二倍角的正弦余弦和正切公式基础.docx
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二倍角的正弦余弦和正切公式基础
二倍角的正弦、余弦和正切公式（基础）
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释：
（1）公式成立的条件是：
在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当与时才成立；
（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：
；
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：
二倍角公式的逆用与变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
要点三：
两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：
因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：
二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）；
（2）；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】
（1）
（2）（3）
【解析】
（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：
【变式1】求值：
（1）；
（2）；（3）．
【答案】
（1）；
（2）；（3）
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
类型二：
利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
方法一：
适用，不断地使用二倍角的正弦公式．
方法二：
将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．
【答案】
【解析】方法一：
．
∴
方法二：
原式
．
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：
一般地，若，则．
举一反三：
【变式1】求值：
sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式
．
类型三：
利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
（1）
【思路点拨】
（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．
（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）
（2）
【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：
．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．
例4．化简：
．
【解析】原式
．
【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．
举一反三：
【变式1】
（1）的化简结果是．
（2）已知，且α∈（，π），则的值为．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）原式=
=
=
=
（2）因为，且α∈（，π），所以，原式=．
类型四：
二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．求值：
（1）已知，求．
（2）已知，求．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）
=
=
=
（2）=
=
=
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
【变式1】已知，且，求，，的值．
【答案】
【解析】由，得，
即，∴
由，得，
∴．
即．
整理得．
解得或（舍去）．
∴．
∴．
【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．
【变式2】已知，
（1）求tan的值；
（2）求的值．
【解析】
（1），解得．
（2）
．
【总结升华】第
（1）问中利用了方程的思想求tan的值；对于第
（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解．
类型五：
二倍角公式的综合应用
例6．已知，求：
（1）f（x）的最大值以与取得最大值的自变量的集合；
（2）f（x）的单调区间．
【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．
【答案】
（1）
（2）单增区间单减区间
【解析】
（1）原式=
=
=
则当即时，
（2）f（x）的单调递增区间为：
，则
f（x）的单调递减区间为：
，则
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式与的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：
（1）缩角升幂公式，．，．
（2）扩角降幂公式，．
例7．已知向量，，求函数．
（1）求的最大值与相应的x值；
（2）若，求的值．
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉与的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f（x）关系式．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）因为，，
所以．
因此，当，即时，取得最大值．
（2）由与得，两边平方得，即．因此，．
举一反三：
【变式1】已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）
所以函数的最小正周期为.
由，，则.
函数单调递减区间是，.
（Ⅱ）由，得.
则当，即时，取得最小值.
【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
（2）由
（1）知，
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sinx=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．
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