届高考数学考前回扣教材函数与导数Word格式.docx

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则f（x）的图象关于直线x＝a对称．

②若函数＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），

即f（x）＝－f（2a－x），

则f（x）的图象关于点（a,0）对称．

③若函数＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），

则函数f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称．

4．函数的单调性

函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．

①单调性的定义的等价形式：

设x1，x2∈[a，b]，

那么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]&

0&

#8660;

f&

#61480;

x1&

#61481;

－f&

x2&

x1－x2&

f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]&

f（x）在[a，b]上是减函数．

②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是减函数；

若函数f（x）和g（x）都是增函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是增函数；

根据同增异减判断复合函数＝f[g（x）]的单调性．

．函数图象的基本变换

（1）平移变换：

＝f（x）――→h&

0，右移h&

0，左移＝f（x－h），

＝f（x）――→&

0，上移&

0，下移＝f（x）＋

（2）伸缩变换：

＝f（x）――→0&

ω&

1，伸ω&

1，缩＝f（ωx），

A&

1，缩A&

1，伸＝Af（x）．

（3）对称变换：

＝f（x）――→x轴＝－f（x），

＝f（x）――→轴＝f（－x），

＝f（x）――→原点＝－f（－x）．

6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质

（1）定点：

＝ax（a&

0，且a≠1）恒过（0,1）点；

＝lgax（a&

0，且a≠1）恒过（1,0）点．

（2）单调性：

当a&

1时，＝ax在R上单调递增；

＝lgax在（0，＋∞）上单调递增；

当0&

1时，＝ax在R上单调递减；

＝lgax在（0，＋∞）上单调递减．

7．函数与方程

（1）零点定义：

x0为函数f（x）的零点&

f（x0）＝0&

（x0,0）为f（x）的图象与x轴的交点．

（2）确定函数零点的三种常用方法

①解方程判定法：

即解方程f（x）＝0

②零点定理法：

根据连续函数＝f（x）满足f（a）f（b）&

0，判断函数在区间（a，b）内存在零点．

③数形结合法：

尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．

8．导数的几何意义

（1）f′（x0）的几何意义：

曲线＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，该切线的方程为－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

（2）切点的两大特征：

①在曲线＝f（x）上；

②在切线上．

9．利用导数研究函数的单调性

（1）求可导函数单调区间的一般步骤：

①求函数f（x）的定义域；

②求导函数f′（x）；

③由f′（x）&

0的解集确定函数f（x）的单调增区间，由f′（x）&

0的解集确定函数f（x）的单调减区间．

（2）由函数的单调性求参数的取值范围：

①若可导函数f（x）在区间上单调递增，则f′（x）≥0（x∈）恒成立；

若可导函数f（x）在区间上单调递减，则f′（x）≤0（x∈）恒成立；

②若可导函数在某区间上存在单调递增（减）区间，f′（x）&

0（或f′（x）&

0）在该区间上存在解集；

③若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，则I是其单调区间的子集．

10．利用导数研究函数的极值与最值

（1）求函数的极值的一般步骤：

①确定函数的定义域；

②解方程f′（x）＝0；

③判断f′（x）在方程f′（x）＝0的根x0两侧的符号变化：

若左正右负，则x0为极大值点；

若左负右正，则x0为极小值点；

若不变号，则x0不是极值点．

（2）求函数f（x）在区间[a，b]上的最值的一般步骤：

①求函数＝f（x）在（a，b）内的极值；

②比较函数＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．

2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．

3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数＝ax（a&

0，a≠1）的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax&

0；

对数函数＝lgax（a&

0，a≠1）忽视真数与底数的限制条．

6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．

7．已知可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减），则f′（x）≥0（≤0）对&

#8704;

x∈（a，b）恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；

而已知可导函数f（x）的单调递增（减）区间为（a，b），则f′（x）＞0（＜0）的解集为（a，b）．

8．f′（x）＝0的解不一定是函数f（x）的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′（x）的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；

若不变化，则不是极值点．1．若函数f（x）＝2x＋2，x≤0，2x－4，x&

0，则f[f

（1）]等于（　　）

A．－10B．10．－2D．2

答案　

解析　由f[f

（1）]＝f（21－4）＝f（－2）＝2×

（－2）＋2＝－2，故选

2．若函数f（x）＝x2－12lnx＋1在其定义域内的一个子区间（－1，＋1）内不是单调函数，则实数的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．[1，32）

．[1,2）D．[32，2）

答案　B

解析　因为f（x）的定义域为（0，＋∞），′＝2x－12x，

由f′（x）＝0，得x＝12利用图象可得，

－1&

12&

＋1，－1≥0，解得1≤&

32，故选B

3．若函数f（x）＝&

3－a&

x－3，x≤7，ax－6，x&

7单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．（94，3）B．[94，3）

．（1,3）D．（2,3）

答案　D

解析　因为函数f（x）＝&

7单调递增，所以1&

3且由f（7）&

f（8）得，7（3－a）－3&

a2，解得a&

－9或a&

2，所以实数a的取值范围是（2,3），故选D

4．函数＝x&

#8226;

