第十七章 反比例函数全章小结.docx

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第十七章反比例函数全章小结

第十七章反比例函数全章小结

从容说课

本章的基础知识总结：

1．反比例函数的概念：

如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不为零．

2．反比例函数的图象和性质:

（1）反比例函数y=的图象是双曲线．

（2）当k>0时双曲线位于第一、三象限；当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．

3．反比例函数的应用：

列反比例函数关系式，并用反比例函数的性质解决生活中特别是物理学中的问题．

课程标准知识和能力总结．

1．结合具体情况领会反比例函数作为一种数学模型的意义．

2．会画反比例函数的图象，从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息．

3．逐步提高我们的观察、归纳、分析问题的能力，体验数形结合的数学思想方法．

4．我们要善于用函数的观点处理实际问题．

教学时，教师应关注学生运用自己的语言回答有关问题的过程，关注学生举例说明对有关知识的理解；通过一些问题向学生强调利用图象了解函数的性质，并进一步发展从图象中获取信息的能力．

教学时间第8课时

三维目标

一、知识与技能

1．反比例函数的图象和性质．

2．反比例函数的应用：

解决实际问题，学科内部的应用．

二、过程与方法

1．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义．

2．能画出反比例函数的图象，并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．

3．培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法．

4．能根据所给的条件，确定反比例函数，体会函数在实际问题中的应用价值．

三、情感、态度与价值观

1．面对困难，培养学生克服困难的勇气和战胜困难的信心．

2．培养学生的合作交流意识和运用数学问题解决实际问题的意识，认识数学的实用性．

教学重点反比例函数的概念、图象和主要性质．

教学难点对反比例函数意义的理解．

教具准备教学投影仪．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

问题1：

你能举出现实生活中有关反函数的几个例子吗？

问题2：

说一说函数y=和y=-的图象的联系和区别．

（先由学生小组交流本单元的小结，再进行小组汇报，教师在旁适时引导，提问，鼓励．学生分四人小组合作交流，归纳出本单元的知识体系，以及对每一个知识块的认识，由上面两个问题作牵引，完成本单元的知识体系）．

教师应重点关注：

①关注学生的复习过程，观察学生智力、情感的达标水平．

②对函数概念及图象、性质的理解．

③关注数学活动对学生发展的影响，学生能否从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息，是否善于对实际问题进行分析，并灵活运用所学知识解决问题．

二、单元知识结构图

三、巩固、延伸、提高

做一做：

1．已知y=y1+y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，并且x=2时，y=14；x=3时，y=28，求y与x的函数表达式．

分析：

依据正、反比例函数的定义，利用待定系数法求得其比例系数，从而求出y与x之间的函数关系式．

解：

设y1=，y2=k2x2，则y=+k2x2，将（2，14），（3，28）代入上式

得

∴函数关系式为y=+3x2．

点评：

（1）一个反比例函数和一个正比例函数相加，构成一个新的函数，从形式上较为复杂，但是用待定系数法求系的方法都一样．

（2）要将k1，k2设成不同的两个参数．

2．若反比例函数y=（k≠0），当x>0，y随x的增大而增大，则一次函数y=kx-k的图象经过第几象限（）

A．一，二，三B．一，二，四C．一，三，四D．二，三，四

解：

∵x>0时，y随x的增大而增大．

∴k<0，

∴一次函数y=kx-k的图象过一，二，四故选B．

点评：

要判断y=kx-k的位置，需知道k的符号，由已知y=，当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0．

3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=（m-1）x与反比例函数y=的图象的大体位置不可能是（）

解析：

当m-1>0时m>1时，4m>0，此时直线过一、三象限．双曲线位于第一、三象限，A可能，D不可能；

当m-1<0时，即m<1，分两种情况：

0

当00，双曲线在第一、三象限，所以B、C都有可能，故不可能的是D．

点评：

要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，在这里，要判断m-1与4m的符号，进而选择合理答案，因不确定其符号，所以分两种情况进行讨论，当m-1>0时，4m>0，故A对，D不对；当m-1<0又有两种情况：

