二次函数的图象与性质优质课教学设计Word文档下载推荐.docx

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0）图象的性质在同一坐标系中，画出y=x²

，，y=2x²

的图象。

要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性。

动脑筋观察上述图象的特征（共同点），从而归纳二次函数y=ax²

0）的图象和性质。

教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调。

0）图象的性质：

1．图象开口向上。

2．对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点。

3．当x>

0时，y随x的增大而增大，简称右升；

当x<

0时，y随x的增大而减小，简称左降。

三、典例精析，掌握新知：

例已知函数是关于x的二次函数。

1．求k的值。

2．k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？

在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？

分析：

此题是考查二次函数y=ax²

的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2>

0，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围。

解：

1．由已知得

，解得k=2或k=-3。

所以当k=2或k=-3时，函数

是关于x的二次函数。

2．若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2>

0。

由1知k=2，最低点是（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大。

四、运用新知，深化理解：

1．下列函数中，当x>

0时，y值随x值增大而减小的是（）

A．y=x²

B．y=x-1C．D．y=

2．已知点（-1，y1），（2，y²

），（-3，y³

）都在函数y=x²

的图象上，则（）

A．y1<

y²

<

y³

B．y1<

C．y³

y1D．y²

y1<

3．抛物线y=x²

的开口向，顶点坐标为，对称轴为，当x=-2时，y=；

当y=3时，x=，当x≤0时，y随x的增大而；

当x>

0时，y随x的增大而。

4．如图，抛物线y=ax²

上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值。

五、师生互动，课堂小结：

（一）师生共同回顾二次函数y=ax²

0）图象的画法及其性质。

（二）通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？

请与同伴交流。

【教学反思】

本节课是从学生画y=x²

的图象，从而掌握二次函数y=ax²

0）图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax²

0）的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力。

【第二课时】

（a<

0）的图象与性质解决简单的实际问题。

（a≠0）图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性。

0）的图象；

2．理解掌握图象的性质。

二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会。

一、情境导入，初步认识

1．在坐标系中画出

的图象，结合

的图象，谈谈二次函数y=ax²

0）的图象具有哪些性质？

2．你能画出的图象吗？

二、思考探究，获取新知

画y=ax²

0）的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出

教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学。

问：

从所画出的图象进行观察，

与

有何关系？

归纳：

。

二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称。

（教师引导学生从理论上进行证明这一结论。

）

二次函数y=ax²

0）性质问：

你能结合y=-

x²

的图象，归纳出y=ax²

0）图象的性质吗？

教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax²

0）图象的性质。

1．开口向下。

2．对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点。

0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x<

0时，y随x的增大而增大，简称左升。

探究3：

（a≠0）的图象及性质：

学生回答：

一般地，抛物线y=ax²

的对称轴是，顶点是，当a>

0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越；

当a<

0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越。

例1：

函数y=（-

x）²

的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是。

抛物线，（0，0），y轴，向上；

例2：

函数y=x²

，y=

和y=-2x²

的图象如图所示：

请指出三条抛物线的解析式。

2根据抛物线y=ax²

中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=

，中间为y=x²

，在x轴下方的为y=-2x²

解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误。

抛物线y=ax²

中，当a>

0时，开口向上；

0时，开口向下，|a|越大，开口越小。

例3：

已知抛物线y=ax²

经过点（1，-1），求y=-4时x的值。

把点（1，-1）的坐标代入y=ax²

，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值。

∵点（1，-1）在抛物线y=ax²

上，-1=a·

12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x²

当y=-4时，有-4=-x²

，∴x=±

2。

在求y=ax²

的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值。

四、运用新知，深化理解。

1．下列关于抛物线y=x²

和y=-x²

的说法，错误的是（）。

A．抛物线y=x²

有共同的顶点和对称轴

B．抛物线y=x²

关于x轴对称

C．抛物线y=x²

的开口方向相反

D．点（-2，4）在抛物线y=x²

上，也在抛物线y=-x²

上

2．二次函数y=ax²

与一次函数y=-ax（a≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）。

3．二次函数

，当x<

0时，y随x的增大而减小，则m=。

4．已知点A（-1，y），B（1，y²

），C（a，y³

的图象上，且a>

1，则y1，y²

，y³

中最大的是。

5．已知函数y=ax²

经过点（1，2）。

（1）求a的值；

（2）当x<

0时，y的值随x值的增大而变化的情况。

五、师生互动，课堂小结。

这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？

本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax²

0）的图象和性质，从而得出y=ax²

0）的图象和性质，进而得出y=ax²

（a≠0）的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯。

【第三课时】

