1850
640
60
地铁中心站、商业中心
2
1550
公交枢纽
3
1540
1180
医院、居民区
1080
居民区
820
800
400
8
1000
300
42
写字楼
420
320
680
900
12
660
体育中心、写字楼
690
14
15
940
100
980
200
280
19
1160
20
1190
700
1200
1220
950
25
1280
26
27
1350
28
1600
29
1700
30
1900
地铁中心站
31
-100
景区
32
860
写字楼、景区
33
1260
34
中学
35
服装街
地铁1号站
2020
1640
普通地铁站
地铁2号站
交通枢纽与商业中心
地铁3号站
-160
地铁站（商业街）
公交总站
1560
1100
L5路东侧
2.某天早上7:
50公共自行车租赁点情况
表2早7:
桩内车数
桩外车数
40
260
24小时有人值守
无人值守
有人值守
240
120
3.避圈法求最小生成树的Matlab程序：
n=17;
A=[0301.623.54306.088.185.866.647.088.730303030304.38
300303030303030303030303030306.064.82
303001.92304.466.564.245.025.467.08303030303030
3030300302.544.642.323.13.545.16303030303030
302.46303003030303030307.2306.54308.5230
305.88306.743002.19.069.8410.2811.93010.4610.9610.723010.7
303.78304.64303006.967.748.189.8308.368.868.62308.6
3030303030303000.781.222.84305.325.825.583010.48
303030303030303000.442.06304.545.044.8309.7
30303030303030303001.62304.14.64.36309.26
303030307.887.829.921111.7812.220305.645.645.93010.8
306.82304.684.365.427.524.084.865.36.9201.241.741.53030
304.58302.32304.86304.645.425.867.48300300.26305.16
306.16303.94.74
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