四川文数学第三章Word格式文档下载.docx
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3．有人说：
三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，三角函数线的方向表示三角函数值的符号．你认为此说法正确吗？
正确．
1．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是（ ）
A．（cosθ，sinθ） B．（－cosθ，sinθ）
C．（sinθ，cosθ）D．（－sinθ，cosθ）
解析：
选A 由三角函数的定义可知，点P的坐标是（cosθ，sinθ）．
2．已知角α的终边过点P（－1,2），则sinα＝（ ）
A.B.C．－D．－
选B |OP|＝＝，所以sinα＝＝.
3．若角θ同时满足sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
选D 由sinθ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是________（填序号）．
①2kπ＋45°
（k∈Z）；
②k·
360°
＋（k∈Z）；
③k·
－315°
④kπ＋（k∈Z）．
∵＝×
180°
＝360°
＋45°
＝720°
，
∴与终边相同的角可表示为k·
（k∈Z）．
答案：
③
5．（教材习题改编）弧长为3π，圆心角为135°
的扇形半径为________，面积为________．
l＝3π，θ＝135°
＝，所以r＝＝，＝4，S＝lr＝×
3π×
4＝6π.
4 6π
考点一
角的集合表示及象限角的判定
[例1]
（1）写出终边在直线y＝x上的角的集合；
（2）若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π）内终边与角的终边相同的角；
（3）已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．
[自主解答]
（1）∵在（0，π）内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为.
（2）∵θ＝＋2kπ（k∈Z），
∴＝＋（k∈Z）．
依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在[0,2π）内终边与相同的角为，，.
（3）由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜＋2kπ（k∈Z），
∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ（k∈Z）．
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．
【互动探究】
在本例（3）的条件下，判断为第几象限角？
解：
∵π＋2kπ＜α＜＋2kπ（k∈Z），
∴＋kπ＜＜＋kπ（k∈Z）．
当k＝2n（n∈Z）时，＋2nπ＜＜＋2nπ，
当k＝2n＋1（n∈Z）时，＋2nπ＜＜＋2nπ，
∴为第二或第四象限角．
【方法规律】
象限角和终边相同角的判断及表示方法
（1）若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α（0≤α＜2π）（k∈Z）的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
1．若α＝k·
（k∈Z），则α在（ ）
A．第一或第三象限
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．第三或第四象限
选A 当k为偶数时，α在第一象限；
当k为奇数时，α在第三象限．
2．设集合M＝
，N＝
，那么（ ）
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
选B 法一：
由于M＝
＝{…，－45°
，45°
，135°
，225°
，…}，
N＝
，0°
，90°
，180°
，…}，显然有M⊆N.
法二：
由于M中，x＝·
＝k·
90°
＝45°
·
（2k＋1），2k＋1是奇数；
而N中，x＝·
45°
＝（k＋1）·
，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
考点二
弧度制的应用
[例2] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
（1）若α＝60°
，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[自主解答]
（1）∵α＝60°
＝，R＝10cm，
∴l＝Rα＝10×
＝cm.
（2）∵扇形的周长为20cm，∴2R＋l＝20，
即2R＋Rα＝20，
∴S＝R2α＝R（20－2R）＝－R2＋10R
＝－（R－5）2＋25，
∴当R＝5时，扇形的面积最大，此时α＝＝2，
即α＝2弧度时，这个扇形的面积最大．
在本例
（1）的条件下，求扇形的弧所在的弧形的面积．
设弧形的面积为S，则S＝S扇－S△＝R2α－R2sin＝×
102×
－×
＝50＝cm2.
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
1．设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
设扇形所在圆的半径为rcm，则扇形的弧长l＝8－2r.
由题意得S＝（8－2r）×
r＝4，
整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2，
即l＝4，故|α|＝＝2.
2
2．已知扇形的圆心角是α＝120°
，弦长AB＝12cm，求弧长l.
设扇形的半径为Rcm，如图．
由sin60°
＝，得R＝4cm.
故l＝|α|·
R＝×
4＝cm.