1．能够画出y=a（x-h）2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响。

2．能正确说出y=a（x-h）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

经历探索二次函数y=a（x-h）2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想。

1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。

2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。

掌握y=a（x-h）2的图象及性质。

理解y=a（x-h）2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响。

（一）在同一坐标系中画出y=

与y=

（x-1）2的图象，完成下表。

（二）二次函数y=

（x-1）2的图象与y=

x2的图象有什么关系？

（三）对于二次函数

（x-1）2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？

当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

归纳二次函数y=a（x-h）²

的图象与性质并完成下表。

与y=a（x-h）2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”。

例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a（x+1）2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a（x-2）2的图象。

例：

已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合。

1．水平移后的抛物线l的解析式；

2．若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线l上，且-

x1<

，试比较y1，y2的大小。

1．∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0），即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2（x+1）2。

2．由1可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2<

0，∴当x>

-1时，y随x的增大而减小，又-

，∴y1>

二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点。

1．二次函数y=15（x-1）²

的最小值是（）

A．-1B．1C．0D．没有最小值

2．抛物线y=-3（x+1）²

不经过的象限是（）

A．第一、二象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第二、三象限

3．在反比例函数y=

中，当x>

0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k（x-1）²

的图象大致是（）

4．抛物线y=

向平移个单位得抛物线y=

（x+1）²

；

抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2（x-2）²

5．已知抛物线y=a（x-h）²

的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）画出函数的大致图象；

（3）．从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？

当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？

这节课你学到了什么？

还有哪些疑惑？

通过本节学习使学生认识到y=a（x-h）²

的图象是由y=ax²

的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y=a（x-h）²

位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；

从中领会数形结合的数学思想。

【第四课时】

1．会用描点法画二次函数y=a（x-h）²

+k的图象。

掌握y=a（x-h）²

+k的图象和性质。

2．掌握y=a（x-h）²

+k与y=ax²

的图象的位置关系。

3．理解y=a（x-h）²

+k，y=a（x-h）²

，y=ax²

+k及y=ax²

的图象之间的平移转化。

经历探索二次函数y=a（x-h）²

+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力。

1．在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性。

2．体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣。

二次函数y=a（x-h）²

+k的图象与性质。

由二次函数y=a（x-h）²

+k的图象的轴对称性列表、描点、连线。

复习回顾：

同学们回顾一下：

（一）y=ax²

，y=a（x-h）²

，（a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减性分别是什么？

（二）如何由y=ax²

（a≠0）的图象平移得到y=a（x-h）²

的图象？

（三）猜想二次函数y=a（x-h）²

+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

y=a（x-h）²

+k的图象和性质

（一）由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：

1．y=-

（x+1）²

-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

2．将抛物线y=-

向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=-

-1。

（二）同学们讨论回答：

1．一般地，当h>

0，k>

0时，把抛物线y=ax²

向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线y=a（x-h）²

+k；

平移的方向和距离由h，k的值来决定。

2．抛物线y=a（x-h）²

+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

+k的应用：

+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a>

0时，开口向，当a<

0时，开口向。

答案：

抛物线，直线x=h，（h，k），上，下。

已知抛物线y=a（x-h）²

+k，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3（x+1）²

-4，求原抛物线的解析式。

【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=-3，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式。

抛物线y=-3（x+1）²

-4的顶点坐标为（-1，-4），它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2）。

故原抛物线的解析式为y=-3（x+4）²

-2。

抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：

顶点的变化。

如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m，距发射台OA的水平距离为20m，在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m。

