普通高等学校招生全国统一考试江西卷理科数学试题及解答WORD版.doc

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

数学（理工农医类）

一.选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则等于

A.B.C.D.

2.已知复数满足,则等于

A.B.C.D.

3.若,则不等式等价于

A.B.

C.D.

4.设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若,则点的坐标为

A.B.C.D.

5.对于上可导的任意函数,若满足,则必有

A.B.

C.D.

6.若不等式对一切成立,则的最小值为

A.B.C.D.

7.已知等差数列的前项和为,若,且、、三点共线（该直线不过点）,则等于

A.100B.101C.200D.201

8.在的二项展开式中,含的奇次幂的项之和为,当时,等于

A.BC.D.

9.为又曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,则的最大值为

A.6B.7C.8D.9

10.将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为，甲、乙分在同一组的概率为，则、的值分别为

A．B.

C.D.

11.如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥与三棱锥的表面积分别为、,则必有

A.B.

C.D.、的大小关系不能确定

12.某地一年内的气温（单位:

℃）与时间（月份）之间的关系如图

（1）所示,已知该年的平均气温为10℃,令表示时间段的平均气温,与之间的函数关系用下列图表示,则正确的应该是

第Ⅱ卷

二.填空题:

本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.

13.数列的前项和为,则___________.

14.设的反函数为,若,则_____________.

15.如图,在直三棱柱中,底面为直角三角形,是上一动点,则的最小值为__________.

16.已知圆,直线,下面四个命题

（A）对任意实数和,直线和圆相切;

（B）对任意实数和,直线和圆有公共点;

（C）对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切;

（D）对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切.

其中真命题的代号是_______________（写出所有真命题的代号）.

三.解答题:

本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知函数在与时都取得极值.

（1）求、的值及函数的单调区间;

（2）若对,不等式恒成立,求的取值范围.

18.（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:

从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:

甲摸一次,乙摸两次.令表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额,求

（1）的分布列;

（2）的数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图,已知△是边长为的正三角形,、分别是边、上的点,线段经过△的中心,.设.

（1）试将△、△的面积（分别记为与）表示为的函数;

（2）求的最大值与最小值.

20.（本小题满分12分）

如图,在三棱锥中,侧面、是全等的直角三角形,是公共的斜边,且.另一个侧面是正三角形.

（1）求证:

（2）求二面角的大小;

（3）在线段上是否存在一点,使与面成角?

若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.

21.（本小题满分12分）

如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于、两点,为线段的中点.

（1）求点的轨迹的方程;

（2）若在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远.此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大?

22.（本小题满分14分）

已知数列满足:

.

（1）求数列的通项公式;

（2）证明:

对一切正整数,不等式恒成立.

2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

数学（理工农医类）参考答案

一.选择题

1.C；2.D；3.D；4.B；5.C；6.C；7.A；8.B；9.D；10.A；11.C；12.A

二.填空题

13.；14.；15.；16.B、D

三.解答题

17.解:

极大值

极小值

所以函数的递增区间为与;

递减区间为.

18.解:

（1）的所有可能的取值为0,10,20,50,60.

（元）

19.解:

（1）因为为边长为的正三角形的中心,

所以

由正弦定理

因为,所以当时,的最大值;

当时,的最小值.

20.解法一:

（1）方法一:

作面于,连

又,则是正方形.

则

方法二:

取的中点,连、,

则有

（2）作于,作交于,

则就是二面角的平面角.

是的中点,且∥

则

由余弦定理得

（3）设为所求的点,作于,连.则∥

就是与面所成的角,则.

设,易得

解得

故线段上存在点,且时,与面成角.

解法二:

（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,

以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,

则

（2）设平面的法向量为

则由知:

;

同理由知:

可取

同理,可求得平面的一个法向量为

由图可以看出,三面角的大小应等于<>

则<>,即所求二面角的大小是.

（3）设是线段上一点,则

平面的一个法向量为

要使与面成角,由图可知与的夹角为,

所以

则,解得,,则

故线段上存在点,且,时与面成角.

21.解:

如图

（1）设椭圆上的点、,又设点坐标为，则

………………②

………………①

当不垂直轴时，

由①—②得

当垂直于轴时，点即为点，满足方程（*）.

故所求点的轨迹的方程为:

.

（2）因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为,

时,上式达到最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远.

此时.

设椭圆上的点、,

△的面积

设直线的方程为,代入中,得

由韦达定理得

令,得,当取等号.

因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时,三角形的面积最大.

22.解:

（1）将条件变为:

因此,为一个等比数列.

其首项为,公比为,从而

据此得.

（2）证:

据①得,

为证

只要证时有.…………②

显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个

…………③

用数学、归纳法证明③式：

时，显然③式成立，

设时，③式成立

即

则当时，

即当时，③式也成立.

故对一切,③式都成立.

利用③得,

故②式成立,从而结论得证.