高频考点
考点三三角函数的定义
1．三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题．
2．高考对三角函数定义的考查主要有以下几个命题角度：
（1）利用三角函数的定义求三角函数值；
（2）三角函数值的符号和角的位置的判断；
（3）与向量等问题形成交汇问题．
[例3]
（1）（2011·
江西高考）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
（2）（2012·
山东高考）
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2,1）时，
的坐标为___________．
（3）（2014·
日照模拟）已知点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则角θ是第________象限角．
[自主解答]
（1）r＝＝，且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
（2）
如图，连接AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知的长为2.
∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－.
∴DP＝AP·
sin＝－cos2，
∴PC＝1－cos2，DA＝APcos＝sin2，
∴OC＝2－sin2.故
＝（2－sin2,1－cos2）．
（3）因为点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，
所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即
所以θ为第二象限角．
[答案]
（1）－8
（2）（2－sin2,1－cos2） （3）二
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
（1）利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．
（2）三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值（sinα，cosα，tanα）中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
（3）与向量等问题形成的交汇问题．抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．
1．点P从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为（ ）
A. B.
C.D.
选A 由三角函数定义可知点Q的坐标（x，y）满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
2．若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则该三角形的形状为________．
∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的两个内角．
∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．
钝角三角形
3．若角α的终边过点P（－8m，－6sin30°
），且cosα＝－，则m的值为________．
∵r＝，∴cosα＝＝－，
∴m＞0，＝，∴m＝.
—————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1条规律——三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：
2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧
（1）在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
（2）在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注 意的问题
（1）第一象限角、锐角、小于90°
的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°
＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）要熟记0°
～360°
间特殊角的弧度表示．
（4）要注意三角函数线是有向线段.
前沿热点（四）
以三角函数的定义为载体的创新问题
三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，且难度不大．
[典例] （2014·
南宁模拟）如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
[解题指导] 用t表示出OP与x轴正方向所成的角，然后利用三角函数的定义得到d的函数表达式即可．
[解析] ∵P0（，－），∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－.
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，
因此d＝2.
令t＝0，则d＝2＝，当t＝时，d＝0，故选C.
[答案] C
[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：
（1）结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d＝2是关键．
（2）涉及函数图象判定问题，结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径．
如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧A的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f（l）的图象大致为（ ）
选C
如图取AP的中点为D，连接OD.
设∠DOA＝θ，
则d＝2sinθ，l＝2θ，
故d＝2sin.
[全盘巩固]
1．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是（ ）
A．sinB．cos
C．tanD．cos2θ
选C 因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan＞0.
2．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为 （ ）
A．1B.C.或D.或
选C 因为弦长等于半径，所以此弦所对的圆心角为，所以弦所对的圆周角为或.
3．点A（sin2013°
，cos2013°
）在直角坐标平面上位于（ ）
选C 由2013°
×
5＋（180°
＋33°
）可知，2013°
角的终边在第三象限，所以sin2013°
＜0，cos2013°
＜0，即点A位于第三象限．
4．若α是第三象限角，则y＝＋的值为（ ）
A．0B．2C．－2D．2或－2
选A 由于α是第三象限角，所以是第二或第四象限角，
当是第二象限角时，
y＝＋＝1－1＝0；
当是第四象限角时，
y＝＋＝－1＋1＝0.
5．（2014·
温州模拟）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
选C 由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．
由＜0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
6．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2B．1C.D．3
选A 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，
面积S＝rl＝r（4－2r）＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，
故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝＝＝2.
7．若角120°
的终边上有一点（－4，a），则a的值是________．
由题意知－＝tan120°
，即－＝－，故a＝4.
4
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝________.
因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.
－
9．已知角α的终边落在直线y＝－3x（x＜0）上，则－＝________.
因为角α的终边落在直线y＝－3x（x＜0）上，
所以角α是第二象限角，因此sinα＞0，cosα＜0，
故－＝－＝1＋1＝2.
10．已知角θ的终边上有一点P（x，－1）（x≠0），且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．
∵θ的终边过点（x，－1）（x≠0），∴tanθ＝－.
又tanθ＝－x，∴x2＝1，即x＝±
1.
当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝.
因此sinθ＋cosθ＝0；
当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－，
因此sinθ＋cosθ＝－.