请你判断该火球能否点燃目标C？

并说明理由。

【分析】建立适当直角坐标系，构建二次函数解析式，然后分析判断。

该火球能点燃目标。

如图，以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a（x-12）²

+20，∵点（0，2）在图象上，∴144a+20=2，∴a=-

，∴y=-

（x-12）²

+20.当x=20时，y=-

×

（20-12）²

+20=12，即抛物线过点（20，12），∴该火球能点燃目标。

+k的应用关键是构造出二次函数模型。

1．若抛物线y=-7（x+4）²

-1平移得到y=-7x²

，则必须（）

A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位

B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位

C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位

D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

2．抛物线y=x²

-4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）

A．4

B．4

+4C．12D．2

+4

3．函数y=ax²

-a与y=ax-a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

4．二次函数y=-2x²

+6的图象的对称轴是，顶点坐标是，当X=时，y随x的增大而增大。

+c的图象与函数y=-3x²

-2的图象关于x轴对称，则a=，c=。

6．把抛物线y=（x-1）²

沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0），求平移后抛物线的解析式。

掌握函数y=ax²

+k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律。

【第五课时】

1．会用描点法画二次函数y=ax²

+bx+c的图象。

2．会用配方法求抛物线y=ax²

+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性。

3．能通过配方求出二次函数y=ax²

+bx+c（a≠0）的最大或最小值；

能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值。

1．经历探索二次函数y=ax²

+bx+c（a≠0）的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax²

+bx+c（a≠0）对称轴和顶点坐标公式的必要性。

2．在学习y=ax²

+bx+c（a≠0）的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。

进一步体会由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识。

1．用配方法求y=ax²

+bx+c的顶点坐标；

2．会用描点法画y=ax²

+bx+c的图象并能说出图象的性质。

能利用二次函数y=ax²

+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax²

+bx+c（a≠0）的图象。

请同学们完成下列问题。

1．把二次函数y=-2x²

+6x-1化成y=a（x-h）²

+k的形式。

2．写出二次函数y=-2x²

+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标。

3．画y=-2x²

+6x-1的图象。

4．抛物线y=-2x²

如何平移得到y=-2x²

5．二次函数y=-2x²

+6x-1的y随x的增减性如何？

上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax²

+bx+c与y=a（x-h）²

+k的转化过程。

如何画y=ax²

+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

学生回答、教师点评：

一般分为三步：

1．先用配方法求出y=ax²

+bx+c的对称轴和顶点坐标。

2．列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图象。

4．利用对称点，画出对称轴左边的部分图象。

+bx+c图象的性质有哪些？

你能试着归纳吗？

学生回答，教师点评：

+bx+c=

，对称轴为x=-

，顶点坐标为（-

，

），当a>

0时，若x>

-

，y随x增大而增大，若x<

，y随x的增大而减小；

，y随x的增大而减小，若x<

，y随x的增大而增大。

+bx+c在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？

学生回答，教师点评。

将下列二次函数写成顶点式y=a（x-h）²

+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴。

1．y=

-3x+212．y=-3x²

-18x-22

-3x+21

=

（x²

-12x）+21

-12x+36-36）+21

（x-6）²

+12．

∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6。

2．y=-3x²

-18x-22=-3（x²

+6x）-22=-3（x²

+6x+9-9）-22=-3（x+3）²

+5。

∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3，5），对称轴是x=-3。

第2小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；

抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解。

用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？

（1）S与l有何函数关系？

（2）举一例说明S随l的变化而变化？

（3）怎样求S的最大值呢？

S=l（30-l）

=-l2+30l（0<

l<

30）

=-（l2-30l）

=-（l-15）²

+225

画出此函数的图象，如图。

∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225）

二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。

1．抛物线y=x²

-6x+5的顶点坐标为（）

A．（3，-4）B．（3，4）C．（-3，-4）D．（-3，4）

2．已知二次函数y=ax²

+bx+c（a<

0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）

A．有最小值5，最大值0

B．有最小值-3，最大值6

C．有最小值0，最大值6

D．有最小值2，最大值6

3．如图，二次函数y=ax²

+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。

（1）给出四个结论：

①a>

0；

②b>

③c>

④a+b+c=0.其中正确结论的序号是。

（2）给出四个结论：

①abc<

②2a+b>

③a+c=1；

④a>

1，其中正确结论的序号是。

通过练习，巩固掌握y=ax²

+bx+c的图象和性质。

+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax²

+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律。