00，故B对，后者又4m<0，故C对．

4．

（1）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=-的图象上的点，并且x1<0

A．y1

（2）已知反比例函数y=（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

A．正数B．负数C．非正数D．不能确定

（3）如图，正比例函数y=kx（k>0），与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S，则（）

A．S=1B．S=2C．S=3D．S的值不确定

解：

（1）方法一：

用图象解法，作出y=-的草图，即得三点的大致位置，观察图象，直接得到y2

方法二：

将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中，

得y1=-，由于x1<0

（2）∵k<0，∴图象在二、四象限内，y随x的增大而增大，当AB是同一象限内的点时，

∵x1

当A、B不是同一象限内的点时，

∵x1

∴A在第二象限，B在第四象限．

∴y1>y2，∴y1-y2>0．

∴选D．

（3）∴A和C关于O对称，∴AO=CO，

设A（x0，y0），则y0=，∴x0·y0=1．

∴S△AOB=x0y0=．

∵△AOB和△BOC若分别把AO、CO看作底，那么底上的高相等，

∴S△AOB=S△BOC．∴S△ABC=1，故选A．

点评：

（1）因反比例函数的表达式具体，所以其图象具体，因x1<0

（2）由A、B两点的横坐标没有和O作比较，所以A、B两点的位置可分为两种情况讨论；

（3）因△AOB的面积易求，要求△ACB的面积只需找到△AOB和△BOC的关系，发现AO=CO，而且高相同，所以面积相等．

5．（20XX年山西省实验区初中毕业生学业考试）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如下图所示．当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了完全起见，气体体积应（）

A．不大于m3B．不小于m3C．不大于m3D．不小于m3

解：

因为当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数．

设p=

因为函数图象过A（0.8，120），代入p=中得120=

所以k=96,即p=．

∵96>0，所以p随V的增大而减小，当p=140kPa时，V==．所以为了完全起见，气球内的气压应不大于140kPa，气体的体积应不小于m3．

或根据图象回答，所以应选B．

板书设计

活动与探究

已知反比例函数y=和一次函数y=-2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+m）两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如右图所示，已知点A在第二象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

（3）利用

（2）的结果，试判断在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形，若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

解：

（1）依题意可得

解得m=-2，∴反比例函数的解析式为y=-，

（2）由解得

经检验都是原方程组的解．

∵A点在第二象限，∴A点坐标为（-1，1）．

（3）OA==，OA与x轴所夹锐角为45°．

①当OA为腰时，由OA=OP，得P1（，0），P2（-，0），由OA=AP，得P3（-2，0）．

②当OA为底时，得P4（-1，0）．

∴这样的点有4个，分别是（，0），（-，0），（-2，0），（-1，0）．

习题详题

复习题17

1．

（1）a=

2．>，-；>，=

3．

（1）一，三，减小；

（2）二，四，增大

4．（B）

5．由题意得k-1>0，所以k>1

6．p=

设A、B、C三个面的面积分别为4k，2k，k（k>0）由题意得S=2k时，p=a得F=2ka，

所以p=

所以当S=4k时，p=帕；

当S=k时，p==2a（帕）．

7．

（1）d=

（2）当t=10时，d=（天）

约为=2×103（天）

则这个电视机大约可使用2×103（天）

8．两个不同的反比例函数不会相交，设这两个反比例函数为y=，y=（k1，k2为常数且k1≠k2）．若有交点，则有解，但此方程组无解．

①

②

所以不同的反比例函数不会相交．

9．正比例函数y=k1x与反比例函数y=无交点，则无解，

把①代入②得k1x=，k1x2=k2，∵k1≠0，

∴x2=若x无解，则<0，即R1和R2异号，所以R1R2<0

10．

（1）→（B）；

（2）→（A）；（3）→（C）；（4）→（D）

11．

（1）V=

（2）当V=104立方米时，代入V=得t==102（天）．

（3）当公司以104立方米/天，工作40天后，共运送土方40×104=4×105立方米，剩下106-4×105=6×105（立方米）土石方在50天运送完，则每天需送=12000（立方米）．

而每辆卡车一天可运送土石方104÷100=100（立方米），所以每天运送12000立方米的土石方需=120辆车，而现在有100辆，公司至少需要再增加20辆卡车才能按时完成任务．