故sinθ＋cosθ的值为0或－.
11．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
设圆的半径为rcm，弧长为lcm，
则解得
则圆心角α＝＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1，
故AH＝1·
sin1＝sin1cm，故AB＝2sin1cm.
12．角α终边上的点P与A（a,2a）关于x轴对称（a＞0），角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·
cosα＋sinβ·
cosβ＋tanα·
tanβ的值．
由题意得，点P的坐标为（a，－2a），点Q的坐标为（2a，a）．
所以sinα＝＝－，
cosα＝＝，
tanα＝＝－2，
sinβ＝＝，
cosβ＝＝，
tanβ＝＝，
故有sinα·
tanβ＝
＋×
＋（－2）×
＝－1.
[冲击名校]
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
A．－ B．－C.D.
选B 取终边上一点（a,2a）（a≠0），根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±
，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.
2．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2,3]B．（－2,3）
C．[－2,3）D．[－2,3]
选A ∵由cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上．
∴
∴－2＜a≤3.
3．角θ的终边上有一点（a，a），a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．
由已知得r＝＝|a|，
sinθ＝＝＝
所以sinθ的值是或－.
或－
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±
α，π±
α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
tanα＝.
2．三角函数的诱导公式
公式一：
sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cos_α，tan（α＋2kπ）＝tanα，其中k∈Z.
公式二：
sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，tan（π＋α）＝tanα.
公式三：
sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α，tan（－α）＝－tanα.
公式四：
sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cos_α，tan（π－α）＝－tanα.
公式五：
sin＝cos_α，cos＝sinα.
公式六：
sin＝cos_α，cos＝－sin_α.
1．有人说sin（kπ－α）＝sin（π－α）＝sinα（k∈Z），你认为正确吗？
不正确．当k＝2n（n∈Z）时，sin（kπ－α）＝sin（2nπ－α）＝sin（－α）＝－sinα；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，sin（kπ－α）＝sin[（2n＋1）·
π－α]＝sin（2nπ＋π－α）＝sin（π－α）＝sinα.
2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？
无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α，－α，＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角．
1．tan330°
等于（ ）
A.B．－C.D．－
选D tan330°
＝tan（360°
－30°
）＝tan（－30°
）＝
－tan30°
＝－.
2．若cosα＝，α∈，则tanα等于（ ）
A．－B.C．－2D．2
选C 由已知得sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2.
3．（教材习题改编）若tanα＝2，则的值为（ ）
A．－B．－C.D.
选C ＝＝＝.
4．cos－sin＝________.
cos－sin＝cos＋sin
＝cos＋sin
＝cos＋sin＝＋＝.
5．已知tanα＝，π＜α＜，则cosα－sinα＝________.
∵tanα＝，π＜α＜，∴α＝，
∴cosα－sinα＝cos－sin＝
－cos＋sin＝－＋＝.
同角三角函数基本关系式的应用
[例1] 已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
[自主解答]
（1）法一：
联立方程
由①得cosα＝－sinα，
将其代入②，整理得
25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α是三角形内角，
∴∴tanα＝－.
∵sinα＋cosα＝，
∴（sinα＋cosα）2＝2，即1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－，
∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
∵sinαcosα＝－<
0且0<
α<
π，
∴sinα>
0，cosα<
0，∴sinα－cosα>
0.
∴sinα－cosα＝.
由得
∴tanα＝－.
（2）＝＝＝.
∵tanα＝－，
∴＝＝＝－.
保持本例条件不变，求：
（1）；
（2）sin2α＋2sinαcosα的值．
由例题可知tanα＝－.
（1）＝＝＝.
（2）sin2α＋2sinαcosα＝＝
＝＝－.
同角三角函数基本关系式的应用技巧
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（2）注意公式逆用及变形应用：
1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（ ）
A.B．－C．－2D．2
选A 由＝5，得＝5，即tanα＝2.
所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.
2．已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.
依题意得
由此解得cos2α＝，又α∈，因此cosα＝－.
诱导公式的应用
[例2]
（1）（2014·
长沙模拟）若cos＝－，则sin＝（ ）
A. B．－C.D．－
（2）已知α为第三象限角，
f
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