2x|x|的图象大致形状是（　　）答案　A

解析　＝2x，x&

0，－2x，x&

0，

＝2x在（0，＋∞）上单调递增，且＝2x＞0，

排除B，D；

又＝－2x在（－∞，0）上单调递减，排除

．（2016&

标全国甲）下列函数中，其定义域和值域分别与函数＝10lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A．＝xB．＝lgx．＝2xD．＝1x

解析　函数＝10lgx的定义域为{x|x&

0}，值域为{|&

0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为＝1x，故选D

6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且f（－1）＝2，则f（2017）的值是（　　）

A．2B．0．－1D．－2

解析　由题意得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数是以T＝4的周期函数，所以f（2017）＝f

（1）＝－f（－1）＝－2，故选D

7．已知函数f（x）＝1x－lg3x，若x0是函数＝f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（　　）

A．恒为正值B．等于0

．恒为负值D．不大于0

答案　A

解析　由题意知f（x）为（0，＋∞）上的减函数，

又f（x0）＝0，x1＜x0，

∴f（x1）＞f（x0）＝0，故选A

8．设a＝lg32，b＝lg2，＝lg23，则（　　）

A．a&

&

bB．b&

a

．&

b&

aD．&

b

解析　易知lg23&

1，lg32，lg2∈（0,1）．在同一平面直角坐标系中画出函数＝lg3x与＝lgx的图象，观察可知lg32&

lg2所以&

b比较a，b的其他解法：

lg32&

lg33＝12，lg2&

lg＝12，得a&

b；

lg23&

lg2，所以1lg23&

1lg2，结合换底公式得lg32&

lg2，即a＞b

9．若函数f（x）定义域为[－2,2]，则函数＝f（2x）&

ln（x＋1）的定义域为________．

答案　（－1,1]

解析　由题意可得－2≤2x≤2，x＋1&

0，∴－1&

x≤1，

即函数＝f（2x）&

ln（x＋1）的定义域为（－1,1]．

10．（2016&

天津）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．

答案　3

解析　因为f（x）＝（2x＋1）ex，

所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，

所以f′（0）＝3e0＝3

11．设奇函数＝f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）＝f（1－t），且x∈[0，12]时f（x）＝－x2，则f（3）＋f（－32）的值等于________．

答案　－14

解析　由于＝f（x）为奇函数，根据对任意t∈R都有f（t）＝f（1－t），

可得f（－t）＝f（1＋t），

所以函数＝f（x）的一个周期为2，

故f（3）＝f

（1）＝f（0＋1）＝－f（0）＝0，

f（－32）＝f（12）＝－14，

∴f（3）＋f（－32）＝－14

12．函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b的值为________．

答案　－7

解析　∵f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

由已知可得f′&

1&

＝3＋2a＋b＝0，f&

＝1＋a＋b＋a2＝10，

解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，

经验证，a＝4，b＝－11符合题意，

故a＋b＝－7

13．已知函数f（x）＝x＋1ex（e为自然对数的底数）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设函数φ（x）＝xf（x）＋tf′（x）＋1ex，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ（x1）&

φ（x2）成立，求实数t的取值范围．

解　

（1）∵函数的定义域为R，f′（x）＝－xex，

∴当x&

0时，f′（x）&

0，当x&

∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，

在（0，＋∞）上单调递减．

（2）存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ（x1）&

φ（x2）成立，

则2[φ（x）]in&

[φ（x）]ax

∵φ（x）＝xf（x）＋tf′（x）＋e－x＝x2＋&

1－t&

x＋1ex，

∴φ′（x）＝－x2＋&

1＋t&

x－tex＝－&

x－t&

x－1&

ex

①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0,1]上单调递减，

∴2φ

（1）&

φ（0），即t&

3－e2&

1；

②当t≤0时，φ′（x）&

0，φ（x）在[0,1]上单调递增，

∴2φ（0）&

φ

（1），即t&

3－2e&

③当0&

t&

1时，若x∈[0，t），φ′（x）&

0，φ（x）在[0，t）上单调递减，

若t∈（t,1]，φ′（x）&

0，φ（x）在（t,1）上单调递增，

∴2φ（t）&

ax{φ（0），φ

（1）}，

即2&

t＋1et&

ax{1，3－te}．（*）

由

（1）知，g（t）＝2&

t＋1et在[0,1]上单调递减，

故4e≤2&

t＋1et≤2，而2e≤3－te≤3e，

∴不等式（*）无解．

综上所述，存在t∈（－∞，3－2e）∪（3－e2，＋∞），使得命题成立．